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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Métropole 17 juin 2014~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize On mesure la fréquence cardiaque d’un athlète courant sur un tapis roulant dont la vitesse peut
être modifiée. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.}

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{5.7cm}|*{7}{c|}}
\hline
Vitesse de course $x_i$ en kilomètres
 par heure (km.h$^{-1}$)	&12	&13 	&14	& 15	&16 	&17		&18\\\hline
Fréquence cardiaque $y_i$ 
en battements par minute
 (battements.min$^{-1}$)	&128&134 	&139&145 	&150	&156	& 163\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}

\item  Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est représenté dans un repère orthogonal.

{\footnotesize 
Les unités graphiques sont :\emph{
\begin{description}
\item[] $\np[cm]{1}$  pour $\np[km.h^{-1}]{1}$ en abscisse, en commençant la graduation à $\np[km.h^{-1}]{10}$;
\item[] $\np[cm]{1}$ pour 5 battements.min$^{-1}$ en ordonnée, en commençant la graduation à 120 battements.min$^{-1}$.
\end{description}}}
\item Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[\overline{x_G} = \frac{12+13+\dots+17+18}{7}=\np{15} \qquad \overline{y_G} = \frac{128+134+\dots+163}{7} = 145\]

G$\left( 15~;~145 \right)$ est placé  sur le graphique.

Nous pouvons constater que G est confondu avec un des points du nuage.
%Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et le placer. Que remarque-t-on ?
\item  Pour estimer la fréquence cardiaque de l’athlète à des vitesses de course plus élevées,
on utilise un ajustement affine de ce nuage de points.

On admet que la droite (D) d’équation : $y = 5,7x + 59,5$ réalise un tel ajustement.

 La droite (D) est tracée dans le repère précédent.
\end{enumerate}
\item  La fréquence cardiaque maximale est le nombre maximal de battements que le c\oe ur est en
mesure d’effectuer en une minute. Pour un individu d’âge $N$, cette fréquence,
habituellement notée F$_{\text{cmax}}$, est donnée par : F$_{\text{cmax}} = 220-N$.

{\footnotesize \emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis à l’unité.}}

En utilisant l’ajustement affine précédent :

\begin{enumerate}
\item calculons la fréquence cardiaque de l’athlète pour une vitesse de course de $\np[km.h^{-1}]{20}$ ; Pour ce faire, remplaçons $x$ par 20 dans l'équation de la droite.
$y = 5,7\times 20 + 59,5 = 173,5$. 

La fréquence cardiaque pour une course de $\np[km.h^{-1}]{20}$ est d'environ 174 battements par minute.
 
\item déterminons jusqu’à quelle vitesse pourra aller l’athlète, sachant qu’il a 35 ans.

À 35 ans, la fréquence cardiaque maximale est de 185 battements par minute ($220 - 35 = 185$).
 
Déterminons la valeur de $x$ pour laquelle nous obtenons cette fréquence.

 Résolvons $185=5,7x+59,5$ d'où $x=\dfrac{185-59,5}{5,7}\approx 22$. 

L'athlète  de 35 ans pourra aller jusqu'à  environ \np[km.h^{-1}]{22 }. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-5)(12,50)
\psaxes[Ox=10,Oy=120,Dx=1,Dy=5]{->}(9.2,51)
 \multido{\n=0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,50)}
 \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(9,\n)}
  \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](2,8)(3,14)(4,19)(5,25)(6,30)(7,36)(8,43)
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{9}{x 5.7  mul 3.5 sub}
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](5,25)
 \uput[u](5,25){G}\uput[u] (8.75,47){$(D)$}
 \rput(9,1.5){\scriptsize vitesse en km.h$^{-1}$}
\rput(1.1,51){\scriptsize fréquence cardiaque }
\rput(1.1,49.5){\scriptsize en battements par minute}
\end{pspicture}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip
{\footnotesize
Au début d’un effort physique, la consommation de glucose étant supérieure à l'apport
d'oxygène, l’organisme produit du lactate (aussi appelé acide lactique) responsable, entre
autres, de crampes musculaires.

\medskip

Dans l’\textbf{annexe} sont représentées les évolutions de la lactatémie, c’est-à-dire la concentration en
lactate, en millimoles par litre (mmol.L$^{-1}$), en fonction de la vitesse de course, exprimée en 
kilomètres par heure (km.h$^{-1}$), pour deux individus.

\medskip

Le premier individu, P$_1$, peu entraîné, voit sa lactatémie augmenter rapidement tandis que celle
du second individu, P$_2$, coureur de demi-fond, augmente moins rapidement.

La tangente à la courbe de lactatémie de P$_2$ au point A de coordonnées (9~;~4) est représentée
en pointillés. Cette droite passe par le point B de coordonnées (22~;~8).

\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, \textbf{on s’intéresse à la courbe représentant la lactatémie du coureur P$_2$}.

On suppose que cette lactatémie est modélisée par une fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 20].}
\begin{enumerate}
\item En s’aidant du graphique de l’\textbf{annexe}, et en faisant apparaître les traits de construction
utiles, déterminons avec la précision que permet la lecture graphique :
\begin{enumerate}
\item  la vitesse à partir de laquelle la lactatémie dépasse 8 millimoles par litre ; Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée 8. 

La vitesse à partir de laquelle la lactatémie dépasse 8 millimoles par litre est d'environ  $\np[km.h^{-1}]{18}$.
\item la lactatémie du coureur P$_2$, s’il court à une vitesse de 9 kilomètres par heure. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 9. 

La lactatémie du coureur P$_2$, s’il court à une vitesse de 9 kilomètres par heure est de 4\,mmol.L$^{-1}$.
\end{enumerate}
\item Déterminons, par un calcul, $f^\prime(9)$, le nombre dérivé de la fonction $f$ en 9. Ce nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 9.

 Calculons le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe  ou le coefficient directeur de la droite (AB). 

$m=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{8-4}{22-9}=\dfrac{4}{13}\approx \np{0.31}$. 

$f^\prime(9)=\dfrac{4}{13}$.
\item On admet que la fonction $f$ est définie par : \[f (x)= 2\times 1,08^x \]
pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0 ; 20].
\begin{enumerate}
\item  L'inéquation qui permet de répondre, par le calcul, à la question \textbf{1~a.} est : $f(x)\geqslant 8$ c'est-à-dire $2\times 1,08^x \geqslant 8$.
\item Résolvons cette inéquation dans  $\R^+_*$ d'abord puis dans l’intervalle [0 ; 20].

\[2\times \np{1.08}^x \geqslant 8 \iff \np{1.08}^x\geqslant 4 \iff \log \np{1.08}^x \geqslant \log 4 \hspace{0.5em} \text{\scriptsize (la fonction  $\log$  est strictement croissante sur $\R^+_*$ )}$

$ \iff x\geqslant \dfrac{\log 4}{\log \np{1.08}}\]

$\dfrac{\log 4}{\log \np{1,08}}\approx \np{18,013}$. L'ensemble des solutions de cette inéquation est $\left[\dfrac{\log 4}{\log \np{1,08}}~;~+\infty\right[$

La lactatémie dépasse 8 millimoles par litre lorsque la vitesse est comprise entre environ  $\np[km.h^{-1}]{18,013}$ et $\np[km.h^{-1}]{20 }$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{On s’intéresse à la courbe représentant la lactatémie du coureur P$_1$.} On admet que cette
courbe est la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur l’intervalle [0 ; 20] par
\[g (x)=  0,05 x^2 + 0,1 x + 2 .\]
\begin{enumerate}
\item  La fonction $g^\prime$  est la fonction dérivée de la fonction $g$ . Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [0 ; 20],

 $ g^\prime(x)=\np{0.05}(2x)+\np{0.1}=\np{0.1}x+\np{0.1}$ 
\item Calculons $g^\prime(8)$ . $g^\prime(8)= \np{0.8}+\np{0.1}=\np{0.9}$. 

Construisons la tangente à la courbe représentant la fonction $g$ au point d’abscisse 8.

 Calculons d'abord $g(8)$. $g(8)=\np{0.05}\times 8^2+\np{0.1}\times 8 + 2=6$.

 Maintenant nous pouvons construire la droite passant par le point, noté E, de coordonnées (8~;~6) et de coefficient directeur \np{0.9}. Lorsque  l'abscisse augmente   de 10 unités vers la droite, l'ordonnée augmente de 9 unités. Nous avons alors le point, noté F, de coordonnées (18~;~15). Nous pouvons alors tracer la droite passant par ces deux points.

{\footnotesize \emph{remarque : une équation de cette tangente est :} $y=\np{0.9}x-\np{1.2}$}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, quatre affirmations
sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.

Le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève
aucun point.

\textbf{\emph{Les questions sont indépendantes.}}
\begin{enumerate}
\item  La suite $\left(u_n\right)$  est une suite arithmétique telle que : $u_1=-10$ et $u_6=8$.

Sa raison est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$3$}&\textbf{B.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$-3$}&\textbf{C.~~}\psframebox{$3,6$} &\textbf{D.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{ $-3,6$}.
\end{tabularx}
\medskip

 
\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $-15$ et telle que $u_1=\np{1000}$.

Le premier entier naturel $n$ tel que $u_n\leqslant 250$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$49$}&\textbf{B.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{$50$ }&\textbf{C.~~}\psframebox{ $51$} &\textbf{D.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$52$}.
\end{tabularx}
\medskip

\item On sait que la population d’une ville était de \np{235000} habitants le 1\up{er} janvier 2013 et que
cette population augmente de 1,5\,\% par an. Le 1\up{er} janvier 2020, une estimation de la population de cette ville, arrondie à l’unité, sera de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \psframebox{$\np{260814}$}&\textbf{B.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$\np{264726} $}&\textbf{C.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{$\np{625105}$} &\textbf{D.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{$\np{4015195}$}.
\end{tabularx}
\medskip

\item Dans le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul automatisé, se trouve le premier
terme $u_1$ d’une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison 0,8. On a $u_1=150$.
\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B& C& D &E& F\\\hline
1& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\\hline
2 &150&&&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La formule à entrer dans la cellule B2, destinée à être recopiée vers la droite jusqu’à la cellule F2
et qui permet d’afficher les termes suivants de cette suite, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{=\$ A2*0,8} &\textbf{B.~~}\psframebox{=A2*0,8}&\textbf{C.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{=150*\$A1 }&\textbf{D.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{=A2*0,8\verb|^|A1}
\end{tabularx}
\medskip

\item Le tableau ci-dessous résume une partie des informations concernant les pratiques
artistiques et sportives de 400 élèves d’un lycée.

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|>{\centering \arraybackslash} m{3.5cm}|>{\centering \arraybackslash}m{3.5cm}|c|}
\hline
Nombre d’élèves\dots& pratiquant une
activité artistique& ne pratiquant pas d’activité artistique& Total\\\hline
pratiquant un sport&\color{red}{90}&\color{red}{150} &240\\\hline
ne pratiquant pas de sport &\color{red}{90}&70&\color{red}{160}\\\hline
Total& 180&\color{red}{220} &400\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On choisit un élève de ce lycée au hasard.
\begin{enumerate}
\item  La probabilité que l’élève choisi pratique un sport et une activité artistique est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{90}&\textbf{B.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,175} &\textbf{C.~~}\psframebox{0,225} &\textbf{D.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,825}.
\end{tabularx}
\medskip

\item Sachant qu’un élève pratique un sport, la probabilité qu’il pratique une activité
artistique est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\psframebox{0,375} &\textbf{B.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,45} &\textbf{C.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,225}&\textbf{D.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,825} .
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La probabilité qu’un élève de ce lycée choisi au hasard pratique un sport ou une activité
artistique est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,375 }&\textbf{B.~~} \psCancel[linewidth=0.02pt]{0,175}&\textbf{C.~~}\psCancel[linewidth=0.02pt]{0,325} &\textbf{D.~~}\psframebox{0,825} .
\end{tabularx}
\medskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe}

\textbf{À remettre avec la copie}

\textbf{\large Exercice 2}

\end{center}

\medskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture}(28,32)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=4,Dy=10]{->}(0,0)(28,33)
\multido{\n=0+1}{34}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(28,\n)}
\multido{\n=0+1}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,33)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{20}{1.08 x exp 2 mul}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{20}{x 2 exp 0.05 mul x 0.1 mul add 2 add}
\uput[dr] (25.7,3.8){Vitesse}\uput[dr] (25.6,2.38){(en km.h$^{-1}$)}
\uput[dr](0.5,32){Concentration en lactate}\uput[dr] (0.5,30.7){(en mmol.L$^{-1}$)}
\uput[u] (9,4){A}\uput[u] (22,8){B}\uput[u](8,6){E}\uput[u](18,15){F}
\psdots[dotstyle=BoldCircle,fillcolor=blue,dotscale =1.2](9,4)(22,8)(8,6)(18,15)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800,linestyle=dashed]{0}{28}{x 0.30769 mul  1.230769 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=0.7pt,plotpoints=800,linestyle=dashed]{0}{28}{x 0.9 mul  1.2 sub}
\uput[r] (20,24){(P$_1$)}\uput[u] (19,9){(P$_2$)}
\def\Func{1.08 x exp 2 mul}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 18 def \Func)(!18 /x 18 def \Func)(18,0)
\psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 9 def \Func)(!9 /x 9 def \Func)(9,0)
\uput[l](0,8){\color{violet}{8}}\uput[d](18,0){\color{violet}{18}}
\uput[l](0,4){\color{cyan}{4}}\uput[d](9,0){\color{cyan}{9}}

\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document} 

