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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Nathalie Leroy
%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2016}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie   \decofourright\\[4pt]16 novembre 2016}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Une enquête a été menée en Europe en 2011 sur les conditions de travail en entreprise.

Les résultats concernent les français sont les suivants :

\begin{itemize}
\item 61\,\% des personnes interrogées considèrent que leur charge de travail est importante;
\item 75\,\% des personnes interrogées sont motivées par leur travail;
\item 43\,\% des personnes interrogées sont motivées et considèrent que leur charge de travail est importante.
\end{itemize}

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item En \textbf{annexe}, qui est à rendre avec la copie, on a commencé à remplir un tableau qui résume les résultats de l'enquête pour un échantillon représentatif de $100$~personnes.

 Ce tableau est complété sur l'annexe.

\smallskip

On choisit au hasard une personne interrogée dans cette enquête.

On considère les évènements suivants :

\begin{description}
\item[ ] $C$ : \og La personne interrogée pense que sa charge de travail est importante \fg{} ;
\item[ ] $M$ : \og La personne interrogée est motivée par son travail \fg.
\item[ ] On note $\overline{C}$ l'évènement contraire de $C$ et $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$.
\end{description}

\smallskip

\emph{Dans toute la suite, on arrondira si nécessaire, les résultats au millième.}

\smallskip

\item %Donner les probabilités des évènements :
 $p(C)=\np{0.61}$ car 61\,\% des personnes interrogées considèrent que leur charge de travail est importante;  

 $p\left(C \cap \overline{M}\right)$=\np{0.18}.
\item Calculons la probabilité de $\overline{M}$ sachant $C$, notée $p_{C}\left(\overline{M}\right)$.

$p_{C}\left(\overline{M}\right)=\dfrac{p\left(C\cap \overline{M}\right)}{p(C)} = \dfrac{\np{0.18}}{\np{0.61}}\approx \np{0.295}$.
\item Montrons que la probabilité de l'évènement $\overline{C} \cup M$, notée $p\left(\overline{C} \cup M\right)$ est égale à $0,82$.

$p\left(\overline{C} \cup M\right) = p\left(\overline{C}\right) +p (M) - p\left(\overline{C}\cap M\right) = \np{0.39} + \np{0.73} - \np{0.3}=\np{0.82}$.

Nous trouvons bien la valeur indiquée.

\item L'enquête a été réalisée dans d'autres pays que la France. Ainsi, on a interrogé \np{9145}~européens dont \np{1012} étaient français.

On choisit une personne au hasard parmi ces \np{9145}~européens.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité qu'elle soit française. En appelant $F$ cet événement et en supposant que la loi mise sur cet univers est la loi équirépartie $p(F) = \dfrac{\np{1012}}{\np{9145}}\approx \np{0.111}$.
		\item Déterminons la probabilité qu'elle soit française et qu'elle soit motivée par son travail c'est-à-dire $p(F\cap M)$.
		
		$p(F\cap M)=\np{0.111}\times \np{0.61}\approx \np{0.068}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne l'âge moyen d'une femme à
l'accouchement en France métropolitaine depuis 1994.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\footnotesize}m{3.2cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
	&A 				&B		&C		&D		&E		&F 		&G 		&H 		&I 		&J		&K\\ \hline
1 	&Année $(n)$	&1994 	&1996 	&1998 	&2000	&2002	&2004	&2006	&2008	& 2010	& 2012\\ \hline
2 	&Rang  de l'année 
$\left(x_i\right)$	&0		&2		&4		&6		&8		&10		&12		&14		&16		&18\\ \hline
3	&Âge moyen d'une femme à
  l'accouchement en France
   $\left(y_i\right)$&28,8	&29,1 	&29,3 	&29,4	&29,5	&29,6	&29,8	&29,9	&30	&30,1\\ \hline
4	&Taux d'évolution, en  pourcentage,
 par rapport à l'année $(n - 2)$&\cellcolor{lightgray}&	&	&	&	&	&	&		&	&\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{Source : Insee, estimation  de population et statistiques de  l'état-civil}\\
\end{tabularx}
\end{center}
}
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution de l'âge moyen d'une femme à l'accouchement en France entre 1994 et 1996.% Arrondir le résultat à $0,01$\,\%.

Le taux d'évolution $t$  est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.		
		$t=\dfrac{\np{29.1}-\np{28.8}}{\np{28.8}}\approx\np{0.0104}$.

 Le  taux d'évolution de l'âge moyen d'une femme à l'accouchement entre 1994 et 1996 est à \np{0.1}\,\% près de \np{1.0}\,\%.


\item La ligne 4 est au format pourcentage. Une formule  que l'on peut saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 est : =(C\$3-B\$3)/B\$3
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur la feuille de papier millimétré fournie à  rendre avec la copie,
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans un repère orthogonal à la fin .
	{\footnotesize	
	
On prendra pour unités graphiques :
		
\begin{itemize}
\item \np[cm]{1}  pour 2 années sur l'axe des abscisses ;
\item \np[cm]{5}  pour 1 année sur l'axe des ordonnées (on commencera à graduer l'axe des ordonnées à partir de 28).
\end{itemize}}
		\item Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[\overline{x_G} = \frac{0+2+4+\dots+18}{10}=9 \quad \overline{y_G} = \frac{\np{28.8}+\np{29.1}+\dots+\np{30.1}}{10}=\np{29.55}\]

Le point G $\left( 9~;~\np{29.55} \right)$ est placé dans le repère précédent.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $(D)$ d'équation $y = 0,068x + 28,938$ est un ajustement affine pertinent du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ et que cet ajustement reste valable jusqu'en 2018.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifions que le point $G$ appartient à la droite $(D)$.
		
		Le point $G$ appartient à la droite $(D)$  si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.

 Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse $9$  c'est-à-dire celle de $G$. 

$y=\np{0.068}\times 9+\np{28.938}=\np{29.55}$. 

Cette ordonnée étant celle de $G$ par conséquent $G$ appartient à $(D)$.
\item  La droite $(D)$ est tracée sur le graphique précédent en indiquant les points utilisés.Nous prenons par exemple (1~;~29) et (23~;~\np{30.5})
		\item  Déterminons, selon ce modèle, une estimation de l'âge moyen à l'accouchement en 2014. En 2014, le rang de l'année est 20. Remplaçons $x$ par 20 dans l'équation de la droite.
		
		$y=\np{0.068}\times 20 +\np{28.938}=\np{30.298}.$
		
		Une estimation arrondie au dixième, de l'âge moyen à l'accouchement en 2014 est  \np{30.3} ans.

		\item  À partir de 2017 l'âge moyen à l'accouchement devrait dépasser $30,5$~ans. Nous lisons l'abscisse du point  de la droite (D) d'ordonnée \np{30.5}. Nous trouvons, avec la précision permise par le graphique environ 23, ce qui correspond à l'année 2017. %Laisser les traits apparents sur le graphique.Une estimation graphique
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
En épidémiologie, on cherche à comprendre comment une maladie se transmet d'un individu à
l'autre afin de prédire les épidémies  et leur évolution dans le temps au sein d'une population.

À l'aide d'un modèle, on va étudier ici l'incidence d'une épidémie sur une population de
\np{5000}~personnes durant 20~jours.

Le principe est de diviser la population en 3 catégories (ou compartiments).

Chaque individu de la population appartient à une seule catégorie à la fois mais il peut changer de catégorie au cours du temps.

La catégorie \textbf{S} désigne l'ensemble des individus \textbf{S}ains (ou susceptibles d'être infectés par la maladie).

La catégorie \textbf{I} désigne l'ensemble de ceux qui sont \textbf{I}nfectés au sein de la population.

La catégorie \textbf{R} désigne l'ensemble de ceux qui sont \textbf{R}établis et ne peuvent plus être infectés.

On suppose qu'un individu guéri est définitivement immunisé.

On a représenté en annexe dans un même repère orthogonal :

\begin{itemize}
\item la courbe $\mathcal{C}_s$ de la fonctions $s$ qui modélise l'évolution du nombre d'individus de la catégorie \textbf{S} en fonction du temps ;
\item la courbe $\mathcal{C}_r$ de la fonction $r$ qui modélise l'évolution du  nombre d'individus de la catégorie \textbf{R} en fonction du temps.
\end{itemize}

\begin{center}\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes.}\end{center}
}
\textbf{Partie A}

\medskip

%Avec la précision permise par le graphique et en laissant apparents les traits de construction, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, avec la précision permise par celle-ci et en arrondissant à la centaine, le nombre d'individus sains est  d'environ \np{3500} et le nombre d'individus rétablis au bout de 5 jours est d'environ \np{500}. Pour ce faire, nous lisons l'ordonnée du point de la courbe $\mathcal{C}_s$ pour les individus sains  et celle du point de la courbe $\mathcal{C}_r$ pour ceux qui sont rétablis.
		\item Sachant que chaque individu de la population appartient à une des 3 catégories, le nombre de personnes infectées au bout de 5 jours d'après ce modèle est d'environ $\np{5000}-\left(\np{3500}+500\right)$ c'est-à-dire \np{1000}.
	\end{enumerate}
\item Au  bout de dix jours il y a davantage d'individus rétablis que d'individus sains. Nous lisons l'abscisse du point d'intersection des deux courbes.
	
Le nombre d'individus rétablis est d'environ \np{1500}.
\item Au bout de onze jours le nombre de personnes saines est inférieur à $20$\,\% de la population. $20$\,\% de la population correspond à \np{1000}
individus. Nous lisons alors l'abscisse du point de la courbe $\mathcal{C}_s$ d'ordonnée \np{1000}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on considère la fonction $i$ définie sur l'intervalle [0~;~15] par : $i(t) = - 4t^3 + 60t^2$.

On admet que $i(t)$ représente le nombre d'individus infectés par cette maladie dans la population donnée au bout de $t$ jours (avec $0 \leqslant t  \leqslant 15$).
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  $i(5)=-4\times 5^3+60\times 5^2=\np{1000}$.% Faire le lien avec la question 1. de la partie A.

Nous retrouvons bien le nombre d'individus infectés que nous avions déduit  des lectures graphiques de $\mathcal{C}_s$ et $\mathcal{C}_r$.  
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $i$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~15] et l'on note $i'$ sa fonction dérivée.
		
 $i'(t) = -4(3t^2)+60(2t)=-12t^2+120t= 12t(- t + 10)$.
		\item  Complétons le tableau de signes ci-dessous : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|X|p{4.5cm}|}\hline
$t$&0 \hspace{6 em} 10\hfill 15\\ \hline
Signe de $2t$&0\hspace{3em} + \hspace{3em}\phantom{x}\hspace{3em} +\\ \hline
Signe de $-t + 10$&\hspace{3.85em}+\hspace{2.83 em} 0\hspace{3em} $-$\\ \hline
Signe de $12t(- t + 10)$&0\hspace{3em} + \hspace{3em}0\hspace{3em} $-$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Étudions le sens de variation de $i$.
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~10[,\:i'(t)>0$ par conséquent $i$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]10~;~15],\:i'(t)<0$ par conséquent $i$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $i$ sur [0 ; 15].
 
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$10$}    \uput[u](7.73,2.45){$15$}
\uput[u](0.5,1.9){$i^{\prime}(t)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $i$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[d](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$200$}
\end{pspicture}
\end{center}

 %En déduire le tableau de variation de la fonction $i$ sur l'intervalle [0~;~15].
 	\end{enumerate}
\item Deux cents personnes sont infectées par la maladie au plus fort de l'épidémie. La fonction $i$ admet un maximum en $t=10$ qui vaut $200$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec  la copie}

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\footnotesize Sur un échantillon représentatif de 100 personnes, nombre de personnes interrogées qui &\footnotesize considèrent que leur charge de travail est importante&\footnotesize considèrent que leur  charge de travail  n'est pas importante&Total\\ \hline
\footnotesize sont motivées par leur travail&\textcolor{violet}{43}&\textcolor{violet}{30}&\textcolor{violet}{73}\\ \hline
\footnotesize ne sont pas motivées par leur travail&\textcolor{violet}{18}&\textcolor{violet}{9}&\textcolor{violet}{27}\\ \hline
Total &61&\textcolor{violet}{39}& 100\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.55cm,yunit=0.00195cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-250)(20.5,5250)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.35pt](\n,0)(\n,5000)}
\multido{\n=0+500}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.35pt](0,\n)(20.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(20.5,5250)
\uput[r](0,5200){\small Nombre d'individus}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,5000)(1,4940)(2,4750)(3,4440)(4,4000)(5,3500)(6,2960)(7,2500)(8,2000)(9,1540)(10,1180)(11,870)(12,650)(13,470)(14,300)(15,210)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](15,210)(20,210)\uput[d](1.5,4850){\blue $\mathcal{C}_s$}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,0)(1,10)(2,80)(3,180)(4,330)(5,500)(6,700)(7,920)(8,1190)(9,1470)(10,1820)(11,2200)(12,2690)(13,3280)(14,3890)(15,4850)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](15,4850)(20,4850)\uput[u](1.5,100){\cyan $\mathcal{C}_r$}
\uput[d](17.5,-190){\small Nombre de jours}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(5,0)(5,500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(5,500)(0,500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(5,500)(5,3500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(5,3500)(0,3500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(9.1,0)(9.1,1500)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(0,1000)(10.5,1000)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(10.5,1000)(10.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{center}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,0)(25,3.3)

\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Oy=28,Dy=0.5]{->}(0,0)(24.5,3.2)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,0.8)(2,1.1)(4,1.3)(6,1.4)(8,1.5)(10,1.6)(12,1.8)(12,1.8)(14,1.9)
(16,2)(18,2.1)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](9,1.55)
 \uput[ul](9,1.55){\textcolor{red}{$G$}}
 \psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 0.068 mul 0.938 add}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 22.970 def \Func)(!22.970 /x 22.970 def \Func)(22.970,0)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{x 0.068  mul 0.938 add}
 \uput[d](23.5,-0.075){Rang de l'année}
\uput[r](0,3.15){\footnotesize âge moyen à l'accouchement }\uput[d](23,-0.0258){\textcolor{violet}{23}}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}