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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Nathalie Leroy 
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\[4pt]14 novembre 2014}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'interruptions volontaires de grossesse (I.V.G.)
médicamenteuses dans les villes des départements d'outre-mer de 2005 à 2011.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année								&2005	&2006	&2007		&2008	&2009	&2010	&2011\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_i\right)$	&1 		&2		&3			&4		& 5 	&6		&7\\ \hline
Nombre d'I.V.G. médicamenteuses
 $\left(y_i\right)$					&543	&952	&\np{1338}	&\np{1642}&\np{1967}&\np{2467}&\np{2511}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : DREES, Ministère des affaires sociales et de la santé}}
\end{tabularx}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du nombre d'I.V.G. médicamenteuses entre 2010 et 2011.% Arrondir le résultat à 0,1\,\%.

Le taux d'évolution $t$  est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.		
		$t=\dfrac{\np{2511}-\np{2467}}{\np{2467}}\approx\np{0.0178}$.

 Le  taux d'évolution du nombre d'I.V.G. médicamenteuses entre 2010 et 2011 est à \np{0.1}\,\% près de \np{1.8}\,\%.

\item %Représenter sur une feuille de papier millimétré 
Le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ a été représenté  dans un repère orthogonal sur la feuille \textbf{Annexe}.

{\footnotesize On prendra pour unités graphiques : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses ; 1 cm pour 250 I.V.G. sur l'axe des ordonnées.}
\item Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. 
Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.

\[
\overline{x_{\text{G}}}=\frac{1+2+\dots+7}{7}=4\qquad \overline{y_{\text{G}}} = \frac{\np{543}+\np{952}+\dots+\np{2511}}{7} = \np{1631.4286}\]

G a pour coordonnées (4~;~1631), l'ordonnée de G  étant arrondie à l'entier.
\end{enumerate}
\textbf{Dans toute la suite de l'exercice, on prendra pour coordonnées de} G(4~;~\np{1631}).
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit le point A(0~;~265).
	\begin{enumerate}
		\item La droite (AG) a été tracée sur le graphique du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.
		\item Déterminons une équation de  la droite (AG). 
		Cette droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme  $ y=mx+p $ où $m=\dfrac{y_{\text{G}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{G}}-x_{\text{A}}}$.

$m=\dfrac{\np{1631}-265}{4}= \np{  341.5}$. Passant par A, $p = 265$ donc  (AG) a pour équation : 

$y = 341,5x + 265$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite (AG) est un ajustement affine pertinent du nuage de points

$M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ qui permet d'effectuer des estimations au-delà de 2011. En utilisant cet ajustement affine, calculons:
	\begin{enumerate}
		\item le nombre d'I.V.G. médicamenteuses dans les villes des départements d'outre-mer en 2014 ; 
		
Le rang de l'année 2014 est 10. Par conséquent, remplaçons $x$ par 10 dans l'équation de la droite.		

		$y=\np{  341.5}\times 10+265=\np{  3680}$.   
		
		Selon ce modèle, une estimation du nombre d'I.V.G. médicamenteuses en 2014 est \np{  3680}.
		\item l'année à partir de laquelle le nombre d'I.V.G. médicamenteuses dans les villes des départements d'outre-mer dépassera \np{4500}. Pour ce faire, résolvons $\np{  4500}=\np{341.5}x+265$.
		
	$\np{4500}= \np{341.5}x+265  \iff  x=\dfrac{\np{4500}- 265 }{ \np{341.5} } $. D'où  $x \approx \np{  12.40}$.
	
L'année à partir de laquelle le nombre d'I.V.G. médicamenteuses dans les villes des départements d'outre-mer dépassera \np{4500} est $2005+13 -1$ c'est-à-dire 2017.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Chaque année on déplore des accidents de la route mortels (c'est-à-dire ayant entraîné un décès au moins).

Le tableau ci-dessous indique le nombre de conducteurs de voiture de tourisme impliqués dans un
accident mortel en 2011, en fonction de leur alcoolémie et du port de la ceinture de sécurité.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Test d'alcoolémie positif& Test d'alcoolémie  négatif&Total\\ \hline
Nombre de conducteurs ceinturés&383& \np{2185}& \np{2568}\\ \hline 
Nombre de conducteurs non ceinturés&167& 92& 259\\ \hline 
Total &550 &\np{2277} &\np{2827}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{ Source: ONISR, Fichier des accidents}}
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième.}

\medskip

On prélève au hasard le dossier d'un conducteur parmi les \np{2827} conducteurs impliqués dans des accidents mortels.

On considère les évènements suivants :

$A$ : \og Le test d'alcoolémie du conducteur était positif au moment de l'accident \fg{} ;

$C$ : \og Le conducteur était ceinturé au moment de l'accident \fg.

On note $\overline{C}$ l'évènement contraire de l'évènement $C$ et $P_A(C)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
}
\medskip

L'univers est l'ensemble des dossiers des conducteurs impliqués dans des accidents mortels. Le prélèvement ayant lieu au hasard, la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité.

 La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A)=\dfrac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité que le test d'alcoolémie du conducteur ait été positif au moment de l'accident.

Il y a 550 conducteurs dont le test d'alcoolémie  est positif parmi les \np{2827} conducteurs donc

 $ p(A)=\dfrac{550}{\np{2827}}\approx \np{0.195}$.
\item Calculons la probabilité que le conducteur n'ait pas été ceinturé au moment de l'accident.

Il y a 259 conducteurs qui n'étaient pas ceinturés lors de l'accident parmi les \np{2827} conducteurs  donc

 $p(\overline{C})=\dfrac{259}{\np{2827}}\approx \np{0.092}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $A \cup \overline{C}$ est l'évènement : \og le conducteur avait un test d' alcoolémie positif ou n'était pas ceinturé lors de l'accident\fg .
		\item Calculons la probabilité $P\left(A \cup \overline{C}\right)$.

$P\left(A \cup \overline{C}\right)=p(A)+ p\left(\overline{C}\right) -p \left(A \cap \overline{C}\right) = \dfrac{550 + 259 - 167}{\np{2827}}\approx \np{0.22709}$.

Par conséquent  $P\left(A \cup \overline{C}\right)$ est environ égale à 0,227.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le conducteur n'ait pas été ceinturé, sachant que son test d'alcoolémie était négatif est notée $ p_{\overline{A}}(\overline{C})$.
		
		$ p_{\overline{A}}\left(\overline{C}\right)=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap \overline{C}\right)}{p(\overline{A})}=\dfrac{\frac{92}{\np{2827}}}{\frac{\np{2277}}{\np{2827}}}=\dfrac{92}{\np{2277}}\approx \np{0.040}$
		\item Calculons la probabilité $p_A\left(\overline{C}\right)$.$p_A\left(\overline{C}\right)=\dfrac{p\left(A\cap \overline{C}\right)}{p(A)}=\dfrac{\frac{167}{\np{2827}}}{\frac{\np{550}}{\np{2827}}}=\dfrac{167}{\np{550}}\approx \np{0.304}$.
		
On peut utiliser directement le tableau pour lire (deuxième colonne) que $ p_{\overline{A}}\left(\overline{C}\right)= \dfrac{92}{\np{2277}}\approx 0,040$.
		
De même (première colonne) $p_A\left(\overline{C}\right) = \dfrac{167}{550} \approx 0,304$.
		\item %Comparer ces deux derniers résultats et commenter par une phrase.
La probabilité que le conducteur n'ait pas été ceinturé sachant que son test d'alcoolémie est négatif est beaucoup plus faible que si son test d'alcoolémie est positif. En buvant, on oublie de mettre la ceinture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
La scintigraphie est une technique d'exploration du corps humain qui permet de diagnostiquer des
maladies. Lors d'une scintigraphie de la glande thyroïde, on injecte une dose d'iode dans le corps d'un patient. Cette dose se fixe sur la glande thyroïde de ce patient puis se désintègre au cours du temps.

Le graphique donné en \textbf{annexe} représente le nombre de noyaux d'iode, exprimé en milliards, restant fixés sur la glande thyroïde en fonction du temps.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique donné en \textbf{annexe}, indiquons  que:
			\begin{enumerate}
		\item  le nombre de noyaux injectés initialement est 400. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe appartenant à l'axe des ordonnées.
		\item le nombre minimal d'heures à attendre pour que la moitié des noyaux injectés ait été désintégrée est d'environ 14 heures;%(on laissera les traits de construction apparents sur le graphique).
		
		Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 200. Elle est  d'environ 13,5 heures . 
			\end{enumerate}	
\end{enumerate}
{\footnotesize
On considère la fonction $N$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par : 		$N(t) = 400 \times  0, 95^t$.
		
La courbe donnée en annexe est la représentation graphique de la fonction $N$ dans un repère orthogonal.
		
Pour tout temps $t$, exprimé en heures, on admet que $N(t)$ représente le nombre de noyaux, exprimé en milliards, restant fixés sur la glande thyroïde au temps $t$.}
	\begin{enumerate} [resume]
\item 	Nous savons que si $0<a<1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction décroissante sur $\R$. 

Ici $a=\np{0.95}$, c'est-à-dire un nombre strictement inférieur à 1 par conséquent la fonction $f$ est une fonction décroissante sur [0~;~100].

On admet que la fonction $N$ a le même sens de variation que la fonction $f$, fonction exponentielle de base 0,95 définie sur [0~;~100] par $f(t) = 0,95^t$. Par conséquent, la fonction $N$ est décroissante sur [0~;~100].
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons l'inéquation : $N(t) < 40$.
		\begin{align*}
		400\times\np{0.95}^t&<40 \\
 \np{0.95}^t&<\np{0.1} \\
 \log \np{0.95}^t&<\log\np{ 0.1}\\
t \log \np{0.95} &<\log \np{0.1} \\
 t&>\dfrac{\log \np{ 0.1}}{\log \np{0.95}}		\hspace{2em}\text{car}\: \log \np{0.95}< 0\\
 \dfrac{\log \np{ 0.1}}{\log \np{0.95}}	&\approx \np{44.891}
 		\end{align*}
 		
 		 L'ensemble solution de l'inéquation est  $ \left ]\dfrac{\log \np{ 0.1}}{\log \np{0.95}}~;~100 \right]$
		\item On considère que le produit injecté a été éliminé de l'organisme lorsqu'il reste moins de 10\,\% de la quantité injectée initialement.
		
La quantité restante pour que le produit restant soit considéré comme éliminé est  $400\times \dfrac{10}{100}	=40$.
	
Déterminer au bout de combien de temps nous pouvons considérer que le produit a été éliminé de l'organisme revient à résoudre $N(t)<40$. 

Nous  déterminâmes en \textbf{3. a. } que  le temps nécessaire devait être au moins de  

\np{44.891}~ heures, ce qui correspond à environ 1 jour et  21 heures. %On exprimera cette quantité en jours et en heures, arrondie à l'heure.
	\end{enumerate}
\item Calculons le pourcentage de diminution du nombre de noyaux entre la première heure et la sixième heure.

Le taux de variation $t $ est  $\dfrac{N(6)-N(0)}{N(0)}$. $t=\dfrac{400\times \np{0.95}^6-400}{400}=\np{0.95}^{6}-1=\np{- 0.2649}$

Le pourcentage de diminution du nombre de noyaux entre la première heure et la sixième heure est, arrondi à 0,1\,\%, de \np{26.5}\,\%.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}	
\textbf{ANNEXE \hspace{1.5em} À rendre avec la copie}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.004cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10,2700)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=250]{->}(0,0)(10.4,2620)
   \multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2550)}
  \multido{\n=0+25}{103}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
 \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,543)(2,952)(3,1338)(4,1642)(5,1967)(6,2467)(7,2511)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{6.69}{x 341.5   mul 265 add }
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale=1.4,dotangle=45](4,1631)  \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale=1.4,dotangle=45](0,265)
 \uput[ur](4,1631){\textcolor{red}{$G$}}\uput[ul](0,265){$A$}
  \rput(0,2690){\footnotesize Nombre d'I.V.G. médicamenteuses}
 \rput(10,47){\footnotesize rang de l'année}

\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-8,-50)(105,450)
\multido{\n=0+2}{51}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,450)}
\multido{\n=0+10}{46}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan](0,\n)(100,\n)}
%\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,450)}
%\multido{\n=0+50}{10}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(105,450)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{100}{0.95 x exp 400 mul}
\uput[d](90,-20){Temps (en heures)}
\uput[r](0,460){Nombre de noyaux (en milliards)}
\def\Func{0.95 x exp 400 mul}
 \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 13.5134 def \Func)(!13.5134 /x 13.5134 def \Func)(13.5134,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}

