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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{21 juin  2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole  21 juin 2010~\decofourright\\}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 : QCM}\hfill 5 points}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, trois propositions sont données, une seule est exacte.\\ 
%Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question suivi de la proposition qu'il juge exacte.\\ 
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.\\ 
%\textbf{Aucune justification n'est demandée.}}
%
%\medskip
% 
%\textbf{On pourra s'aider d'un tableau ou d'un arbre.}
%
%\medskip
% 
%Un orthophoniste étudie sa clientèle sur l'année qui vient de s'écouler. Sur $620$~clients, il remarque que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 75\,\% sont des personnes mineures ; 
%\item[$\bullet~$] 30\,\% sont de sexe féminin ; 
%\item[$\bullet~$] 31 clients sont des hommes majeurs.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Il choisit au hasard la fiche de l'un de ses patients. On note : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $m$ l'évènement: \og la fiche est celle d'une personne mineure \fg{}; 
%\item[] $\overline{m}$ l'évènement contraire de $m$ : \og la fiche est celle d'une personne majeure \fg ; 
%\item[] $H$ l'évènement : \og la fiche est celle d'une personne de sexe masculin \fg{} ; 
%\item[] $\overline{H}$ l'évènement contraire de $H$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Les résultats proposés sont arrondis à 0,01 près.
%
%\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Féminin&Masculin&Total\\ \hline
Mineures&62&403&465\\ \hline
Majeures&124&31&155\\ \hline
Total&186&434&620\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item  %La probabilité que la fiche soit celle d'un homme majeur est :
Il y a 31 hommes majeurs sur 620 personnes soit une probabilité de $\dfrac{31}{620} = 0,05$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,05 & 0,07 & 0,31 \\
%\end{tabularx}

%\medskip

\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une fille mineure est:
Il y a 62 filles mineures soit une probabilité de $\dfrac{62}{620} = 0,10$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,10 & 0,13 & 0,33 \\
%\end{tabularx}

%\medskip 

\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une personne majeure ou d'une personne de sexe masculin est :
Il y a 155 + 434 - 31 = 558 personnes majeures ou de sexe masculin soit une probabilité de $\dfrac{558}{620} = 0,90$.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,05 & 0,90  & 0,95  \\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\item %L'évènement : \og la fiche est celle d'une femme ou d'une personne mineure \fg{} est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$m \cup H$ & $m \cap \overline{H}$ & $m \cup \overline{H}$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
C'est $m \cup \overline{\text{H}}$.
\item %Sachant que l'on a tiré une fiche d'une personne mineure, la probabilité que ce soit une fille est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%0,10 & 0,13 & 0,33\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
Sur 465 mineurs il y a 62 filles soit une probabilité de $\dfrac{620}{465} = 0,133... \approx 0,13$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

%Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la consommation de soins et de biens médicaux en milliards d'euros depuis l'année 2000.
%
%\medskip
%
%\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
%\multicolumn{10}{c}{\textbf{Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2000}}\\ \hline 
%&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
%1&Année&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007\\ \hline
%2&Rang de l'année : $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
%3&Dépenses en milliards d'euros : $y_{i}$&115,1& 151,2 &121,7&129,5&137,9& 144,9 &156,5 &163,8\\ \hline 
%4&Évolution en pourcentage&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&&&&&&&\\ \hline
%\multicolumn{10}{l}{\small \emph{Champ : France métropolitaine et Dom. 
%Source : Drees, comptes de la santé (base 2000).}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau}
%
%\medskip
 
\textbf{A. Droite d'ajustement}

\medskip
 
%On suppose que la droite d'ajustement entre le rang de l'année $x$ et les dépenses en milliards d'euros $y$ a pour équation : $y = 7x + 115$. En utilisant cette équation, déterminer le montant des dépenses en 2010. 
2010 correspond à $x = 10$, d'où $y = 7 \times 10 + 115 = 185$.
%\medskip
 
\textbf{B. Évolution}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage d'évolution global entre 2000 et 2007, à 0,1\,\% près ?
On a $\dfrac{163,8 - 115,1}{115,1} =  \dfrac{48,7}{115,1} \approx \np{0,4231}$ soit environ 42,3\,\%. 
\item %On veut déterminer l'évolution en pourcentage entre deux années consécutives.
 
%Quelle formule doit-t-on entrer en C4, pour déterminer le taux d'évolution des dépenses entre 2000 et 2001 et pouvoir recopier vers la droite cette formule jusqu'en I4 ?
Formule : \fbox{~=(C3-B3)/B3*100~}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{C. Limitation des dépenses}

\medskip
 
%Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le gouvernement souhaitait, à partir de 2008, que les dépenses liées à la consommation de soins et de biens médicaux n'augmentent que de 2\,\% par année. On modélise cette évolution par une suite. On désigne par $u_{n}$ le montant maîtrisé des 
%dépenses pour l'année $(2007+n)$ en milliards d'euros. On a donc $u_{0} = 163,8$.
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur de $u_{1}$ (donner la valeur exacte).
On a $u_{1} = u_{0} \times 1,02 = 163,,8 \times 1,02 = 167,076$. 
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? On précisera les éléments caractéristiques de la suite.
On passe d'un rang au suivant par multiplication par le facteur $1,02$ : $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 163,8$ et de raison $1,02$. 
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On a $u_{n} = u_{0} \times 1,02^n = 163,8 \times 1,02^n$. 
\item %En supposant que cette modélisation reste valable jusqu'en 2015, à combien peut-on estimer le montant des dépenses en 2015 ? (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près)
2015 correspond à $n = 8$, d'où $u_{8} = 163,8 \times 1,02^8 \approx 191,918$~(milliards d'euros). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip
 
%On a étudié jusqu'à l'année 2008 le parcours professionnel des personnes ayant obtenu en 2000 un diplôme de la santé ou du social (niveau III). Le nombre $x$ représente le temps écoulé en années  depuis l'obtention de leur diplôme. On considèrera que $x$ appartient à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On étudie le pourcentage de ces personnes ayant un contrat de travail. Le pourcentage est modélisé  par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$ par : 
%
%\[f(x) = 88 + 10 \times \log (x)\]
%
% où $\log$ désigne le logarithme décimal.
% 
%\medskip
  
\begin{enumerate}
\item %Quel est le pourcentage de personnes ayant un contrat de travail au bout de 2 ans, puis de 3 ans et 6 mois à 1\,\% près ?
On a $f(2) = 88 + 10\log (2) \approx 91$~(\,\%).

Puis $f(3,5) = 88 + 10\log(3,5) \approx 93$~(\,\%).

6 mois correspondent à $x = \dfrac{6}{12} = 0,5$, d'où $f(0,5) = 88 + 10 \log(0,5) \approx 85$~(\,\%).
\item %Résoudre l'inéquation $f(x) > 94$. Interpréter ce résultat.
Il faut résoudre dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$ l'inéquation :

$88 + 10 \times \log (x) > 94$, soit $10 \times \log (x) >  6$ ou $\log (x) > 0,6$.

La calculatrice donne $x > 3,98$ ou en arrondissant $x\geqslant 4$.

Ceci signifie qu'au bout de 4 ans, soit en 2012, 94\,\% des personnes ayant obtenu en 2000 un diplôme de la santé ou du social auront un contrat de travail.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On étudie dans cette partie parmi les personnes qui avaient un contrat de travail, la part de ceux qui travaillaient pour le secteur public. Le pourcentage de ces personnes travaillant pour le secteur public est modélisé par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{12}~;~8\right]$ par : 
%
%\[g(x) = - 0,7x^2 + 7,7x + 45.\]
%
%En utilisant la courbe $\mathcal{C}_{g}$ donnée en annexe :

\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement au bout de combien de temps le pourcentage de personnes travaillant pour le secteur public est maximal. Calculer ce pourcentage.
On voit que le maximum est obtenu pour $x = 5,5$, soit 5 ans et 6 mois.

On a $g(5,5) = - 0,7\times 5,5^2 + 7,7\times 5,5 + 45 \approx 66,2$~\,\%.  
\item %Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la dérivée de $g$. Compléter le tableau de variations sur la feuille annexe.
On a $g'(x) = - 2\times 0,7 x + 7,7 = 7,7 - 1,4x$.

Donc $g'(x) > 0$ si $7,7 - 1,4x > 0$ soit $7,7 > 1,4x$ ou $x < \dfrac{7,7}{1,4}$ soit enfin $x < 5,5$.

De même $g'(x) < 0$ si $x > 2,5$.

Donc sur $\left[\dfrac{1}{12}~;~2,5\right]$, la fonction est croissante et sur $[5,5~;~8]$ elle est décroissante.

D'où le tableau de variations ci-dessous (en annexe).

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,3)
%\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
%\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.15,2.4){$\frac{1}{2}$} \uput[u](4,2.4){$5,5$} \uput[u](6.85,2.4){$8$}
%\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){0} \rput(5.5,2.25){$-$}
%\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[u](1.5,0){$\approx 45,6$}\uput[d](4,2){$\approx 66,2$}
%\uput[u](6.5,0){$\approx 61,8$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer graphiquement pendant quelle durée ce pourcentage est supérieur à 65\,\%. Faire apparaître les traits de construction sur le graphique.
\item On trace la droite d'équation $y = 65$ qui coupe  la courbe  $\mathcal{C}_{g}$ en deux points dont on trouve l'abscisse en les projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près 4,25 et 6,75.

Le pourcentage est supérieur à 65\,\% entre 4 ans  2 mois et 6 ans et 10 mois, soit pendant une période de $6,75 - 4,25 = 2,5$, c'est-à-dire deux ans et demi.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4) \psline(0,2)(10,2)  \psline(0,3)(10,3) \psline(2,0)(2,4)
\rput(1,3.4){$x$} \rput(2.2,3.4){$\dfrac{1}{12}$}\rput(6,3.4){5,5}\rput(9.85,3.4){$8$}
\rput(1,2.4){\small Signe de $g'(x)$}
\rput(4,2.5){+}\rput(6,2.5){$0$} \rput(8,2.5){$-$}
\rput(1,1){$g$}\rput(2.35,0.2){45,6} \rput(9.65,0.2){61,8}
\uput[d](6,2){$\approx 66,2$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5)\psline{->}(6.5,1.5)(9.5,0.5)
\end{pspicture} 

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.333cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(8.5,70)
\multido{\n=0.00+0.25}{35}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0.0+2.5}{29}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(8.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(8.5,70)
\uput[d](8.5,0){$x$}\uput[l](0,70){$y$}\uput[d](7.5,63){\blue $\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0.0833}{8}{7.7 x mul 45 add 0.7 x dup mul mul sub}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(4,66.175)(7,66.175)
\psdots[dotscale=1.25](0.08333,45.6368)(5.5,66.175)(8,61.8)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,65)(4.2,65)(4.2,0)
\psline[linewidth=1.pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,65)(6.8,65)(6.8,0)
\uput[l](-0.1,65){65}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](4.2,0)(6.8,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}