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%Merci à Frédéric Jaëck
%Tapuscrit : François Hache
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat ST2S -- Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[7pt]
26 novembre 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{L'annexe est à rendre avec la copie.\\
L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.\\
Le candidat doit traiter tous les exercices.\\
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Une maternité d'Île-de-France a procédé à \np{1750} accouchements en 2017. Selon une
étude effectuée dans cette maternité, on sait que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 8\,\% des femmes ont accouché prématurément (avant $37$ semaines d'aménorrhée),
\item 6\,\% des femmes ayant accouché ont fumé régulièrement (au moins $10$ cigarettes par jour) durant les trois premiers mois de leur grossesse et, parmi elles, $21$ ont accouché prématurément.
\end{itemize}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé, complétons le tableau d'effectifs donné en annexe, à rendre avec la copie.

8\,\% des femmes ont accouché prématurément  soit $\np{1750}\times \np{0.08}=140$

6\,\% des femmes ayant accouché ont fumé régulièrement $\np{1750}\times \np{0.06}=105$

Les autres effectifs sont obtenus par soustraction.

\smallskip
{\footnotesize
Le directeur de la maternité choisit au hasard le dossier d'une femme ayant accouché en 2017 dans son établissement. Chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

\smallskip

Pour tout évènement $X$, on note $\overline{X}$ l'évènement contraire de $X$.

Si $Y$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $X$ sachant $Y$ est notée
$P_Y(X)$.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $A$ : \og le dossier est celui d'une femme dont l'accouchement a eu lieu prématurément \fg ; 
\item $F$ : \og le dossier est celui d'une femme ayant fumé régulièrement durant les trois
premiers mois de sa grossesse \fg.
\end{itemize}

}

\emph{Dans les questions suivantes, les probabilités seront données sous forme décimale et arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité de l'évènement $A$	:	
$P(A)=\np{0.08}$ car 8\,\% des femmes ont accouché prématurément,
 puis celle de l'évènement $F$:  
  $P(F)=\np{0.06}$ car 6\,\% des femmes ayant accouché ont fumé régulièrement.
 	\item  L'évènement $A \cap F$ est l'évènement : \og le dossier est celui d'une femme dont l'accouchement a eu lieu prématurément  et  qui a fumé régulièrement durant les trois premiers mois de sa grossesse \fg. Calculons sa probabilité. $P(A\cap F)=\dfrac{21}{\np{1750}}=\np{0.012}$.
		
		\item Calculons la probabilité de l'évènement $A \cup F$. 

 $P(A\cup F)=P(A)+P(F)-P(A\cap F)$ d'où $P(A\cup F)=\np{0.06}+\np{0.08}-\np{0.012}=\np{0.128}$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que le dossier choisi est celui d'une femme ayant fumé régulièrement durant les trois premiers mois de sa grossesse,  la probabilité que cette femme ait accouché prématurément est notée $P_{F}(A)$. 

$P_{F}(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}=\dfrac{\np{0.012}}{\np{0.06}}\approx \np{0.20}$.
		\item Calculons $P_{\overline{F}}(A)$. 

$P_{\overline{F}}(A) =\dfrac{P(A\cap \overline{F})}{P(\overline{F})}=\dfrac{\frac{119}{\np{1750}}}{\frac{\np{1645}}{\np{1750}}}\approx \np{0.072}$.

Nous remarquons que la probabilité qu'une femme accouche prématurément est plus grande si elle a fumé régulièrement  que si elle n'a pas fumé.

 Le tabagisme accroît la probabilité d'un accouchement prématuré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
On relève la fréquence cardiaque, en battements par minute (bpm), d'un sportif pendant
un effort soutenu d'une durée de $14$ minutes.

L'évolution de la fréquence cardiaque de ce sportif durant ces $14$ minutes est modélisée
par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~14] : pour tout instant $t$, exprimé en minute, $f(t)$ représente la fréquence cardiaque du sportif à cet instant, exprimée en bpm.

Dans le repère orthogonal ci-après, on a tracé la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14].
}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.09cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(14.5,135)
\multido{\n=0.0+0.2}{73}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+2}{68}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(14.5,\n)}
\multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(14.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=60,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(14.5,135)
\uput[r](0,131){fréquence cardiaque (bpm)}
\uput[u](13,0){temps (min)}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 3 exp 0.2 mul x dup mul 5.4 mul sub 43.2 x mul add 5 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{\Func}
\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=awesome,linestyle=dashed,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt ]{->}(!0 /x 8.47615 def \Func)(!8.47615 /x 8.47615 def \Func)(8.47615,0)
\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=awesome,linestyle=dashed,ArrowInside=->,linewidth=1.25pt ]{->}(!0 /x 4.0856 def \Func)(!4.0856 /x 4.0856 def \Func)(4.0856,0)
\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=vividviolet,linestyle=dashed,ArrowInside=<-,linewidth=1.25pt ]{<-}(!0 /x 6 def \Func)(!6 /x 6 def \Func)(6,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Les deux parties du problème sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip

En utilisant cette modélisation, avec la précision permise par le graphique, répondons aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au bout de six minutes la fréquence cardiaque semble maximale. Nous lisons l'abscisse du sommet de la courbe. Le nombre de battements par minute s'élève alors à  environ 173. Nous lisons l'ordonnée du point de courbe d'abscisse 6.
\item  Ce sportif est considéré comme étant en période d'effort intense lorsque sa fréquence cardiaque est supérieure ou égale à 165 bpm. 

 Le sportif a été en effort intense sur l'intervalle [4,2~;~8,5].
 
 Nous traçons la droite d'équation $y=165$ et nous lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous lisons environ 4,2 et 8,5. L'intervalle est donc compris entre ces deux valeurs puisque la courbe est alors au-dessus de la droite. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction }\boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que pour tout $t \in [0~;~14],$

\[f(t) = 0,2t^3 - 5,4t^2 + 43,2t + 65.\]

 On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14].
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $f'(t)$ pour tout $t \in [0~;~14]$. $f'(t) = \np{0.2}\left(3t^2\right)-\np{5.4} (2t)+\np{43.2}=\np{0.6}t^2-\np{10.8}t+\np{43.2}$.
\item Démontrons que, pour tout $t \in [0~;~14]$, \: $f'(t) = 0,6(t - 6)(t - 12)$.

$\np{0.6}t^2-\np{10.8}t+\np{43.2}=\np{0.6}\left(t^2-18t+72\right)$. Développons $(t - 6)(t - 12)$.

$(t - 6)(t - 12)= t^2 - 6t -12t+72=t^2-18t + 72$. Nous retrouvons le contenu de la parenthèse.

 Nous pouvons conclure que $f'(t)=0,6(t-6)(t-12)$.

\item Étudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~14].

Sur $\R,\  x-6 >0 \iff x>6 \ \text{et  }\  x-12>0 \iff x>12$.


\begin{center}
 \begin{tabular}[]{|c|c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c >{\centering}m{1.1cm}c|}
 \hline
$t$&$0$&&$6$&&$12$&&+$14$\\\hline
$\np{0.6}$&&$+$&\vrule&$+$&\vrule&$+$&\\\hline
$x-6$&&$-$&0&$+$&\vrule&$+$&\\\hline
$x-12$&&$-$&\vrule&$-$&0&$+$&\\\hline
$f'(t)$&&$+$&0&$-$&0&$+$&\\
\hline
 \end{tabular}
 \end{center}
\item Étudions les variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14].

	Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~6[, \ \text{ou sur  } \ ]12~;~14] \:f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur chacun de ces intervalles.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]6~;~12[,\:f'(t)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur [0 ; 14].
 


	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(12,3)
\psline(0,1.5)(12,1.5)\psline(0,2.5)(12,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$t$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](11.7,2.5){$14$}\uput[u](6.4,2.5){$6$}\uput[u](9,2.5){$12$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(t)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1.5)(9.1,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$} \uput[u](9.1,1.75){$0$}
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\uput[u](10.2,1.75){$+$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)\psline{->}(9.5,0.5)(11,1.25)
\uput[u](4,0.){\small $72$} \uput[d](6.4,1.5) {$\np{173}$}
\uput[u](9,0){$151.4$}\uput[d](11.5,1.5){$\np{160.2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \item Le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~14] est $173$. Ce résultat est cohérent
avec le résultat de la première question de la \textbf{partie A}. La différence est due à la lecture graphique peu précise. 
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne le nombre (en millier) de bénéficiaires du congé de paternité en France depuis sa création en 2002 et jusqu'en 2008 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.55cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\multicolumn{1}{|c|}{A}& B&C&D&E&F&G&H\\ \hline
1&Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
2&Rang $\left(x_i\right)$& 0&1&2&3&4&5&6\\ \hline
3& Nombre de bénéficiaires en milliers $\left(y_i\right)$& 324 &352 &358 &364 &373 &372 &389\\ \hline
4& Taux d'évolution annuel (en pourcentage arrondi à $0,01$\,\%)&&8,64\,\%&&&&&\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{source: ministère des solidarités de la santé}}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La ligne 4 du tableau ci-dessus est au format pourcentage.
	\begin{enumerate}
		\item Une formule qui, entrée dans la cellule C4 puis recopiée vers la droite, permet d'obtenir les taux d'évolution annuel entre 2003 et 2008 est
 =(C\$3-B\$3)/B\$3.
		\item  Calculons le taux d'évolution annuel entre 2006 et 2007, en pourcentage arrondi à $0,01$\,\%.
			
		Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$\mathcal{T}=\dfrac{372-373}{373}\approx -\np{0.02681}$.

 Le taux  d’évolution annuel du nombre  de bénéficiaires du congé de paternité en France  entre 2006 et 2007 exprimé en pourcentage et arrondi à \np{0.01}\,\% est de $-\np{0.27}\,\%$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Dans le repère orthogonal fourni en \textbf{annexe, à rendre avec la copie},  le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ a été représenté.
		\item 	 Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} }.
 
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{0+1+\dots+6}{7}=3 \quad \overline{y}_G=\frac{324+352+\dots+389}{7}\approx \np{361.714}\]
 
 G~(3~;~\np{362})
	\end{enumerate}
\item  On admet que la droite $D$ d'équation: $y = 9x + 335$ réalise un ajustement affine du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifions que le point G appartient à la droite $D$.

 Le point G appartient à la droite $D$ si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse $3$.
$y=9 \times 3 +335 =362$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à $D$.
		\item  La droite $D$ a été tracée  dans le repère précédent. Pour la tracer, nous avons pris les points de  coordonnées (0~;~335) et (12~;~443).
		\item  Donnons une estimation du nombre de bénéficiaires du congé de paternité attendu en France en 2012 selon cet ajustement.
		
		En 2012, $x=10$. En remplaçant $x$ par 10 dans l'équation de la droite, nous obtenons 

$y=9\times 10+335 = 425$.
		
		 Selon ce modèle, nous pouvions estimer à \np{425 000} le nombre de bénéficiaires du congé de paternité  en France en 2012.
		\item  Selon ce modèle, déterminons en quelle année le nombre de bénéficiaires du congé de paternité devrait dépasser pour la première fois $440$ milliers. 
Pour ce faire résolvons $9x+335=440$.

$9x+335=440 \iff 9x= 105 \iff x=\frac{105}{9}$  soit $x \approx \np{11.67}$

Selon ce modèle,  en 2014 (2002+12) le nombre de bénéficiaires du congé de paternité devrait dépasser pour la première fois $440$ milliers.

%Justifier la réponse et préciser la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\item  En réalité, il n'y a eu que $370$ milliers de bénéficiaires du congé de paternité en France en 2014.

 L'affirmation \og l'écart entre la valeur estimée et la valeur réelle représente plus de 10\,\% de la valeur réelle \fg{} montre que le modèle  est loin d'être fiable et est inadapté pour une prévision à moyen terme.


\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{2}{X|}c|}\hline
Nombre de femmes&dont l'accouchement a eu lieu 
prématurément							&dont l'accouchement n'a pas eu lieu prématurément	&Total\\ \hline
ayant fumé régulièrement durant 
les trois premiers mois de grossesse	&\multicolumn{1}{|c|}{21}& 	\multicolumn{1}{|c|}{	84}	&105\\ \hline
n'ayant pas fumé régulièrement durant 
les trois premiers mois de grossesse	&\multicolumn{1}{|c|}{	119	}			&\multicolumn{1}{|c|}{	\np{1586}}					&\np{1645}\\ \hline
Total									&\multicolumn{1}{|c|}{		140	}			&\multicolumn{1}{|c|}{\np{1610}}				&\np{1750}\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(14,170)
\multido{\n=0.0+0.2}{71}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,160)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,160)}
\multido{\n=0+2}{81}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Oy=300,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(14,160)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=awesome](0,24)(1,52)(2,58)(3,64)(4,73)(5,72)(6,89)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.9,linecolor=vividviolet,dotangle=45](0,35)(12,143)
\psdot[dotstyle=square,dotscale=1.9,fillcolor=red, dotangle=45](3,61.714)
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=vividviolet,plotpoints=5000]{0}{14}{x  9 mul   35 add}
\uput[dr](3,61.714){\color{red}{G}}
\uput[u](12.7,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,168){Nombre de bénéficiaires du}
\uput[r](0,163){congé de paternité (en millier)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}