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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S La Réunion~\decofourright\\  juin 2010 }}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

%\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
%
%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip
 
%Une compagnie d'assurance estime que la valeur marchande d'une machine achetée \np{2000}~euros le 1\up{er} janvier 2010 baisse de 18\:\% par an.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant au centime d'euro si nécessaire : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2010		&2011 		&2012 		&2013 			&2014 \\ \hline 
Valeur (en euros)	&\np{2000}	&\np{1640} 	&\np{1344,80}&\np{1102,74}	&904,24 \\ \hline \hline
Année 				&2015 		&2016 		&2017 		&2018			&\\ \hline
Valeur (en euros)	&741,48		&608,01		&498,57		&408,83			& \\ \hline 
\end{tabularx} 

\medskip 

\item %Montrer que ces valeurs sont les termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison.
Chaque année la valeur perd 18\,\%, donc est multipliée par $1 - \frac{18}{100} = \frac{82}{100} = 0,82$ facteur constant. Donc les valeurs successives sont les termes d'une suite géométrique de premier terme \np{2000} et de raison  0,82. 
\item %On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~18] par 

%\[f(t) = \np{2000} \times  (0,82)^t.\]
 
%On admet que $f$ a les mêmes variations sur [0~ ;~18] que la fonction qui à $t$ associe $(0, 82)^t$. Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur [0~;~18] ? 
On sait que la fonction qui à $t$ associe $(0, 82)^t$ est décroissante car $0,82 < 1$, donc $f$ est également décroissante sur [0~;~18].
\item %Résoudre, par le calcul, l'inéquation : $f(t) \leqslant 500$.
$f(t) \leqslant 500$ s'écrit $\np{2000} \times  (0,82)^t \leqslant 500$ ou en simplifiant par 500, 

$4 \times  (0,82)^t \leqslant 1$, puis $(0,82)^t \leqslant \dfrac{1}{4}$, d'o\`u par croissance de la fonction logarithme décimal $t \log 0,82 \leqslant \log \frac{1}{4}$ et enfin $t \geqslant \dfrac{\log \frac{1}{4}}{\log 0,82}$, (car $\log 0,82 < 0$).

Comme $\dfrac{\log \frac{1}{4}}{\log 0,82} \approx 6,98$, on a 

$f(t) \leqslant 500$ si $t \geqslant 7$.
\item %En déduire à partir de quelle année la valeur marchande de la machine est inférieure ou égale au quart de sa valeur initiale. Est-ce cohérent avec le tableau de la question 1 ?
D'après la question 2, la valeur marchande de la machine est égale à 

$u_{0}  \times q^t = \np{2000} \times 0,82^t = f(t)$, donc dire que la valeur marchande de la machine est inférieure ou égale au quart de sa valeur initiale revient à dire que 

$f(t) \leqslant 500$, c'est-à-dire que $t$ est au moins égal à 7.

Effectivement dans le tableau de la question 1, on constante que la valeur marchande est inférieure ou égale pour la première fois à 500  la 7\up{e} année.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

%La feuille de calcul ci-dessous, réalisée à l'aide d'un tableur, donne l'avance ou le retard de l'ensemble des élèves de troisième scolarisés à la rentrée 2007 : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{2.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E&F&G\\ \hline
%1&\multicolumn{7}{|l|}{Avance ou retard des élèves scolarisés en classe de troisième}\\ \hline
%2&&&&&&&\\ \hline
%3&&&&&&&\\ \hline
%4&&En avance&À l'heure&1 an de retard& 2 ans et plus de retard&Ensemble&\\ \hline
%5&Effectifs&&&&&&\\ \hline
%6&Filles&\np{12386}&\np{250340}&\np{109050}&\np{17229}&\np{389005}&\\ \hline
%7&Garçons&\np{12386}&\np{224027}&\np{139003}&\np{20851}&\np{395969}&\\ \hline
%8&Ensemble&\np{24474}&\np{474367}&\np{248053}&\np{38080}&\np{784974}&\\ \hline
%9&Proportions en \:\%&&&&&&\\ \hline
%10&Filles&3,2&64,4&28,0&4,4&100,0&\\ \hline
%11&Garçons&3,1&56,6&35,1&5,3&100,0&\\ \hline
%12&Ensemble&3,1&60,4&31,6&4,9&100,0&\\ \hline
%13&\multicolumn{7}{|l|}{\footnotesize Champ : France - enseignement public et privé, ministère de l'Éducation Nationale}\\ \hline
%14&\multicolumn{7}{|l|}{\footnotesize \emph{Source : ministère de l'Éducation Nationale, Depp.}}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Quelle formule a-t-il fallu insérer dans la cellule B12 afin que, recopiée vers la droite jusqu'en E12, elle calcule la proportion en pourcentage d'élèves de troisième en avance, à l'heure ou en retard à partir des effectifs donnés par les trois premières lignes du tableau ?
 
%On choisira une seule réponse parmi les quatre proposées ci-dessous.

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} =B8/F8*100 ;&\textbf{b.~~} =B8/\$F8*100;& \textbf{c.~~} 
%=B\$8/F8*100;& \textbf{d.~~} =B8/F\$8*100\\
%\end{tabularx}
%\bigskip
Réponse : b.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On tire au hasard la fiche d'un élève de troisième. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

%Soit $A$ l'évènement: \og La fiche choisie est celle d'une fille \fg.
 
%Soit $B$ l'évènement: \og La fiche choisie est celle d'un élève en retard de deux ans ou plus \fg.

%Les résultats seront arrondis au centième.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités $p(A)$ et $p(B)$.
$p(A) = \dfrac{\np{389005}}{\np{784974}} \approx 0,50.$ 
\item %Décrire par une phrase l'évènement $A \cap B$.
$A \cap B$ : \og La fiche choisie est celle d'une fille en retard de deux ans ou plus \fg. 
\item %Calculer $p(A \cap B)$.
$p(A \cap B) = \dfrac{\np{17229}}{\np{784974}} \approx 0,02$. 
\item %Calculer la probabilité de $A$ sachant $B$, notée $p_{B}(A)$.
Sur les \np{38080} élèves en retard d'au moins deux ans, il y a \np{17229} filles.

On a donc  $p_{B}(A) = \dfrac{\np{17229}}{\np{38080}} \approx 0,45$.
\item %Sachant que la fiche choisie est celle d'un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit en avance d'un an ?
Sur les \np{395969} garçons, il y en  a \np{12386} en avance, soit une probabilité de $\dfrac{\np{12386}}{\np{395969}} \approx 0,03$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 9 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire une campagne de promotion pour un nouveau remède. Une étude prouve que la fréquence $f(t)$ de personnes connaissant le nom de ce remède après $t$ semaines de publicité est donnée par : 
%
%\[f(t) = \dfrac{3t}{3t + 2} \quad \text{avec}~t \geqslant 0.\]
%
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(2)$.
$f(2) = \dfrac{3 \times 2}{3 \times 2 + 2} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$. 
\item %En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce remède au bout de deux semaines.
Si 3 personnes sur 4  connaissent le nom du remède au bout de deux semaines, 1 sur 4 ne le connaît pas soit $\dfrac{25}{100}$ ou 25\,\%. 
\item %Comment peut-on interpréter la valeur de l'image de $0$ par $f$ ?
$f(0)$ est la fréquence de personnes connaissant le nom du remède avant la campagne de publicité. Ici $f(0) = 0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Une représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] est donnée en annexe dans un repère orthogonal.
% 
%Unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses et 10~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que $f$ est dérivable sur [0~;~18] et que sa dérivée est donnée par $f'(t) =  \dfrac{6}{(3t + 2)^2}$.

Comme $6 > 0$ et $(3t + 2)^2 \geqslant 4 > 0$, $f'(t) > $, donc la fonction $f$ est croissante sur [0~;~18] de $f(0) = 0$ à $f(18) = \dfrac{3 \times 18}{3 \times 18 + 2} = \dfrac{54}{56} =\dfrac{27}{28}$.
 
%Étudier les variations de la fonction $f$ sur [0~;~18]. 
\item %Calculer le nombre dérivé de $f$ en $t = 1$.
On a $f'(1) = \dfrac{6}{(3 + 2)^2} = \dfrac{6}{25} = \dfrac{24}{100} = 0,24$. 
\item %$T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1. Quel est son coefficient directeur ?
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1 est égal à 

$f'(1) = 0,24$.
\item %Tracer $T$ sur la feuille annexe (à rendre avec la copie). 
Voir à la fin
\item %Tracer les droites $D$ d'équation $y = 0,90$ et $D'$ d'équation $y = 0,95$.
 
%Déterminer graphiquement le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90\:\% de la population connaisse le nom du remède.
La droite d'équation $y = 0,90$ coupe la courbe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. Voir le graphique. On lit à peu près $6$.

Il faut donc 6~semaines de campagne pour que le nom du remède soit connu par 90\,\% des personnes. 
%Combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90\:\% à 95\:\% ?

On refait la même construction avec la droite d'équation $y = 0,95$. On lit à peu près 13~semaines.

Il faut donc $13 - 6 = 7$ semaines pour passer de 90\,\% à 95\,\%.  
%On laissera les traits de construction apparents. 
\item %Le ministère a décidé d'arrêter la campagne au bout de six semaines. Justifier ce choix.
Pour passer de 0 à 90\,\% il faut une campagne de 6 semaines ; pour passer de  90\,\% à 95\,\% il faut sept semaines supplémentaires : le coût est disproportionné pour le résultat obtenu. Une campagne de 6 semaines est amplement suffisante car alors, 9 personnes sur 10 connaîtront le nom du remède. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushright}\textbf{Annexe à rendre avec la copie :} Exercice 3
\end{flushright}

\vspace{1.5cm}
 
Représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ (exercice 3) :

\psset{xunit=1cm,yunit=10cm}
\rotateleft{
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(18.5,1.1)
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\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrosize=2pt 3]{->}(0,0.95)(12.7,0.95)(12.7,0)
\end{pspicture}} 

\end{document}