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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrig\'e : J. C. Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{9 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S  Métropole 9 septembre 2014~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne le nombre de licences sportives délivrées chaque année dans une ville : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A						&B			&C			&D		&E		&F		&G		&H		&I&J\\ \hline
1&Année					&2005		&2006		&2007	&2008	&2009	&2010	&2011	&2012	&2013\\ \hline
2&Rang de l'année $x_{i}$&1			&2			&3		&4		&5		&6		&7		&8&9\\ \hline
3&Nombre de licences 
sportives $y_{i}$&\np{7093}&\np{7117}&\np{7331}	&\np{7415}&\np{7587}&\np{7630}&\np{7820}&\np{7813}&\np{8090}\\ \hline 
4&Pourcentage d'évolution (en \%)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie,
  Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ a été construit dans un repère orthogonal dont les unités sont : 

- sur l'axe des abscisses~: \np[cm]{1} pour un rang d'année (gradué à partir de 0) ;
 
- sur l'axe des ordonnées~: \np[cm]{1} pour cent licences sportives (gradué à partir de \np{7000}). 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
 
		Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$

\[
\overline{x_G} =\frac{1+2+\dots+8+9}{9}=5 \qquad \overline{y_G} =\frac{\np{7093}+\np{7117}+\dots+\np{8090}}{9}=\np{7544}\]
		\item  Le point G $\left( 5~;~\np{7544} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.		
	\end{enumerate}
\item On considère la droite (D), d'équation $y = 121,15 x + \np{6938,25}$. On suppose que la droite (D) réalise un ajustement affine du nuage de points, fiable jusqu'en 2017. 
	\begin{enumerate}
		\item Le point G appartient à la droite (D) si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 5.

$y=\np{121.15} \times 5 + \np{6938.25}=\np{7544}$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à (D). 
		\item  La droite (D) est tracée sur le graphique précédent. 
		\item En utilisant la représentation graphique, une estimation du  nombre de licences sportives qui seront délivrées en 2017 est environ \np{8515}. 
Nous lisons l'ordonnée du point d'abscisse 13 (rang de l'année 2017) appartenant à la droite (D).
%On fera apparaître les traits de construction utiles. 
		\item Retrouvons par le calcul l'estimation obtenue à la question précédente. Pour ce faire, remplaçons $x$ par 13 dans l'équation de la droite (D). 
		$y=\np{121.15}\times 13+\np{6938.25}=\np{8513.2}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
{\footnotesize\emph{On arrondira les pourcentages au dixième}.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons le pourcentage d'évolution du nombre de licences entre 2005 et 2006.
		
Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.		
		$t=\dfrac{\np{7117}-\np{7093}}{\np{7093}}\approx\np{0.00338}$.

 Le pourcentage d'évolution du nombre de licences entre 2005 et 2006 est à \np{0.1}\,\% près de \np{0.3}\,\%.
 
		\item  Une formule, à saisir dans la cellule C4, qui, recopiée vers la droite, permet de calculer le pourcentage d'évolution entre deux années successives est :\hspace{0.5em}= (C\$3-B\$3)/B\$3.
		
		{\footnotesize remarque : les \$ ne sont pas obligatoires.\\		 
\emph{Les résultats dans les cellules } C4 \emph{à } J4 \emph{sont au format pourcentage}.}
	\end{enumerate} 
\item Sachant qu'en 2013, $687$ licenciés pratiquaient l'équitation, déterminons le pourcentage qu'ils représentaient parmi l'ensemble des licenciés de 2013. La  part de ceux qui pratiquent l'équitation par rapport à l'ensemble des licenciés est $\dfrac{687}{\np{8090}}\approx  \np{0.0849}$ soit environ \np{8.5}\,\%.
\item Sachant que les footballeurs représentaient 30\,\% de l'ensemble des licenciés en 2013, le nombre de footballeurs licenciés en 2013 est $\np{8090}\times \dfrac{30}{100}=\np{2427}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième}.

\medskip
 
Lors d'une compétition, les $198$ cyclistes participants ont été contrôlés. Parmi eux, 21 cyclistes ont eu un résultat \og positif \fg{} au test anti-dopage.

Néanmoins, 3 cyclistes parmi ces 21 testés \og positif \fg{} n'avaient pris aucun produit dopant et 2 cyclistes parmi les testés \og négatif \fg{} avaient pris des produits dopants.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item  Le tableau de l'\textbf{ANNEXE A} (à remettre avec la copie)a été complété. 
\item On choisit un cycliste au hasard parmi les 198 compétiteurs.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $D$ : \og Le cycliste s'est dopé \fg. 
\item[ ] $N$ : \og Le cycliste est testé \og négatif \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 L'univers est l'ensemble des cyclistes participant à la compétition et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 

La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité qu'un cycliste soit testé \og positif\fg.

 Il y a 21 cyclistes testés \og positif\fg{} parmi les 198 cyclistes. La probabilité de cet évènement est : $\dfrac{21}{198}\approx \np{0.11}$. 
		\item Calculons \begin{itemize}
\item [\textbullet] $P(D$): Il y a 20 cyclistes dopés parmi les 198 cyclistes $P(D)=\dfrac{20}{198}=\np{0.10}$.
\item[\textbullet] $P_{D}(N)$ : Sachant qu'il est dopé, il y a 2 cyclistes dont le test est négatif  

$P_{D}(N)=\dfrac{2}{20}=\np{0.1}$.
\item[\textbullet] $P_{\overline{D}}(N)$ : Sachant qu'il n'est pas dopé, il y a 175 cyclistes dont le test est négatif 

 $P_{\overline{D}}(N)=\dfrac{175}{178}\approx \np{0.98}$.
\end{itemize} 
		\item  $D \cap \overline{N}$ est l'évènement : \og le cycliste est dopé  et est testé \og positif\fg. Calculons sa probabilité. 

Il y a 18 cyclistes dopés et testés \og positif \fg{} parmi l'ensemble des coureurs.
		
	$P\left(D \cap \overline{N}\right) = \dfrac{18}{198}\approx \np{0.09}$.	
	\end{enumerate} 
\item Nous avons complété l'arbre pondéré de l'\textbf{ANNEXE A} (à remettre avec la copie). 
\item On appelle \og efficacité du test \fg{} la probabilité : $P \left(\overline{D} \cap N\right) + P\left(D \cap \overline{N}\right)$.
 
Déterminons l'efficacité du test pratiqué lors de cette compétition. 

Pour ce faire calculons  $P \left(\overline{D} \cap N\right) + P\left(D \cap \overline{N}\right)$.
 
  $P \left(\overline{D} \cap N\right) = P(N)\times P_{N}\left(\overline{D}\right) =\np{0.89}\times \np{0.99}\approx\np{0.88}$

$P \left(\overline{D} \cap N\right) + P\left(D \cap \overline{N}\right) = \np{0.88}+\np{0.09}=\np{0.97}$.
 
 L'efficacité du test est de  \np{0.97}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\emph{On arrondira au dixième les valeurs calculées dans cette partie}.

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~12] par $f(x) = 8 \times 1,1^x.$
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminons le sens de variation de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par $g(x) = 1,1^x$. 

Nous savons que si $a>1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction croissante sur $\R$. Ici $a=\np{1.1}$, c'est-à-dire un nombre strictement supérieur à 1 par conséquent la fonction $g$ est une fonction croissante sur [0~;~12].

On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par $g(x) = 1,1^x$. Par conséquent la fonction $f$ est croissante sur [0~;~12].
 
 Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet  intervalle. 
 
 \begin{center}\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,2.5)
 \psline(1,0)(1,2.5) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[d](0.5,2.45){$x$}  \uput[d](1.35,2.45){$0$} \uput[d](7.75,2.45){$12$}
 \uput[d](1.35,0.55){$8$}\uput[u](7.45,1.5){$\approx \np{25.11} $}
 \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\psline{->}(1.5,0.5)(7.3,1.6)
\end{pspicture}}
\end{center}
 \item Complétons  le tableau de valeurs %donné dans l'\textbf{ANNEXE B} (à remettre avec la copie). 
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$f(x)$&8&\np{8.8}&\np{9.7}&\np{10.7}&\np{11.7}&\np{12.9}&\np{14.1}&\np{15.6}&\np{17.1}&\np{18.9}&\np{20.8}&\np{22.8}&\np{25.1}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\item Traçons la représentation graphique correspondante dans le repère fourni dans l'\textbf{ANNEXE B} (à remettre avec la copie). 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Durant l'année 2013, un particulier faisait 8 heures de sport chaque mois. À partir de janvier 2014, il décide d'augmenter de 10\,\% chaque mois son temps de pratique sportive mensuel.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons son nouveau temps de pratique sportive pour le mois de janvier 2014, exprimé en heures et en minutes. 

À une augmentation de 10\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.1}.

Le nouveau temps est  alors $8\times \np{1.1}=\np{8.8}$ soit en heures et minutes  de 8 heures et 48 minutes.
\item On désigne par l'entier naturel $n$ le rang du mois et par $u_{n}$ le temps de pratique sportive, en heures, du mois de rang $n$. 

Ainsi $u_{0}$ est égal à 8 et $u_{1}$ désigne le temps de pratique sportive pour le mois de janvier 2014. 
Augmentant chaque mois son temps de pratique de 10\,\%,  le temps du mois précédent est multiplié par \np{1.1}. Nous définissons ainsi une suite géométrique de raison \np{1.1} et de premier terme 8. Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. Nous avons alors
$u_{n} = 8 \times 1,1^n$. 
\item Le temps de pratique sportive mensuel du particulier en décembre 2014 sera alors $u_{12}$. 

$u_{12}=8\times \np{1.1}^{12} \approx 25$.
Son temps de pratique mensuel sera d'environ \np[h]{25} en décembre 2014.
%\emph{On arrondira le résultat à l'heure}. 
\item Après consultation de son médecin, il lui est conseillé de ne pas dépasser 16~heures mensuelles de pratique sportive.Déterminons  à partir de quel mois, cette limite sera dépassée.\begin{description}
\item[graphiquement~:] Nous traçons la droite d'équation y=16, nous lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe, soit environ 7,25. 
\item[Par le calcul~:] Résolvons l'inéquation $8\times \np{1.1}^x\geqslant 16$. 

$8\times 1,1^x=16 \iff 1,1^x\geqslant2 \iff x\log \np{1.1}\geqslant \log 2 \iff x\geqslant \dfrac{ \log 2}{\log\np{1.1}}$, or $\dfrac{ \log 2}{\log\np{1.1}}\approx \np{7.27}$ 

d'où $x\geqslant 8$
\end{description}
À partir du mois d'août il aura dépassé cette limite.
 %Détailler la méthode utilisée. 
\end{enumerate}
%\vspace{1.5cm}
\newpage
\begin{center} 
\textbf{ANNEXE A}

\textbf{À remettre avec la copie}
\end{center}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 2} 
\textbf{Question 1}
\end{flushleft} 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
							&Cyclistes dopés& Cyclistes non dopés& Total\\ \hline 
Cyclistes testés \og positif \fg&18&3&21\\ \hline 
Cyclistes testés \og négatif \fg&2&175&177\\ \hline 
Total						&	20			&	178					&198\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{0.5cm}

\begin{flushleft} 
 \textbf{Question 3}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm,labelsep=0.1pt} 
Cyclistes \pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N$~}\taput{\np{0.89}}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{\np{0.01}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\np{0.99}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{\np{0.11}}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\np{0.86}}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\np{0.14}}  
	  }
} 
\end{center}
%\newpage

\textbf{ANNEXE B}

\textbf{À remettre avec la copie}

\begin{flushleft}  
\textbf{Exercice  3}
\end{flushleft}

\medskip
\begin{flushleft} 
\textbf{3.}
\end{flushleft}
\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.9)(13,27)
\multido{\n=0.0+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,27)}
\multido{\n=0+1}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12.5,\n,)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.9)(13,27)
\psplot[linewidth=0.7pt,linecolor=blue, plotpoints=1000]{0}{12}{ 1.1 x exp 8 mul}
\psset{arrowscale=2}
\uput[d](12.85,-0.2){$x$}\uput[l](0,27){$y$}
 \def\Func{1.1 x exp 8 mul }
 \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 7.2725 def \Func)(!7.2725 /x 7.2725 def \Func)(7.2725,0)
\uput[dl](-0.1,-0.1){O}
\end{pspicture}

\newpage 
\textbf{EXERCICE 1}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.008cm,arrowscale=1.5,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1.8,-85)(16,1700)
\psaxes[Ox=0,Oy=7000,Dx=1,Dy=100]{->}(0,0)(14.5,1650)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1625)}
\multido{\n=0+50}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(14.25,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,93)(2,117)(3,331)(4,415)(5,587)(6,630)(7,820)(8,813)(9,1090)
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](5,544)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0.5}{14}{x 121.15  mul 61.75 sub}
\uput[d] (13.95,1600){(D)}\uput[l](4.85,544){G}
  \def\Func{x 121.15 mul 61.75 sub}
 \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 13 def \Func)(!13 /x 13 def \Func)(13,0)
  \rput(0.7,1680){\footnotesize Nombre de licences sportives}
 \rput(14.5,15){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
