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%Source : merci à G. Depresle
% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat   ST2S  Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt] 6 septembre 2018}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
La loi de financement de la Sécurité sociale comprend un objectif national de dépenses
d'assurance maladie, qui est voté chaque année par le Parlement.

\smallskip

Le montant des dépenses d'assurance maladie a été évalué pour l'année 2016 à $185,2$ milliards
d'euros. Le Parlement a voté une croissance de ces dépenses de 2,1\,\% pour l'année 2017.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrons que le montant des dépenses d'assurance maladie voté pour l'année 2017 est de
189,1 milliards d'euros (à cent millions près).
À une augmentation de 2,1\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2,1}{100}$ soit 1,021.
Effectuons le calcul : $\np{185.2}\times\np{1.021}\approx \np{189.1}$.
 
 Cette valeur correspond bien à \np{189.1} milliards à cent millions près.
 
{\footnotesize
Pour estimer les montants des années suivantes, on suppose que le Parlement votera chaque
année une augmentation de 2,1\,\% de ces dépenses.

On modélise à l'aide d'une suite $\left(v_n\right)$ le montant, en milliards d'euros, des dépenses
d'assurance maladie voté chaque année. On note $v_0$ le montant voté pour l'année 2016 et $v_n$
le montant voté pour l'année $(2016 + n)$, où $n$ est un entier positif ou nul.

On a ainsi $v_0 = 185,2$.
}

\parbox{0.49\linewidth}{On veut utiliser la feuille de calcul automatisé
ci-contre afin d'obtenir les valeurs successives de la
suite $\left(v_n\right)$.

\item  Une formule qui a pu être entrée dans la cellule B3 de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette
d'afficher les valeurs de la suite $\left(v_n\right)$ est =\$B2*1,021} \hfill
\parbox{0.49\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A 	&B\\ \hline
1 &$n$ 	&$v_n$\\ \hline
2 &0 	&$185,2$\\ \hline
3 &1 	&$189,1$\\ \hline
4 &2	&\\ \hline
5 &3	&\\ \hline
\end{tabularx}}

\item  La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.021} et de premier terme \np{185.2}.% Donner la valeur de sa raison.
\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

$u_n=u_0\times (q)^n$. $v_n=\np{185.2}\times \left(\np{1.021}\right)^n$.


\item  Déterminons une estimation du montant des dépenses d'assurance maladie voté par le
Parlement pour l'année 2020. En 2020, $n=4$, calculons $v_4$, $v_4=\np{185.2}\times(\np{1.021})^4\approx\np{201.2537}$.
 Une estimation du montant, arrondi   à la centaine de millions, des dépenses d'assurance maladie en 2020 est de \np{201.3} milliards d'euros.
\item  Résolvons, dans l'ensemble des nombres réels, l'inéquation $185,2 \times 1,021^x \geqslant 210$.

\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
185,2 \times 1,021^x &\geqslant 210\\
  1,021^x &\geqslant \dfrac{210}{185,2}\\
1,021^x &\geqslant \dfrac{525}{463}\\
\log 1,021^x &\geqslant \log \left(\dfrac{525}{463}\right)\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
x\log 1,021 &\geqslant \log \left(\dfrac{525}{463}\right)\\
x &\geqslant \dfrac{\log \left(\frac{525}{463}\right)}{\log 1,021}\\
\dfrac{\log \left(\frac{525}{463}\right)}{\log 1,021}&\approx 6,047.\\
\end{align*}
\end{minipage}

L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left[\dfrac{\log \left(\frac{525}{463}\right)}{\log 1,021}~;~+\infty\right[$ ou $[6,05~;~+\infty[$.
\item  Déterminons, suivant ce modèle, l'année pour laquelle sera voté, pour la première fois, un
montant de dépenses d'assurance maladie supérieur à 210 milliards d'euros.

En utilisant le résultat de l'inéquation, nous pouvons prévoir qu'en 2023 (2016+7)sera voté, pour la première fois, un
montant de dépenses  supérieur à 210~milliards d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
Un laboratoire prévoit de commercialiser un nouveau capteur destiné à améliorer le suivi en
continu de la glycémie des diabétiques.

\smallskip

Ce laboratoire a demandé à un service hospitalier de proposer ce capteur à plusieurs patients
afin de déterminer son influence sur l'équilibre du diabète.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A :} \emph{Influence du capteur}

\medskip

À la fin de l'évaluation par le service hospitalier, l'étude de l'ensemble des dossiers des patients
diabétiques a permis d'établir que:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]65\,\% des patients ont un diabète équilibré;
\item[$\bullet~~$] parmi les patients qui ont un diabète équilibré, 26\,\% étaient équipés du capteur de
glycémie en continu ;
\item[$\bullet~~$] parmi les patients qui ont un diabète déséquilibré, 12\,\% étaient équipés du capteur de
glycémie en continu.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard le dossier d'un patient et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$: \og le dossier est celui d'un patient dont le diabète est équilibré \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{E}$: \og le dossier est celui d'un patient dont le diabète est déséquilibré \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$: \og le dossier est celui d'un patient équipé du capteur de glycémie en continu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{C}$: \og le dossier est celui d'un patient non équipé du capteur de glycémie en continu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement $E$, notée $p(E)$ est égale à 0,65 puisque 65\,\% des patients ont un diabète équilibré  .
\item La probabilité de $P_E(C)$, probabilité de $C$ sachant $E$ est égale à \np{0.26} car parmi les patients qui ont un diabète équilibré, 26\,\% étaient équipés du capteur de glycémie en continu.
\item  Complétons l'arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~}\naput{0,65}}
	{\TR{$C$}\naput{\np{0.26}}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\np{0.74}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~}\nbput{\np{0.35}}}
	{\TR{$C$}\naput{0,12}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{\np{0.88}}
	}
}
\end{center}

\item  Les résultats seront arrondis au millième.
	\begin{enumerate}
		\item $E\cap  C$  est l'évènement : \og Le dossier est celui d'un patient dont le diabète est équilibré et qui est équipé d'un capteur de glycémie en continu\fg.		
 La probabilité de cet évènement est $P(E\cap C)$.\hspace{1em}     $P(E\cap C)=P(E)\times P_E(C)=\np{0.65}\times\np{0.26}=\np{0.169}$
		\item Montrons que la valeur de $P (C)$ est égale à 0,211. 

$P(C)=P(E\cap C)+P\left(\overline{E}\cap C\right) = P(E)\times P_E(C)+P\left(\overline{E}\right)\times P_{\overline{E}}(C)$.

$P(C)=\np{0.169}+\np{0.35}\times\np{0.12}=\np{0.169}+\np{0.042}=\np{0.211}$.

La probabilité que le dossier soit celui d'un patient équipé d'un capteur de glycémie est de \np{0.211}.
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item La probabilité que le dossier choisi soit celui d'un patient dont le diabète est
équilibré sachant que celui-ci est équipé du capteur de glycémie en continu est notée $P_C(E)$.

$P_C(E)=\dfrac{P(E\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\np{0.169}}{\np{0.211}}\approx \np{0.80095}$

La probabilité que le dossier choisi soit celui d'un patient dont le diabète est
équilibré sachant que celui-ci est équipé du capteur de glycémie en continu est, arrondie au millième, \np{0.801}

	\end{enumerate}
\item  L'objectif du laboratoire est que son capteur permette de diviser par deux la probabilité
d'avoir un diabète déséquilibré.

On admet que la probabilité qu'un patient non équipé d'un capteur de glycémie en continu
présente un diabète déséquilibré est environ égale à 39\,\%.

Calculons la probabilité que le dossier soit celui d'une personne ayant un diabète déséquilibré sachant qu'elle a eu un capteur.

$P_C(\overline{E})=\dfrac{P(C\cap\overline{E})}{P(C)}= \dfrac{\np{0.12}\times \np{0.35}}{\np{0.211}}\approx \np{0.199}$.

Nous pouvons considérer que l'objectif du laboratoire n'est pas entièrement atteint  car $\dfrac{\np{0.39}}{2}=\np{0.195}$ et $\np{0.199}>\np{0.195}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :} \emph{Fiabilité du capteur}

\medskip

{\footnotesize
Un service hospitalier reçoit six capteurs de glycémie en continu dont il souhaite vérifier la
fiabilité. Il en équipe six patients. Pour chacun d'eux, il effectue un test sanguin qui permet de
mesurer le pourcentage $x$ d'hémoglobine exposée au glucose. 

Ce pourcentage $x$ est comparé à
la moyenne $y$ des glycémies mesurées, en mmol$\cdot$ L $^{-1}$, par le capteur au cours des trois mois
d'étude. Dans la suite du problème, le nombre $y$ est appelé glycémie moyenne du capteur.

Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Patients 						&Patient A 	&Patient B 	&Patient C 	&Patient D 	&Patient E 	&Patient F\\ \hline
Valeur du test sanguin (en\,\%) : $x$& 6,4 	&7,8 		&9,3 		&6,9 		&7,3 	&8,3\\ \hline
Glycémie moyenne du capteur
 $\left(\text{en mmol}\cdot\text{L}^{-1}\right)$ : $y$		& 7,6 		&9,8 		&11,1 		&8,2 		&9,2 	&10,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La notice technique du capteur indique que, lorsque le capteur est fiable, les mesures obtenues
sont liées par la relation:
\[y = 1,6x - 2,6.\]
}
%\smallskip
\begin{enumerate}
\item D'après la relation précédente, calculons la glycémie moyenne d'un capteur fiable
si le test sanguin donne une valeur $x$ égale à $8$. Pour ce faire, remplaçons $x$ par 8 dans la relation : $y=\np{1.6}\times 8-\np{2.6}=\np{10.2}$
\item  La droite d'équation $y = 1,6x - 2,6$ est tracée dans le repère fourni en annexe  (à remettre avec la copie). Pour la tracer, nous avons pris les points  de coordonnées (5~;\np{~5.4}) et (9~;~\np{11.8}).
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Les points qui correspondent aux 6 patients ont été placés dans le repère fourni en annexe.
		\item Au vu de ces résultats, le service hospitalier pense que l'un des capteurs n'a pas permis
d'obtenir des résultats fiables. Le patient  concerné par ce problème est le patient C car le point correspondant est le plus éloigné de la droite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Dans un milieu de culture, une population bactérienne évolue en fonction du temps $t$ exprimé
en heures. À l'instant $t = 0$, il y a \np{10000} bactéries dans la culture. À l'instant $t_0$, on y introduit
un puissant antibiotique.

Le graphique ci-dessous donne l'évolution du nombre de bactéries (exprimé en dizaines de
milliers) en fonction du temps $t$ (en heures).
}
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.15)(8.1,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(8.1,4.4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(8.1,4.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,1)(1,1.62)(2,2.7)(2.5,3.4)(3,3.95)%(3.3,4.05)(4,3.65)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](5,1.55)(6,0.12)(7,0.01)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3}{5}{6 x mul 5.95 sub x dup mul 0.9 mul sub}
\uput[u](7,0){\footnotesize Temps (en heures)}
\uput[r](0,4.5){\footnotesize Nombre de bactéries}
\uput[r](0,4.2){\footnotesize (en dizaines de milliers)}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red]{->}(2.4,0)(2.4,3.3)\uput[d](2.4,0){$t_0$}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(2.4,3.3)(0,3.3)
\def\Func{6 x mul 5.95 sub x dup mul 0.9 mul sub}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 3.33333 def \Func)(!3.33333 /x 3.3333 def \Func)(3.33333,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan, linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(0,0.5)(5.6,0.5)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(5.6,0)(5.6,0.5)

\uput[l](0,3.3){\footnotesize \textcolor{violet}{$\approx\np{3.3}$}}\uput[d](5.6,0){\footnotesize \textcolor{cyan}{$\approx\np{5.6}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Remettons les cinq phrases qui suivent dans le bon ordre afin qu'elles décrivent les étapes
successives de l'évolution au cours du temps du nombre de bactéries observées sur le
graphique précédent.

La  suite de cinq lettres est alors \og \textbf{d-e-a-c-b} \fg.
	\begin{enumerate}
	\item [d.]  Le nombre de bactéries augmente de plus en plus vite.
	\item [e.] On introduit la dose d'antibiotique.
	\item [a.]  Le nombre de bactéries augmente de moins en moins vite.
	\item [c.] Le nombre de bactéries diminue de plus en plus vite.
	\item [b.] Le nombre de bactéries diminue de moins en moins vite.
	\end{enumerate}
\item Déterminons, avec la précision permise par le graphique (tracer les pointillés nécessaires à
la lecture) :
	\begin{enumerate}
		\item une estimation du nombre de bactéries au moment de l'introduction de l'antibiotique est \np{33000} ;
		\item  une estimation du nombre maximum de bactéries obtenu dans ce milieu de culture est de \np{40500};
		\item  une estimation de l'instant à partir duquel le nombre de bactéries est inférieur à \np{5000} est de \np[h]{5.6}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B : Détermination du nombre maximal de bactéries}

\medskip

Entre 3 h et 5 h après le début de l'étude, le nombre de bactéries (exprimé en dizaines de milliers),
est donné en fonction de $t$ (en heures) par :
\[f(t) = - 0,9t^2 + 6t - 5,95.\]
\begin{enumerate}
\item Calculons l'image de $4,5$ par la fonction $f$,$f(\np{4.5})=  - 0,9\times  \np{4.5}^2 + 6\times\np{4.5} - 5,95=\np{2.825}$.

Le nombre de bactéries \np[h]{4.5} après le début de l'étude est d'environ \np{28000}.
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$, $f'(t)=-\np{0.9}(2x)+6=-\np{1.8}t+6$ pour $t$ appartenant à [3~;~5]  .
\item Résoudre l'inéquation $f'(t) > 0$ dans l'intervalle [3~;~5].

Dans $\R,\  -\np{1.8}t+6>0$ est équivalent à  $t<\dfrac{6}{\np{1.8}}$ soit $t<\dfrac{10}{3}$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation sur [3~;~5] est $\left[3~;~\dfrac{10}{3}\right]$.

Puisque la fonction dérivée est positive sur $\left[3~;~\dfrac{10}{3}\right]$ $f$ est donc strictement croissante sur cet intervalle. La fonction $f'$ est négative sur $\left[\dfrac{10}{3}~;~5\right]$ par conséquent $f$ est strictement décroissante  sur cet intervalle. Il en résulte que 
 $f$ admet un maximum sur [3~;~5] atteint pour $t = \dfrac{10}{3} = \dfrac{6}{1,8}$.
\item  Pour déterminer si l'introduction de l'antibiotique a permis d'éviter que le nombre de bactéries
n'atteigne \np{40000}, calculons la valeur du maximum.

 $f\left(\dfrac{10}{3}\right)=  - 0,9\times  \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + 6\times\left(\dfrac{10}{3}\right) - 5,95=\np{4.05}$.

 L'introduction de l'antibiotique n'a pas permis d'éviter que leur nombre atteigne les \np{40000} puisque leur  nombre a atteint \np{40500}.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à remettre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}

\textbf{Exercice 2 - Partie B}

\end{flushleft}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=2.25cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(5.5,8.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(5,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=5,Oy=5](0,0)(0,0)(5.5,8.2)
\uput[u](5.1,0){$x$ en \%}
\uput[r](0,8.2){$y$ en mmol$\cdot\text{L}^{-1}$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=blue,dotangle=45](1.4,2.6)(2.8,4.8)(4.3,6.1)(1.9,3.2)(2.3,4.2)(3.3,5.7)
 \psdots[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](0,0.4)(4,6.8)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.8}{x 1.6 mul 0.4 add}
\uput[dr](1.4,2.6){A}\uput[dr](2.8,4.8){B}\uput[dr](4.3,6.1){C}\uput[dr](1.9,3.2){D}\uput[dr](2.3,4.2){E}\uput[dr](3.3,5.7){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}