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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S~\decofourright \\[5pt]Métropole - La Réunion  -- 18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (5 points)}

\medskip

Un médicament est prescrit sous forme d'injections qui doivent être administrées une fois par semaine.
Le volume de la première dose est déterminé en fonction de la masse corporelle du patient à raison de \np[mL]{2}  de médicament par kg.
Chaque semaine, le volume de la dose administrée est augmenté de 5\,\%. Dès que le volume de la dose administrée est supérieur ou égal au double du volume initial, on interrompt le traitement après cette dernière injection.

On applique le traitement à une personne dont la masse corporelle est de \np[kg]{60}.
Pour déterminer les doses administrées, on s'aide de la feuille de calcul automatisé ci-dessous (les
cellules de la plage [B2 : G2] sont paramétrées pour afficher les valeurs arrondies au dixième).

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.05cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A &B& C&D&E& F& G \\\hline
1& Numéro de l'injection &1& 2& 3& 4 &5& 6\\\hline
2 &Dose administrée en mL
à chaque injection &$120$& $126$& $132,3$&$138,9$ &$145,9$ &$153,2$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\emph{Tous les résultats seront arrondis au dixième.}

\begin{enumerate}
\item % Justifier les résultats obtenus dans les cellules B2 et C2.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On administre le traitement à une personne de 60~kg et on injecte la première fois 2~mL par kilo donc une dose de $60\times 2=120$~mL; donc on met 120 en case \texttt{B2}.
\item Chaque semaine, on augmente la dose de 5\,\% donc la 2\ieme{} semaine on injectera une dose, en mL, de $120+\dfrac{5}{100}\times 120 = 120\times 1,05 = 126$; on met donc 126 dans la case \texttt{C2}.
\end{list}

\item La formule à saisir dans la cellule \texttt{C2} et à recopier vers la droite pour calculer 
les valeurs des doses à administrer chaque semaine est
\fbox{\verb!= B2 * 1,05!}

\item On appelle $V_n$ la valeur, en mL, du volume de la dose administrée lors de la $n$-ième injection.

Ainsi,$ V_1=120$.
\begin{enumerate}
\item%  Justifier que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique et préciser sa raison.
Ajouter 5\,\% c'est multiplier par $1,05$ donc la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $V_1=120$.

\item% Pour tout entier naturel $n$, exprimer $V_n$ en fonction de $n$.
De la nature de la suite $\left(V_n\right)$, on peut déduire que, pour tout $n\geqslant 1$, on a\\ $V_n=V_1\times q^{n-1}= 120\times 1,05^{n-1}$.

\item Le volume administré lors de la 10\ieme{} injection est en mL de
$V_{10}=120\times 1,05^{10} \approx 195,5$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item%  Expliquer pourquoi le nombre total d'injections administrées lors du traitement peut s'obtenir en résolvant l'inéquation d'inconnue $n$, entier naturel :
%\[120 \times 1,05^{n-1}\geqslant 240 .\]
Dès que le volume de la dose administrée est supérieur ou égal au double du volume initial, on interrompt le traitement après cette dernière injection. Le volume initial est de 120, donc on s'arrête dès que $V_n\geqslant 2\times 120$ soit $120\times 1,05^{n-1} \geqslant 240$.

b)% Justifier que le traitement comporte au total 16 injections.
$V_{15} \approx 237,6 < 240$ et $V_{16} \approx 249,5>240$ donc c'est au cours de la 16\ieme{} injection que l'on dépasse 240 donc le traitement comporte 16 injections.

\end{enumerate}
\item Le volume total de médicament administré au patient lors de l'ensemble du traitement est, en mL, de
%Arrondir au dixième de mL.
$V_1+V_2+\cdots +V_{16} = V_1 \times \dfrac{1-q^{16}}{1-q} = 120 \times \dfrac{1-1,05^{16}}{1-1,05} \approx \np{2838,9}$.

%Rappel : \emph{si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q\not=1$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1 alors :}
%
%\[u_1+u_2+\dots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  (8 points)}

%\medskip
%
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A :} Lien entre le prix du tabac et la consommation de cigarettes en France

\smallskip

Le tableau ci-dessous présente l'évolution du prix en euros du paquet de 20 cigarettes de la marque
la plus vendue en France ainsi que celle du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France, exprimé en milliards et arrondi au centième.

%\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{6.3cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année& 2004& 2007 &2010 &2013 &2016\\\hline
Prix $x_i$ du paquet de 20 cigarettes de la
marque la plus vendue en France (en euros) &5 &5,13& 5,65& 6,7 &7\\\hline
Nombre total $y_i$ de paquets de 20 cigarettes
vendus en France (en milliards)& 2,75& 2,75& 2,74 &2,38& 2,25\\\hline
 \multicolumn{6}{r}{\emph{Source : Baromètre de la santé, INVS}}\\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  La baisse en pourcentage du nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France entre l'année 2004 et l'année 2016 est de
$\dfrac{2,25-2,75}{2,75}\times 100 \approx -18,2$.
\item En \textbf{annexe 1 page \pageref{reg}/\pageref{LastPage}}, figurent quatre des cinq points du nuage représentant les données du tableau. 

Il manque le point de coordonnées $(5,65~;\, 2,74)$ (voir graphique)

\item On choisit la droite $(d)$ d'équation $y=-0,255x + 4,08$ comme droite d'ajustement du nuage de points; elle est représentée en \textbf{annexe 1 page \pageref{reg}/\pageref{LastPage}}. On suppose qu'elle modélise le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus en France en fonction du prix d'un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue en France.

	\begin{enumerate}
		\item  Le ministère de la santé souhaite que le prix de vente d'un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue soit de 10 \euro{} en 2020.% Estimer, selon le modèle proposé, le nombre total de paquets de 20 cigarettes qui seront vendus en 2020.

Pour $x=10$, $y=-0,255\times 10 +4,08 = 1,53$~milliard de paquets.

		\item% Déterminer le prix minimum d'un paquet de 20 cigarettes de la marque la plus vendue qui, selon le modèle proposé, permettrait de passer sous la barre d'un milliard le nombre total de paquets de 20 cigarettes vendus. Préciser la méthode employée.
On veut passer sous les 1 milliard de paquets vendus donc on cherche $x$ pour que $y<1$; on résout cette inéquation:

$y<1 \iff -0,255x +4,08 < 1 \iff 3,08 < 0,255x \iff \dfrac{3,08}{0,255}<x$

Or $\dfrac{3,08}{0,255} \approx 12,08$ donc le prix minimum d'un paquet permettant de passer sous la barre d'un milliard de paquets vendus est de $12,10$~euros.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} Consommation de tabac et revenus en France 

\medskip

%\emph{Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  En 2000, une enquête réalisée auprès de \np{10 508} personnes âgées de 18 à 75 ans a étudié la relation entre le tabagisme et les revenus. Les revenus sont répartis en trois tranches. Les résultats de l'enquête figurent dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{2.13cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Revenus inférieurs&Revenus moyens &Revenus supérieurs &\multirow{2}{1.5cm}{Total}\\\hline
Fumeurs &\np{1 126} &\np{1 155}& 914& \np{3 195}\\\hline
Non-fumeurs& \np{2 403}& \np{2 596}& \np{2 314} &\np{7 313}\\\hline
\centering Total &\np{3 529}& \np{3 751}& \np{3 228} &\np{10 508}\\\hline
 \multicolumn{5}{r}{\emph{Source : Baromètre de la santé, INVS}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

On choisit au hasard la fiche réponse d'un individu ayant participé à l'enquête.

On définit les événements suivants :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $F~~:$ \og la fiche est celle d'un fumeur \fg{} ;
\item $\overline{F}~~:$  est l'événement contraire de l'événement $F$ ;
\item $I~~:$ \og la fiche est celle d'un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus inférieurs \fg{} ;
\item $M~~:$ \og la fiche est celle d'un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens \fg{} ;
\item $S~~:$ \og la fiche est celle d'un individu dont les revenus sont dans la tranche des revenus supérieurs \fg.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Il y a \np{3751} individus dont les revenus sont dans la tranche des revenus moyens, et \np{10508} individus en tout. On choisit une fiche au hasard donc la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un individu aux revenus moyens est $\dfrac{\np{3751}\rule{0pt}{10pt}}{\np{10508}}\approx 0,357$.

\item L'événement $F\cap M$ est l'événement \og l'individu est fumeur et dans la tranche de revenus moyens \fg{} dont le nombre est \np{1155}; donc
 $p(F\cap M) = \dfrac{\np{1155}\rule{0pt}{10pt}}{\np{10508}}\approx 0,110$.

%Calculer $p(F\cap M)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

On peut donc dire qu'il y a environ 11\,\% de fumeurs ayant des revenus moyens dans la population totale.

\item Sachant que la fiche choisie est celle d'un individu aux revenus moyens, la
probabilité qu'il s'agisse d'un fumeur est $p_{M}(F)$.
Il y a \np{1155} personnes aux revenus moyens et parmi eux \np{3751} fumeurs donc
$p_{M}(F) = \dfrac{\np{1155}\rule{0pt}{10pt}}{\np{3751}} \approx 0,308$.

\item  
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $p_I(F)\approx 0,319$ donc il y a environ $31,9$\,\% de fumeurs parmi les personnes à revenus inférieurs.
\item $p_S(F)\approx 0,283$ donc il y a environ $28,3$\,\% de fumeurs parmi les personnes à revenus supérieurs.
\end{list}

%Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item Une enquête semblable a été effectuée en 2016. Elle a permis d'obtenir l'arbre de probabilités suivant qui utilise les mêmes notations d'événements qu'à la question \textbf{1.} de la \textbf{Partie B}.

%\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\bigskip
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=30mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$I$~}\naput{$\np{0.33}$}}
	{
	\TR{$F$}\naput{$\np{0.388}$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\np{0.612}$}
	}
\pstree{\TR{$M$~}\naput{$\np{0.34}$}}
	{\TR{$F$}\naput{$\np{0.285}$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\np{0.715}$}
	}
\pstree{\TR{$S$~}\nbput{$\np{0.33}$}}
	{\TR{$F$}\naput{$\np{0.210}$}
	\TR{$\overline{F}$}\nbput{$\np{0.790}$}
	}
}
\bigskip
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item  %Dans quelle tranche de revenus le tabagisme est-il le plus élevé en 2016 ?
$p(M)>p(I)$ et $p(M)>p(S)$ donc c'est chez les personnes à revenus moyens que le tabagisme est le plus élevé.		
		
		\item Pour voir comment le tabagisme a évolué entre 2000 et 2016 pour les tranches de revenus supérieurs et inférieurs, on va comparer $p_S(F)$ entre 2000 et 2016, puis  $p_I(F)$ entre 2000 et 2016.

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~} & \hspace*{1cm}p_S(F)\hspace*{1cm} &  \hspace*{1cm}p_I(F)\hspace*{1cm}\\
 \hline
\hspace*{0.5cm}2000\hspace*{0.5cm} & 0,283 & 0,319 \\
\hline
2016 & 0,210 & 0,388 \\
 \hline
\end{array}$
\end{center}

Donc entre 2000 et 2016, parmi les revenus supérieurs, le tabagisme a baissé, tandis que parmi les revenus inférieurs, le tabagisme a augmenté.

		\item D'après la formule des probabilités totales:
		
$p(F) = p(I\cap F) + p(M\cap F) + p(S\cap F) 
= p(I) \times p_I(F) +p(M) \times p_M(F)  + p(S) \times p_S(F) \\
\phantom{p(F)}
= 0,33\times 0,388 + 0,34\times 0,285 + 0,33\times 0,210 
 \approx 0,294$.
 
		\item %En déduire $p_F(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
$p_F(S) = \dfrac{p(S\cap F)}{p(F)} \approx \dfrac{0,33\times 0,210}{0,294} \approx 0,236$

On peut donc dire qu'il y a environ $23,6\,\%$ de revenus supérieurs parmi les fumeurs.		
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

On modélise l'évolution d'une épidémie dans une région donnée par une fonction $f$ qui donne le nom\-bre de personnes malades, en milliers, en fonction du temps compté en jours depuis le début de l'étude.
La fonction $f$ est représentée par la courbe $\mathcal{C}_f$ pour les 16 premiers jours de la modélisation sur l'\textbf{annexe~2 page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}}.

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A :} Lecture graphique

\medskip

%\emph{Les réponses aux questions de cette partie ne nécessitent pas de justification.}
\begin{enumerate}
\item  Une valeur approchée du nombre de personnes malades au début de l'étude est $270$.
\item Le nombre de jours au bout desquels le nombre de personnes malades est supérieur à \np{1 000 000} correspond au moment où la courbe passe au dessus de la droite d'équation $y=\np{1000}$, c'est-à-dire au cours du 4\ieme{} jour.

\item  On sait que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item au-delà du 16\ieme{} jour, le nombre de personnes malades diminue de plus en plus vite jusqu'au 18\ieme{} jour ;
\item à partir du 19\ieme{} jour, le nombre de personnes malades diminue de moins en moins vite pour passer sous la barre des \np{200 000} au cours du 26\ieme{} jour.
\end{list}

On complète la courbe représentative de $f$ sur l'\textbf{annexe 2 page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}}, en proposant une courbe qui soit compatible avec ces informations.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} Étude de la fonction $f$

\medskip

On admet que, sur l'intervalle $[0~;~16]$, $f$ est définie par : $f(x)=-x^3+12x^2+144x+270$.
\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'individus malades au 12\ieme{} jour de l'étude est\\
$f(12) = -12^3+12\times 12^2+144\times 12+270
= \np{-1728}+\np{1728}+\np{1728}+270=\np{1998}$.

\item On admet que $f'(x)=3(12-x)(x+4)$.
\begin{enumerate}
\item  On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~16]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 12 & \esp  & 16 \\
\hline
12-x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
x+4 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x)=3\left (12-x\right )\left (x+4\right ) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item $f(0)=270$, $f(12)= \np{1998}$ et $f(16) = \np{1550}$

On construit le tableau des variations de $f$ sur $[0~;~16]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 12 & \esp & 16 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\np{1998}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{270} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\np{1550}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

%\emph{On précisera dans le tableau $f(0)$, $f(16)$ ainsi que la valeur de l'extremum.}

\item Pour que  le nombre de personnes contaminées atteigne les deux millions, il faudrait que $f(x)$ prenne la valeur $\np{2000}$ ce qui, d'après le tableau des variations de $f$, n'est pas possible; le nombre de personnes contaminées n'atteindra donc pas les deux millions.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (exercice 2)}

À rendre avec la copie.
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(11.9,4.7)
 \multido{\n=0+0.5}{24}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,4.6)}
 \multido{\n=0+0.5}{10}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(11.6,\n)}
 \multido{\n=-0.3+0.1}{119}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-0.4)(\n,4.6)}
 \multido{\n=-0.4+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(11.6,\n)}
  \psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=3]{->}(0,0)(11.8,4.8)
% \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
 \psdots[dotstyle=x,dotscale =1.4](2,2.75)(2.13,2.75)(4,2.25)(3.7,2.38)
  \psdots[dotstyle=x,dotscale =1.4,linecolor=red](2.65,2.74)
 \uput[ur](0,4.6){\scriptsize Nombre total de paquets de 20 cigarettes }
 \uput[ur](0,4.3){\scriptsize vendus en France (en milliards)}
 \uput[dl](11,-0.46){\scriptsize Prix (en \euro) du paquet de 20 cigarettes le plus vendu en France}
 \def\Func{x 0.255 neg mul 3.315 add}
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11.6}{\Func}
 \psset{arrowsize=3pt 3}
 \psline[ArrowInside = ->,ArrowInsideNo=1,linecolor=blue,linestyle=dashed](7,0)(7,1.53)
  \psline[ArrowInside = ->,ArrowInsideNo=3,linecolor=blue,linestyle=dashed](7,1.53)(0,1.53)
  \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](0,1)(11.4,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\label{reg}

\vfill
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 (exercice 3)}

À rendre avec la copie.

$\mathcal{C}_f$, courbe représentative de $f$ sur $[0~;~16]$
\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.005cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1.5,-50)(31.8,2300)
 \multido{\n=-1+1}{32}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,2300)}
 \multido{\n=0+100}{24}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=lightgray](-1.5,\n)(31.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=200,]{->}(0,0)(31.5,2300)
\def\Func{x x x  neg  12 add mul 144 add mul 270 add }
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{\Func}
 \uput[ur](0,2200){\footnotesize Nombre de personnes malades (en milliers)}
 \uput[r](13.5,2000){\blue $\mathcal{C}_f$}
 \uput[u](28,0){\footnotesize Temps (en jours)}
 %%% Corrigé
 \uput[l](0,270){$\blue \small 270$}
 \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,1000)(31,1000) \uput[u](8,1000){$\blue y=\np{1000}$}
 \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,200)(31,200) \uput[u](8,200){$\blue y=200$}
% \psplot[linecolor=red,linestyle=dashed]{16}{18}{-240 x mul 5390 add}
 \psplot[linecolor=red]{16}{18}{x -67.5 x mul 1920 add mul 11890 sub}
% \psplot[linecolor=blue]{18}{28}{x 54.375 x mul -2467.5 add mul 27597.5 add}
\psBezier2[linecolor=red](18,800)(18.5,445)(26,200)
\psBezier2[linecolor=red](26,200)(28,108)(30,100)
\end{pspicture}
\end{center}
\label{courbe}
\end{document}

