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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 20 juin 2012~\decofourright\\}}

\bigskip

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%Un sondage sur la biodiversité a été effectué en France parmi \np{1000}~personnes. Les résultats du sondage sont répartis dans le tableau ci-dessous par catégorie socioprofessionnelle des personnes interrogées.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&Nombre de personnes qui ont entendu parler de la biodiversité&Nombre de personnes n'ayant 
%jamais entendu parler de la biodiversité&TOTAL\\ \hline 
%Nombre de personnes appartenant à une catégorie socioprofessionnelle favorisée ou très 
%favorisée &360 &40 &400\\ \hline 
%Nombre de personnes appartenant à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée& 
%430& 170 &600\\ \hline 
%TOTAL &790 &210 &\np{1000}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées.
 
%On considère les évènements suivants :
% 
%$A$ : \og La personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée \fg.
% 
%$B$ : \og La personne choisie a entendu parler de la biodiversité \fg.
% 
%Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements $A$ et $B$.
On a $p(A) = \dfrac{600}{\np{1000}} = 0,6$.

$p(B) = \dfrac{790}{\np{1000}} = 0,79$.		 
		\item %Définir par une phrase chacun des évènements suivants $A \cap B$ et $A \cup B$, puis calculer leur probabilité.
$A \cap B$ : \og la personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée ET a entendu parler de la biodiversité \fg{};

$p(A \cap B) = \dfrac{430}{\np{1000}} = 0,43$.

$A \cup B$ : \og la personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée OU a entendu parler de la biodiversité \fg{} ;

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,6 + 0,79 - 0,43 = 0,96$.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Sachant que la personne choisie appartient à une catégorie socioprofessionnelle moyenne ou défavorisée, calculer la probabilité que cette personne ait entendu parler de la biodiversité.
Il faut trouver $p_{A} (B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{0,43}{0,60} \approx 0,72$. 
		\item %Calculer la probabilité $P_{B}(A)$.
De même  $P_{B}(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,43}{0,79} \approx 0,54$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution de la production de déchets municipaux, par kg et par habitant, en France, depuis l'année 2001.
%
%\medskip
%
%\definecolor{gristab}{gray}{0.80} 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline 
%1& Année &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
%2 &Rang de l'année $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline 
%3& Production en kg par habitant et par an de déchets municipaux  $y_{i}$&480 &496 &510&520&531&536 &543 &539\\ \hline 
%4 &Taux d'évolution entre deux années consécutives (en \,\%)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&&&&&&&\\ \hline
%\multicolumn{10}{r}{\small \emph{Source: Ademe (Agence de l'énergie et de la maîtrise de l'environnement)}}\\
%\end{tabularx} 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le taux d'évolution de la production de déchets municipaux, en kg par habitant entre l'année 2001 et 2002. On donnera le résultat en pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.
Le taux d'évolution de la production de déchets municipaux, en kg par habitant entre l'année 2001 et 2002 est égal à :

$\dfrac{496 - 480}{480} = \dfrac{16}{480} = \dfrac{1}{30} \approx 0,033 = 3,3\,\%$.
		\item %Quelle formule doit on rentrer dans la cellule D4, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d'évolution de la production de déchets municipaux par habitant entre deux années consécutives? (\emph{On admet que les cellules C$4$ à $14$ sont en pourcentages}).
Formule à mettre dans D4 : =(D3-C3)/C3.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur une feuille de papier millimétré, \emph{à remettre avec la copie}, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
		 
%1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 10~kg par habitant sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à 470~kg par habitant sur l'axe des ordonnées.
~

\medskip
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.07cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,120)
\multido{\n=0+0.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=470,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(13,120)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](1,10)(2,26)(3,40)(4.5,49.375)(4,50)(5,61)(6,66)(7,73)(8,69)
\psdots(0,9.91)(10,97.61)
\uput[d](13,0){$x$} \uput[l](0,120){$y$}\uput[dr](4.5,49.375){G}
\psline[linecolor=blue](0,9.91)(12,115.15)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](11,0)(11,106.38)(0,106.38)
\uput[l](0,106.38){$\approx 536$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer le point G dans le repère.
Abscisse de G : $\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 6+7 + 8}{8} = 4,5$.

Ordonnée de G : $\dfrac{480 +496 +510+520+531+536 +543 +539}{8} = \dfrac{\np{4155}}{8} = 519,375$.

Donc G(4,5~;~519,375) 
		\item %On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 8,77 x + 479,91$ réalise un ajustement affine du nuage de points, fiable jusqu'en 2011. Tracer la droite $(\Delta)$ dans le repère.
On peut utiliser les deux-points de coordonnées (0~;~29,91) et (10,97,61) 
		\item %Déterminer alors graphiquement la production de déchets municipaux en kg par habitant pour l'année 2011.
		La droite d'équation $x = 11$ coupe la droite  $(\Delta)$ en un point dont l'ordonnée est environ 576~(kg) (voir la figure ci-dessus).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%En 2011, un bureau d'étude a prévu de réduire la production de déchets municipaux de 7\,\% par habitant et par an pour atteindre moins de 390~kg de déchets par habitant et par an. 
%On admet que la production de déchets municipaux en kg par habitant et par an est modélisée par une suite géométrique de terme général $u_{n}$ où $n$ désigne un entier naturel et $u_{n}$ représente la production de l'année $(2011 + n)$. On a alors $u_{0} = 576$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la raison de cette suite est égale à $0,93$.
Réduire de 7\,\%, c'est multiplier chaque année la production par $1 - 0,07 = 0,93$. Si chaque année la production est multipliée par $0,93$, c'est que la suite  $u_{n}$ est une suite géométrique de raison $0,93$.
		\item %Calculer la production de déchets municipaux en kg par habitant en 2012. On arrondira le résultat à l'unité.
		$U_{0} = 576$ correspond à la production en 2011, donc la production en 2011 sera de $u_{1} = 0,93u_{0} = 0,93 \times 576 = 535,68$~(kg).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0} \times 0,93^n = 574 \times 0,93^n$. 
		\item %Calculer $u_{5}$ et $u_{6}$. En déduire l'année à partir de laquelle l'objectif du bureau d'étude sera atteint.
		D'après la formule précédente :
		
$u_{5} = 576 \times 0,93^5 \approx 400,72$~(kg) ;

$u_{6} = 576 \times 0,93^6 \approx 372,67$~(kg).

L'objectif sera donc atteint au cours de la sixième année soit en 2017.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par 
%
%\[f(x) = 14 \times 0,97^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On admet que sur l'intervalle [0~;~12] la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction définie par $g(x) = 0,97^x$. 

%Déterminer, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
Comme $0 < 0,97 < 1$, on sait que la fonction $g$ et par conséquent la fondtion $f$ est décroissante en particulier sur l'intervalle [0~;~12].  
\item %Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
~
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.15,2){$0$} \uput[u](5.8,2){$12$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](1.2,2){14}\uput[u](5.6,0){$\approx 9,7$}
\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs numériques suivant, en arrondissant les résultats au dixième. 

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{14}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$f(x)$&14&13,6&13,2&12,8&12,4&12&11,7&11,3&11&10,6&10,3&10&9,7\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On étudie à partir de l'année 2007, le nombre d'emplois créés en France par les entreprises des collectivités territoriales du traitement des ordures ménagères résiduelles. On admet que le nombre $f(x)$ défini dans la partie A représente le nombre d'emplois créés (en milliers), en fonction du rang $x$ de l'année.
% 
%Ainsi, $x = 0$ représente l'année 2007, $x = 1$ représente l'année 2008 et ainsi de suite.
% 
%La courbe représentative de la fonction $f$, dans un repère orthogonal du plan est donnée en annexe (à remettre avec la copie).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer à l'aide du graphique, en laissant les traits de constructions apparents : 
	\begin{enumerate}
		\item On lit $f(5) \approx 12$. 
		\item %L'année au cours de laquelle le nombre d'emplois créés est de \np{11500}.
La droite d'équation $y = 11,5$ coupe la courbe en un point dont on lit l'abscisse approximative : 6,5. Donc ce sera au cours de l'année 2013 
		\item %À partir de quelle année, le nombre d'emplois créés deviendra inférieur à \np{12750}.
De m\^eme la droite d'équation $y = 12,75$ coupe la courbe en un point dont l'abscisse est légérement supérieure à 3. Ce sera donc au cours de l'année 2011.
	\end{enumerate} 
\item %Résoudre par le calcul, l'inéquation $f(x) \leqslant 10$ (on donnera la valeur exacte des extrémités de l'intervalle solution puis une valeur approchée arrondie à l'unité). Donner une interprétation de ce résultat.
$f(x) \leqslant 10$ si et seulement si $14\times 0,97^x \leqslant 10$ 

ou $0,97^x \leqslant \dfrac{10}{14}$ soit $0,97^x \leqslant \dfrac{5}{7}$

ou par croissance de la fonction log : $\log \left(0,97^x \right) \leqslant \log \left(\frac{5}{7}\right)$ c'est-à-dire :

$x\log 0,97 \leqslant \log \left(\dfrac{5}{7}\right)$ et enfin 

$x \geqslant \dfrac{\log \left(\dfrac{5}{7}\right)}{\log 0,97}$ car $\log 0,97 < 0$.

L'intervalle solution est donc $\left[\dfrac{\log \left(\dfrac{5}{7}\right)}{\log 0,97}~;~12\right]$.

Comme $\dfrac{\log \left(\dfrac{5}{7}\right)}{\log 0,97} \approx 11,04$, on en déduit quele nombre d'emplois créé sera inféfrieur à \np{10000} au cours de l'année de rang 11, soit en 2018.
\item %À partir de quelle année, le nombre d'emplois créés aura-t-il diminué de 25\,\% par rapport à l'année 2007 ?
Une diminution de 25\,\% correspond à $\np{14000} \times (1 - 0,25) = \np{14000} \times 0,75 = \np{10500}$.

Sur le graphique (voir le tracé plus bas) on voit que l'anée de rang 10, c'est-à-dire en 2017 sera la première année où le nombre d'emplois créés sera de \np{10500}. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\bigskip
 
\textbf{À remettre avec la copie}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}


\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.85cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(13,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange](0,0)(13,5)
\multido{\n=9.25+0.50}{10}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=9]{->}(0,0)(0,0)(13,5.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{0.97 x exp 14 mul 9 sub}
\uput[r](0,5.5){Nombre d'emplois en milliers} 
\uput[d](10,-0.5){Années écoulées depuis 2007} 
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](5,0)(5,3.02)(0,3.02)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](0,3.75)(3.1,3.75)(3.1,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](0,1.5)(9.4,1.5)(9.4,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](6.5,0)(6.5,2.5)(0,2.5)
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}