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%Tapuscrit et corrigé : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé de baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S~\decofourright\\[7pt]
Nouvelle Calédonie -- Novembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\bigskip

Des études statistiques ont prouvé que 4\,\% de la population d'un pays est atteinte par une certaine maladie.

Pour cette maladie, un laboratoire pharmaceutique élabore un nouveau test de dépistage.

\begin{list}{\textbullet}{Les essais sur un groupe témoin ont donné les résultats suivants:}
\item 4\,\% des individus du groupe témoin sont atteints par la maladie;
\item 85\,\% des personnes atteintes par la maladie réagissent positivement au test;
\item 99\,\% des personnes non atteintes par la maladie réagissent négativement au test.
\end{list}

On choisit au hasard un individu dans le groupe témoin; on admet que chaque individu a la même probabilité d'être choisi.

%Pour tout événement $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$.
%
%Si $F$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_{F}(E)$.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{On note les événements suivants:}
\item $M$: \og l'individu choisi est atteint par la maladie \fg{} ;
\item $T$: \og l'individu choisi réagit positivement au test\fg{}.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité de l'événement $M$.
On sait que 4\,\% des individus du groupe témoin sont atteints par la maladie, donc la probabilité de l'événement $M$ est $P(M)=0,04$.

\item %Déterminer la probabilité qu'un individu réagisse positivement au test sachant qu'il est atteint par la maladie.
On sait que 85\,\% des personnes atteintes par la maladie réagissent positivement au test donc la probabilité qu'un individu réagisse positivement au test sachant qu'il est atteint par la maladie est $P_{M}(T)=0,85$.

\item On complète  l'arbre de probabilité ci-dessous:

\begin{center}
{\bigskip
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$M$}\naput{$0,04$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\naput{$0,85$}
			                \TR{$\overline{T}$}\nbput{\blue $1-0,85=0,15$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{\blue $1-0,04=0,96$}}
	                        {
	                        \TR{$T$}\naput{\blue $1-0,99=0,01$}
			                \TR{$\overline{T}$}\nbput{$0,99$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}

\item L'événement $M\cap T$ est \og l'individu choisi est atteint par la maladie et réagit positivement au test \fg{}.

D'après l'arbre, $P(M\cap T) = P(M)\times P_{M}(T)= 0,04\times 0,8( = 0,034$.
 
\item% Montrer que la probabilité de l'événement $T$ est égale à $\np{0,0436}$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)= P\left ( M \cap T \vphantom{\overline{M}}\right ) + P\left ( \overline{M}\cap T\right )
= 0,034 + 0,96\times 0,01 = 0,034 + \np{0,0096} = \np{0,0436}$.

\item La probabilité qu'un individu ne soit pas atteint par la maladie sachant qu'il réagit positivement au test est: $P_{T}\left ( \overline{M}\right ) = \dfrac{P\left ( \overline{M}\cap T\right )}{P(T)}
= \dfrac{\np{0,0096}}{\np{0,0436}}\approx 0,22$.

\item Certains organismes de santé autorisent la commercialisation d'un test de dépistage lorsque la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que la réaction au test est positive est inférieure à 20\,\%.

D'après la question précédente, la probabilité  de ne pas être atteint par la maladie sachant que la réaction au test est positive est d'environ $22\,\%$ donc le laboratoire pharmaceutique n'est pas en droit d'espérer, selon ce critère, une commercialisation de son test.

%Le laboratoire pharmaceutique peut-il espérer, selon ce critère, une commercialisation de son test?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\bigskip

L'Allocation Personnalisée d'Autonomie en établissement (APA en établissement) est une allocation destinée aux personnes âgées de plus de 60 ans en perte d'autonomie et résidant dans un établissement de santé.
Dans cet exercice, on modélise de deux façons différentes l'évolution du montant de l'APA en établissement dans un département français.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau suivant donne les montants, en euro, de l'APA en établissement de 2007 à 2015 pour le département considéré:

\begin{center}
{\small
%\setlength{\tabcolsep}{0cm} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\
\hline
\footnotesize{Rang de l'année $(x_i)$} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
{\footnotesize Montant en euro de l'APA en établissement $(y_i)$}
& \np{13504} & \np{14443} & \np{14914}  & \np{15351}  & \np{15751}  & \np{16144}  & \np{16744}  & \np{17190}  & \np{18070}\\
\hline
\end{tabularx}
}

\hfill \emph{Source DREES, enquête aide sociale}

\end{center}

\textbf{En annexe 1}, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ associé à cette série statistique.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Arrondir l'ordonnée à l'unité.
$x_{\text G} = \dfrac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9}=5$

$y_{\text G} = \dfrac{\np{13504} + \np{14443} + \np{14914}  + \np{15351}  + \np{15751}  + \np{16144}  + \np{16744}  + \np{17190}  + \np{18070}}{5}\approx \np{15590}$

\item On place le point G dans le repère; voir graphique.
\end{enumerate}

\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=516x + \np{13210}$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points jusqu'en 2020.
\begin{enumerate}
\item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ dans le repère précédent. Donner les coordonnées des points choisis pour la tracer.
On détermine deux points de la droite:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Abscisse & 0 & 10\\
\hline
Ordonnée & $0+\np{13210} = \np{13210}$ & $516\times 10 + \np{13210} = \np{18370}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On trace la droite $\mathcal{D}$ dans le repère; voir graphique.

\item L'année 2018 correspond à $x=12$; or $516\times 12 + \np{13210} = \np{19402}$.

Donc une estimation du montant de l'APA en établissement dans ce département pour l'année 2018 
est de $\np{19402}$~euros.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a recopié le tableau précédent dans une feuille de calcul d'un tableur.

\emph{Les cellules de la ligne 4 sont au format pourcentage.}

\begin{center}
\small
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabularx}{\linewidth}{| >{\ca\cellcolor{lightgray}}c|m{2.2cm}|*{10}{>{\ca}X|}}
%%% Attention : nécessite le package colortbl
\hline
\rowcolor{lightgray} & \centering A & B & C & D  & E & F & G & H & I & J\\
\hline
1 & \footnotesize{Année} & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 \\
\hline
2 & \footnotesize{Rang de l'année} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\
\hline
3 & {\footnotesize Montant en euro\newline de l'APA\newline en établissement}
& \np{13504} & \np{14443} & \np{14914}  & \np{15351}  & \np{15751}  & \np{16144}  & \np{16744}  & \np{17190}  & \np{18070}\\
\hline
4 & {\footnotesize Taux d'évolution} \rule[-10pt]{0pt}{25pt}& \cellcolor{gray} &&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'arrondi à $0,1\,\%$ du taux d'évolution du montant de l'APA en établissement dans ce département entre 2014 et 2015 est obtenu par 
$\dfrac{\np{18070} - \np{17190}}{\np{17190}}\times 100$, ce qui donne $5,1\,\%$.

\item La formule à entrer dans la case \texttt{C4} pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution en pourcentage du montant de l'APA en établissement dans ce département, entre deux années consécutives est: \qquad\texttt{=(C3-B3)/ B3}.
\end{enumerate}

\item On suppose maintenant que le montant de l'APA en établissement dans ce département augmente de $5,1\,\%$ par an après 2015. On décide de modéliser ce montant par une suite numérique $(u_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le montant de l'APA en établissement dans ce département, en euro, pour l'année $(2015+n)$. Ainsi, $u_0=\np{18070}$.

\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_1$. Arrondir le résultat à l'unité. Interpréter la valeur de $u_1$ dans le contexte de l'exercice.
On calcule $u_1$ qui représente le montant de l'APA en $2015+1$ soit en 2016:

$u_1=u_0+u_0\times \dfrac{5,1}{100} = u_0\left (1+ \dfrac{5,1}{100}\right ) = \np{18070}\times 1,051 \approx \np{18992}$.

\item% Donner, sans justification, la nature de la suite $(u_n)$ et sa raison.
Pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n \times 1,051$ donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,051$; son premier terme est $u_0=\np{18070}$.

\item% Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente, on a, pour tout entier $n$, $u_n=u_0\times q^n=\np{18070}\times 1,051^n$.

\end{enumerate}

\item% Parmi les deux modèles (l'ajustement affine de la partie A et la suite $(u_n)$ de la partie B), quel est celui qui prévoit le plus haut montant de l'APA en établissement pour l'année 2018?
Pour 2018, le premier modèle donne une estimation de $\np{19402}$~\euro.

Pour $2018=2015+3$, le second modèle donne une estimation de $u_3 = \np{18070} \times 1,051^3 \approx \np{20978}$~\euro.

C'est donc le second modèle qui prévoit le plus haut montant de l'APA en établissement pour l'année 2018.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par: $f(t)=-t^3 +3 t^2 + 24 t +28$.

Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item Pour tout $t$ de $\R$,  $f'(t) = -3t^2 +6t +24$
\item Pour tout $t$ de $\R$, 
$\left (4-t\right )\left (3t+6\right )= 12t +24 -3t^2 -6t = -3t^2 +6t +24 = f'(t)$.

\item On étudie le signe de $f'(t)$ au moyen d'un tableau de signes:

\begin{center}
\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
t  & -\infty & \esp & -2 & \esp & 4 & \esp & +\infty \\
\hline
4-t &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
3t+6 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
f'(t) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
\end{center}

\item $f(-2)=0$ et $f(4)=108$; on déduit le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 t & -\infty & \esp & -2 & \esp & 4 & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(t) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{} & &  & & \Rnode{max2}{108} & & \\
f (t) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{0} & & & & \Rnode{min2}{}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une épidémie de varicelle s'est déclarée dans les crèches d'une commune. On observe son évolution dans le temps.

Un relevé hebdomadaire effectué par le service communal d'hygiène et de santé a permis d'établir le tableau suivant:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de semaines écoulées
\newline depuis le début de l'épidémie $(x_i)$	&0 	&1 	&2 	&3 		&4 		&5\\\hline
Nombre de cas de varicelle $(y_i)$ 				&25 &52 &82 &100 	&110 	&97\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item \textbf{En annexe 2}, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, une partie de la courbe représentative de la fonction $f$. Dans ce repère, on place les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ correspondant au relevé ci-dessus.

\item Les points tracés sont très proches de la courbe, donc  il est pertinent de modéliser le nombre de cas de varicelles au cours du temps par la fonction $f$. 

Le nombre de semaines et le nombre de cas de varicelles doivent être positifs donc on se placera sur l'intervalle $[0~;~7]$.

\end{enumerate}

\item En utilisant cette modélisation et avec la précision permise par le graphique:

\begin{enumerate}
\item le nombre d'enfants atteints par la varicelle au bout de $10$ jours est d'environ $65$;
\item la période durant laquelle le nombre de cas de varicelle est supérieur à $100$ est entre $21$ et $34$ jours. 
\end{enumerate}

\item D'après ce modèle, il n'y aura plus aucun enfant atteint de varicelle dans les crèches de la commune au bout de 7 semaines.

En effet, $f(7) = 0$ et  si $t > 7$, alors $f(t) < 0$.
\end{enumerate}


\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\emph{\textbf{À rendre avec la copie}}

\textbf{EXERCICE 2}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm}
\def\xmin {0}   \def\xmax {16}
\def\ymin {13}   \def\ymax {23}
\begin{pspicture}(-2,11)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=0.8cm,gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=5](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[ticksize=0pt 2pt, labels=x,linewidth=0pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,13)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\multido{\n=13000+1000,\i=13+1}{11}
{\uput[l](0,\i){\footnotesize\np{\n}}}
{\psset{dotstyle=x,dotscale=2}
\psdots(1,13.504)(2,14.443)(3,14.914)(4,15.352)(5,15.751)(6,16.144)(7,16.744)(8,17.190)(9,18.070)}
\uput[d](8,12.5){\footnotesize\textbf{Rang de l'année}}
\uput[l]{90}(-1.2,18){\footnotesize\textbf{Montant de l'APA (en €)}}
%%%%
\psset{linecolor=blue}
\psplot{0}{16}{0.516 x mul 13.21 add}
\psdots(5,15.790)(0,13.210)(10,18.370)
\uput[ul](5,15.790){\blue G} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\emph{\textbf{À rendre avec la copie}}

\textbf{EXERCICE 3}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-15}   \def\ymax {125}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=14cm,gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=7](\xmin,-1)(\xmax,7) 
\psgrid[xunit=4cm,yunit=2cm,gridlabels=0, gridcolor=gray,subgriddiv=4](\xmin,-1)(\xmax,7) 
\psaxes[ticksize=2pt 2pt,Dx=1,Dy=20](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{x x x neg 3 add mul 24 add mul 28 add}
\uput{9pt}[dl](0,0){0}
\uput*[d](4,-9){\textbf{Nombre de semaines}}
\uput*[u](4,113){\textbf{Nombre d'enfants atteints par la varicelle}}
%%%
\psset{dotstyle=x,dotscale=1.5}
\psdots(0,25)(1,52)(2,82)(3,100)(4,110)(5,97)
\psset{arrowsize=3pt 3}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](1.4286,-5)(1.4286,65,5)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=1](1.4286,65,5)(0,65.5)
\uput*[l](0,65.5){65}
\uput*{15pt}[d](1.4286,0){\footnotesize 10 jours} 
\psset{linecolor=red}
\psline[linestyle=dashed](0,100)(7,100)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](4.857,100)(4.857,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](3,100)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{[-]}(3,0)(4.857,0)
\uput*{15pt}[d](3,0){\red \footnotesize 21 jours} 
\uput*{15pt}[d](4.857,0){\red  \footnotesize 34 jours} 
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{document}