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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S 10 septembre 2019~\decofourright \\[5pt]Métropole La Réunion  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A: étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par:

\[f(t) = \dfrac{10}{t + 1}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~12] par:

\[f'(t) = - \dfrac{10}{(t + 1)^2}.\]


	\begin{enumerate}
		\item $f'(t)$ est négatif sur l'intervalle [0~;~12] puisque c'est l'opposé d'un nombre réel positif, lui-même  quotient de deux nombres positifs.
		\item Établissons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
		
		Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$.

Sur $[0~;~12],\ f'(t)  <0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
		  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}     \uput[u](7.73,2.45){$12$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.51,1.45){$10$}\uput[d](7.52,0.65){$\frac{10}{13}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(7.3,0.55)
\end{pspicture}
\end{center}
			
Les images de $0$ et de $12$ par la fonction $f$ sont respectivement $10$ et $\dfrac{10}{13}$.
 	\end{enumerate}
\item   Le tableau de valeurs de la fonction $f$ est complété sur l'\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie.}

\emph{On arrondira si besoin à }$10^{-1}$.
\item La courbe $(C)$ représentative de la fonction $f$ est tracée sur l'\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifions que $f'(0) = - 10$. Nous remplaçons $t$ par 0 dans  l'expression de la dérivée,

 $f'(t)=-\dfrac{10}{(0+1)^2}=-10$. Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $0$ à la courbe représentative de $f$.
		\item Sur l'\textbf{annexe 2},nous avons tracé la tangente $(T)$ à la courbe $(C)$ au point d'abscisse $0$.
		
		{\footnotesize \emph{Remarque :}  L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 à la courbe est : $y=-10x+10$.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : application}

\medskip

Dans le cadre d'une étude, un laboratoire expose une culture de bactéries à des rayons ultraviolets (UV).

Ces rayons ont un effet désinfectant et provoquent la diminution du nombre de bactéries.

On suppose que le nombre (en millions) de bactéries présentes au bout du temps $t$ (exprimé en heures) écoulé depuis le début de l'exposition aux UV est donné par la fonction $f$ définie sur [0~;~12] par:

\[f(t) = \dfrac{10}{t + 1}.\]

On se servira de la partie A pour répondre aux questions suivantes:

\medskip

\begin{enumerate}
\item Utilisation de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Le nombre de bactéries présentes au début de l'expérience est $f(0)$ soit 10 millions.
		\item Déterminons le temps nécessaire pour que soient éliminées 90\,\% des bactéries présentes au début de l'expérience.
 Si 90\,\% des bactéries sont éliminés il en reste donc $10\,\%$  soit 1 (en millions).
 
Résolvons $f(t)=1$.
$\dfrac{10}{t+1}=1$ \quad  d'où $10=1+t \quad $ et $t = 9$.

Il faudra neuf heures pour que 90\,\% des bactéries soient éliminées.
	\end{enumerate}
\item Utilisation de la fonction $f'$.
		
On admet que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~12], le nombre dérivé $f'(t)$ correspond à la vitesse d'évolution du nombre de bactéries à l'instant $t$.
		
Comparons les vitesses d'évolution du nombre de bactéries aux instants $0$ et $4$. 

Nous avons vu que la vitesse d'évolution du nombre de bactéries à l'instant $t=0$ était de $-10$. Calculons $f'(4)$. $f'(4)= -\dfrac{10}{(4+1)^2}= - \dfrac{2}{5}$.

La décroissance est la plus forte  à l'instant $t = 0$.

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Le tableau ci-dessous donne le nombre des unions civiles, PACS* ou mariages, enregistrées en France entre 2005 et 2016.

(\emph{PACS*. Pacte Civil de Solidarité})

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
Rang de l'année&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline
Nombre de mariages (en milliers)&283 &274 &273 &265 &251 &252 &237 &246 &239 &241 &236 &233\\ \hline
Nombre de PACS (en milliers)&60 &77 &102 &146 &174 &205 &152 &160 &169 &174 &189 &192\\ \hline
\multicolumn{13}{r}{\scriptsize (d'après INSEE \emph{Mariages et PACS en }2017)}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\bigskip

\textbf{PARTIE A: étude de l'évolution du nombre de mariages}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ où $x_i$ désigne le rang de l'année et $y_i$ le nombre de mariages est représenté sur le graphique donné en \textbf{annexe 3}, à rendre avec la copie.
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage de points et  plaçons-le dans le repère fourni en \textbf{annexe 3}.
 
 Le point moyen est le point  $G$ de coordonnées $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
 \[\overline{x_G} =\dfrac{1+2+\dots+11+12}{12}=\np{6.5} \quad \overline{y_G}=\dfrac{283+274+\dots+236+233}{12}=\np{252.5}\]
 
 $G~(\np{6.5}~;~\np{252.5})$.


\item  On réalise un ajustement affine de ce nuage à l'aide de la droite $(d_1)$ d'équation:
$y = - 4,4x + 281,1$.

 La droite $(d_1)$ est tracée sur le graphique donné en annexe 3 page \pageref{mariage}/\pageref{LastPage}.
Pour la tracer, nous pouvons utiliser les points de coordonnées $(0~;~\np{281.1})$ et $(11~;~\np{232.7})$.
 %Indiquer sur la copie les coordonnées des points utilisés.
\item  On suppose que ce modèle d'ajustement reste valable jusqu'en 2025. Déterminons le nombre de
mariages prévisibles en 2020. En 2020, $x=16$. En remplaçant $x$ par sa valeur dans l'équation de $(d_1)$, nous obtenons $y=-\np{4.4}\times 16+\np{281.1}=\np{210.7}$. %Préciser la démarche utilisée.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B : comparaison des PACS et mariages}

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après les indications du tableau, calculons la part exprimée en pourcentage, arrondie à 1\,\%, des mariages enregistrés en 2016 par rapport à l'ensemble des unions civiles de cette même année. 

En 2016 il y a eu en milliers $233+192$ soit $425$ unions civiles ; la part des mariages parmi ces unions civiles est donc $\dfrac{233}{425}\approx \np{0.548}$.

La part exprimée en pourcentage, arrondie à 1\,\%, des mariages enregistrés en 2016 par rapport à l'ensemble des unions civiles de cette même année est de $55\,\%$. 

\item  On a représenté sur l'\textbf{annexe 3} le nuage de points correspondant aux nombres annuels de PACS à partir de l'année 2011. On a effectué un ajustement affine de ce nuage de points à l'aide de la droite $\left(d_2\right)$ d'équation :
$y = 8,5x + 92$.

On suppose que cet ajustement permet de modéliser jusqu'en 2025 l'évolution du nombre annuel $y$ de PACS en fonction du rang $x$ de l'année.

D'après ce modèle, déterminons à partir de quelle année le nombre de PACS sera supérieur au nombre de mariages. Calculons les abscisses  pour lesquels les ordonnées des points de $(d_2)$ sont supérieures aux ordonnées des points de $(d_1)$. Résolvons $\np {8.5} x+92 \geqslant -\np{4.4}x+ \np{281.1}$.

$\np{8.5}x+92 \geqslant -\np{4.4}x+ \np{281.1} \quad  (\np{8.5}+\np{4.4}) x \geqslant  \np{281.1}-92\quad \np{12.9}x\geqslant  \np{189.1}\quad x\geqslant \dfrac{\np{189.1}}{\np{12.9}}$

$\dfrac{\np{189.1}}{\np{12.9}}\approx \np{14.66}$, il en résulte qu'à partir de 2019 le nombre de PACS sera supérieur au nombre de mariages.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

Un cabinet d'orthophonie fait le bilan de son activité.

\bigskip

\textbf{PARTIE A : évolution du nombre trimestriel de séances}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on s'intéresse au nombre de séances d'orthophonie réalisées chaque trimestre au sein du cabinet.

Une feuille de calcul automatisée donne l'évolution du nombre de séances réalisées du premier trimestre 2016 jusqu'au premier trimestre 2018 inclus.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\centering {A} &B &C &D &E &F &G &H &I &J\\ \hline
1 &Année& \multicolumn{4}{|c|}{2016}& \multicolumn{4}{|c|}{2017} &2018\\ \hline
2 &Trimestre &1 &2 &3 &4 &1 &2 &3 &4 &1\\ \hline
3 &Nombre de séances&475 &494 &511 &520 &537 &547 &564 &581 &598\\ \hline
4 &Taux d'évolution entre deux trimestres
consécutifs&\cellcolor{lightgray}&4\,\%&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

Les cellules de la ligne 4, de C4 à J4, sont au format pourcentage.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du nombre de séances entre le deuxième et le troisième trimestre 2016.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$\mathcal{T}=\dfrac{511-494}{494}\approx \np{0.03441}$.

 Le taux  d’évolution du nombre de séances entre le deuxième et le troisième trimestre 2016 exprimé en pourcentage et arrondi à 0,1\,\% est de 3,4\,\%.

\item Une formule à saisir dans la cellule C4 qui, recopiée vers la droite, qui permet de calculer le taux d'évolution du nombre de séances réalisées par le cabinet d'orthophonie entre deux trimestres consécutifs est : =(C\$3$-$B\$3)/B\$3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : modélisation de l'évolution}

\medskip

Dans cette deuxième partie, on considère que, à partir du premier trimestre 2018, le nombre trimestriel de séances d'orthophonie augmentera au rythme de 3\,\% par trimestre.

On modélise, à l'aide d'une suite géométrique $\left(r_n\right)$, le nombre trimestriel de séances réalisées par le cabinet, l'entier $n$ désignant le nombre de trimestres écoulés depuis le début de l'année 2018.

Ainsi $r_1 = 598$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de 3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.03}. Il en résulte que la raison de la suite géométrique $\left(r_n\right)$ est égale à $1,03$.
\item  Calculons  dans le cadre de cette modélisation le nombre de séances réalisées au cours du premier trimestre 2019. Le nombre de séances a évolué quatre fois  entre le premier trimestre 2018 et le premier trimestre 2019. $r_5=598\times \np{1.03}^4 \approx \np{673.04}$

 Selon ce modèle, nous pouvons estimer le nombre de séances à 673.
\item  Résolvons, dans l'ensemble des réels, l'inéquation : $598 \times 1,03^{x-1} \geqslant 800$.

\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
598 \times 1,03^{x-1} &\geqslant 800\\
 1,03^{x-1} &\geqslant \frac{800}{598}\\
\log 1,03^{x-1} &\geqslant \log \frac{400}{299}
\end{align*}
\begin{align*}
{x-1}\log 1,03 &\geqslant \log \frac{400}{299}\\
x-1 &\geqslant \dfrac{\log \frac{400}{299}}{\log 1,03}\\
x &\geqslant 1+\dfrac{\log \frac{400}{299}}{\log 1,03}\\
\end{align*}
\end{multicols}
 L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left[1+\dfrac{\log \frac{400}{299}}{\log 1,03}~;~+\infty \right[$, ou approximativement $[\np{10.845}~;~+\infty[$.
 \item  Les orthophonistes estiment qu'ils devront recruter un nouveau collègue lorsque le nombre trimestriel de séances dépassera $800$. Selon ce modèle, en utilisant le résultat précédent, il faudra compter onze trimestres depuis le début de l'année 2018. Par conséquent  il faudra faire ce recrutement à partir du troisième trimestre  2020.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C }: étude de la nature des prescriptions d'orthophonie

\medskip

Dans cette dernière partie, on étudie, pour l'année 2016, les prescriptions de séances d'orthophonie. On s'intéresse d'une part au type de prescripteur (médecin généraliste ou spécialiste) et d'autre part à la nature de la pathologie traitée selon trois catégories:

\begin{itemize}
\item troubles de l'articulation, de la parole ou du langage;
\item  dyslexie, dysorthographie, dyspraxie ;
\item  autres pathologies.
\end{itemize}

On réalise cette étude sur un échantillon de \np{2000} séances effectuées en 2016.

Il en ressort que :

\begin{itemize}
\item 79,9\,\% des prescriptions ont été effectuées par un médecin généraliste ; soit  $\np{2000}\times \np{0.799}=\np{1598}$
\item  parmi les séances prescrites par un médecin généraliste, la moitié concerne la dyslexie, la dysorthographie ou la dyspraxie ; soit $\dfrac{1598}{2}=799$
\item un tiers des séances prescrites par un médecin spécialiste sont en lien avec les troubles de l'articulation, de la parole ou du langage; soit $\dfrac{\np{2000}-\np{1598}}{3}=134$
\item  55\,\% des 380 séances associées aux autres pathologies sont prescrites par un médecin spécialiste ; soit $380\times \np{0.55}=209$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le tableau est complété sur  l'\textbf{annexe 4}, à rendre avec la copie.
\item On choisit au hasard une séance dans l'échantillon. On définit les évènements suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $T$ : \og la séance concerne un trouble de l'articulation, de la parole ou du langage \fg{} ;
\item[ ] $D$ : \og la séance concerne une dyslexie, une dysorthographie ou une dyspraxie \fg{} ;
\item[ ] $A$ : \og la séance concerne une autre pathologie\fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og la séance est prescrite par un médecin généraliste \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

	\begin{enumerate}
		\item On considère $P_A(G)$. Cette probabilité est celle de l'événement : \og la séance est prescrite par un généraliste sachant qu'elle concerne une autre pathologie\fg.
		\item  $P_A(G)= \dfrac{P(A\cap G)}{P(A)}=\dfrac{\frac{171}{\np{2000}}}{\frac{380}{\np{2000}}}=\dfrac{171}{380}=\np{0.45} $.
		\item %Les évènements $A$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
		Les événements $A$ et $G$ sont indépendants si $P(A\cap G)=P(A)\times P(G)$.
		$P(A\cap G)=\dfrac{171}{\np{2000}}=\np{0.0855}$
		
		$P(A)=\dfrac{380}{\np{2000}}=\np{0.19}\ ;\  P(G)=\frac{\np{1598}}{\np{2000}}=\np{0.799}$
		
		$P(A)\times P(G)= \np{0.19}\times\np{0.799}=\np{0.15181}$
		
		$P(A\cap G)\not=P(A)\times P(G)$ les événements ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage


\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 1 Question 2}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0 	& 0,5 	& 1 &1,5&2 	& 3 & 4 & 5 & 6 &8 	&10 &12\\ \hline
$f(t)$	&10	&	\np{6.7}	&5	&4	&\np{3.3}	&\np{2.5}	&	2&	\np{1.7}&\np{1.4}	&\np{1.1}	&\np{0.9}	&\np{0.8}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\emph{\footnotesize Les valeurs sont arrondies au dixième}

\bigskip

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 2}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 1 Question 3 -- Question 4 b.}\end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.75)(13,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(13,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(13,14)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{1 x 1 add div 10 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.85pt,linecolor=babyblue]{0}{0.7}{x 10 neg mul 10 add}
\end{pspicture}


\newpage

\textbf{ANNEXE 3}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 2 Partie A et partie B}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-10)(21,235)
\multido{\n=0.0+0.2}{106}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,220)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,220)}
\multido{\n=0+4}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(21,\n)}
\multido{\n=0+20}{11}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=100,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(21,220)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{21}{8.5 x mul 8 sub}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](7,52)(8,60)(9,69)(10,74)(11,89)(12,92)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](1,183)(2,174)(3,173)(4,165)(5,151)(6,152)(7,137)(8,146)(9,139)(10,141)(11,136)(12,133)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=babyblue]{0}{21}{4.4 neg x mul 181.1 add}
\uput[u](19,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,225){Nombre d'unions enregistrées (en milliers)}
\psdot[dotstyle=square,dotscale=1.9,fillcolor=red, dotangle=45](6.5,152.5)
\uput[u](6.5,152.5){\textcolor{red}{G}}
\end{pspicture}

\label{mariage}

\vspace{2cm}

\textbf{\large ANNEXE 4}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 3 Partie C}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.9cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox[innerwidth=3.9cm,innerrightsep=2pt]{Catégorie \\
de médecins:}{Pathologies :}& Généralistes &Spécialistes &Total\\ \hline
Troubles de l'articulation, de la parole ou du langage&628&134&762\\ \hline
Dyslexie, dysorthographie, dyspraxie&799&59&858\\ \hline
Autres pathologies &171	&209&380\\ \hline
Total &	\np{1598}	&402	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}