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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole septembre 2009 \decofourright}}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}
%
%\medskip
% 
%\textbf{On inscrira sur sa copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%Le tableau suivant donne le nombre de maisons de retraite dans une région au cours des années.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%année &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 \\ \hline%
%\begin{tabular}{c}Nombre de maisons\\ de retraite\\ \end{tabular}&158 &160&164 &170 &172\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le nombre de maisons de retraite entre 2004 et 2008 a augmenté, à 0,1\,\%près, de :
Le nombre de maisons de retraite entre 2004 et 2008 a augmenté, à 0,1\,\%près, de : 

$\dfrac{172 - 158}{158} \times 100 \approx 8,9$~\,\%.
%\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.}  14,0\:\%& \textbf{b.} 8,9\:\%& \textbf{c.} 8,1\:\%\\
%\end{tabularx}

\medskip 
\item %Soit $x$ le pourcentage d'augmentation du nombre de maisons de retraite entre 2004 et 2005 et $y$ le pourcentage d'augmentation de ce même nombre entre 2007 et 2008 :
On a $x = \dfrac{160 - 158}{158} \times 100 \approx 1,3$~\,\% et $y = \dfrac{172 - 170}{170}\times 100 \approx 1,2$~\,\%.

On a $x > y$.
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} $x$ est supérieur à $y$ 	& \textbf{b.} $x$ est égal à $y$ 	& \textbf{c.} $x$ est inférieur à $y$ \\
%\end{tabularx}

\medskip 

%Dans les questions \textbf{3.} et \textbf{4.}, on considère le nuage de points correspondant à ce tableau lorsque l'on prend l'année comme abscisse et le nombre de maisons de retraite comme ordonnée. 
\item %Le point moyen de ce nuage de points a pour coordonnées :
Le point moyen G du nuage de points a pour coordonnées $(2006~;~164,8)$.
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} (2006~;~164) & \textbf{b.} (2006~;~164,5) & \textbf{c.} (2006~;~164,8)\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip  
\item
%Une droite réalisant un ajustement convenable de ce nuage de points a un coefficient directeur $m$ tel que:
Le coefficient directeur de la droite contenant G et le point de coordonnées (2004~;~158) est égal à : $\dfrac{164,8 - 158}{2006 - 2004} = 3,4$.

Le coefficient directeur de la droite contenant le point coordonnées (2008~;~172) et le point de coordonnées (2004~;~158) est égal à : $\dfrac{172 - 158}{2008 - 2004} = 3,5$.

Une droite réalisant un ajustement convenable de ce nuage de points a un coefficient directeur $m > 1$.
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} $0 < m < 0,5$ & \textbf{b.} $0,5 < m < 1$ & \textbf{c.} $m > 1$\\ 
%\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip 

\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item[\textbf{5.}] %La fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 6x - 0,4x^2$, a comme expression :

%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.} $f'(x) = 6 - 0,4x$ & \textbf{b.} $f'(x) = 6 - 0,8x$ &\textbf{c.} $f'(x) = 5,6x$\\
%\end{tabularx}
$f(x)$ est une fonction polyn\^ome dérivable sur $\R$ et 
$f'(x) = 6 - 0,4 \times 2x = 6 - 0,8x$.
\medskip 
\item[\textbf{6.}] %On donne $f(x) = 0,8^x,~ g(x)= 1,13^x$ et $h(x) = -2\sqrt{x}$.
 
%Parmi ces trois fonctions $f,~ g$ et $h$, le nombre de celles qui sont croissantes sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ est :
La fonction $f$ est décroissante car $0,8 < 1$. La fonction $g$ est croissante car $1,13 > 1$ et la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ étant croissante sur $[0~ ;~+ \infty[$, la fonction $x \mapsto - 2\sqrt{x}$ est décroissante. Il y a donc une fonction croissante.
\medskip
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
%\textbf{a.} 1 & \textbf{b.} 2 & \textbf{c.} 3\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

%Dans un lycée, lors d'une campagne de don du sang, on a demandé aux quatre-vingt-dix élèves de classes de Terminale ST2S d'indiquer leurs groupes sanguins et leurs rhésus.
% 
%On a obtenu les renseignements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item un tiers des élèves sont du groupe O, 
%\item 30\,\%des élèves du groupe O ont un rhésus négatif, 
%\item 50\,\%des élèves sont du groupe A dont six ont un rhésus négatif, 
%\item quatre élèves sont du groupe AB ; ils ont tous un rhésus positif, 
%\item 20\,\%des élèves ont un rhésus négatif.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item  %En utilisant ces renseignements, compléter le tableau des effectifs donné en Annexe.
Voir à la fin.
%\medskip
 
%\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire.}

\medskip
 
\item %On choisit au hasard un élève parmi les quatre-vingt-dix interrogés. On considère les évènements:


%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize} 
%\item[] A : \og L'élève est du groupe A \fg
%\item[] B : \og L'élève est du groupe B \fg 
%\item[] C : \og L'élève a un rhésus positif \fg 
%\item[] D : \og L'élève est du groupe A et a un rhésus positif \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Écrire l'évènement D à l'aide des évènements A et C.
D est l'évènement : \og l'élève est du groupe A et a un Rhésus positif \fg, donc D = A $ \cap$ C. 
\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements A, B, C et D.
$p(\text{A}) = \dfrac{45}{90} = 0,5 = \dfrac{1}{2}$.

$p(\text{B}) = \dfrac{11}{90}$.

$p(\text{C}) = \dfrac{72}{90} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$.

$p(\text{D}) = \dfrac{39}{90} = \dfrac{13}{30}$.
\item %$\overline{\text{C}}$ est l'évènement contraire de C. Définir à l'aide d'une phrase l'évènement B~$\cup~ \overline{\text{C}}$ puis calculer sa probabilité.
B~$\cup~ \overline{\text{C}}$ désigne l'évènement : \og l'élève est du groupe B ou a un Rhésus négatif \fg.

$p\left(\text{B} \cup \overline{\text{C}} \right) = p(\text{B} + p\left(\overline{\text{C}} \right) - p\left(\text{B} \cap \overline{\text{C}} \right) = \dfrac{11}{90} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{30} = \dfrac{26}{90} =  \dfrac{13}{45}$.
\end{enumerate} 
\item %On choisit maintenant au hasard un élève de rhésus positif.
 
%Quelle est la probabilité qu'il soit du groupe B ? 
Sur les 72 élèves de Rhésus positif 8, sont du groupe B.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{8}{72} = \dfrac{1}{9}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip


%Une maladie est apparue en 2005 dans un pays. Le nombre des nouveaux cas augmente chaque année de 15\,\% par rapport à ceux de l'année précédente. Pour le moment, seul un médicament permet de traiter une partie des symptômes de cette maladie mais sans la guérir. Il y avait $300$~cas recensés en 2005.
 
\begin{enumerate}
\item %On note $u_{0}$ le nombre de cas en 2005, $n$ le nombre d'années écoulées depuis 2005 et $u_{n}$ le nombre de nouveaux cas en $2005 + n$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $u_{n}$ est le terme général d'une suite géométrique de raison $1,15$.
Chaque année le nombre de cas est multiplié par $1 + \dfrac{15}{100} = \dfrac{115}{100} = 1,15$.

On a donc $u_{n+1} = u_{n} \times 1,15$, ce qui montre que la suite $\left(u_{n} \right)$ est une suite géométrique de raison 1,15 et de premier terme $u_{0} = 300$.
		\item %Justifier que le nombre de nouveaux cas en 2008, arrondi à l'unité, est $456$.
		D'après la question 1., on sait que $u_{n} = u_{0}\times q^n = 300 \times 1,15^n$.
		
En particulier en 2008 qui correspond à $n = 3$, il y aura 

$u_{3} = 300 \times 1,15^3 \approx 456,2 \approx 456$~cas à l'unité près 
		\item %Quelle est l'estimation du nombre de nouveaux cas que l'on peut faire pour 2015 si la progression reste identique ?
2015 correspond à $n = 10$. D'où $u_{10} = 300 \times 1,15^{10} \approx \np{1213,7} \approx \np{1214}$~cas. 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte pour l'évaluation.}
		 
%En quelle année peut-on estimer que le nombre de nouveaux cas va dépasser pour la première fois les \nombre{10000}~personnes ?
Il faut résoudre l'équation d'inconnue $n$, $u_{n} = \np{10000}$ ou 

$300 \times 1,15^n = \np{10000}$ ou en simplifiant par 300, $1,15^n = \dfrac{100}{3}$, d'où par croissance de la fonction logarithme décimal $n\log 1,15 = \log \frac{100}{3}$, d'où finalement 

$n = \dfrac{\log \frac{100}{3}}{\log 1,15}$. Or $\dfrac{\log \frac{100}{3}}{\log 1,15} \approx 25,09 \approx 26$ à l'unité près, puisqu'il faut répondre en années.

Le nombre de nouveaux cas va dépasser pour la première fois les \nombre{10000}~personnes en 2005 + 26 = 2031.
	\end{enumerate}

\medskip
	 
%\texttt{On rappelle que la somme des $n$ premiers termes d'une suite\\ géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{0}$ et de 
%raison $q$ est donnée par la formule :} $u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = u_{0} \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ 
%
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{e.}] %En 2008, quel est le nombre total de personnes ayant contracté la maladie depuis son apparition ?
2008 correspond à $n = 3$, donc d'après la formule donnée, le  nombre total de personnes ayant contracté la maladie depuis son apparition est égal à $300 \times \dfrac{1 - 1,15^{4}}{1 - 1,15} \approx \np{1498,1} \approx \np{1498}$ à l'unité près.
		\item[\textbf{f.}] %En 2015, à combien peut-on estimer le nombre total de personnes qui auront contracté la maladie depuis son apparition ?
2015 correspond à $n = 10$, donc d'après la formule donnée, le  nombre total de personnes ayant contracté la maladie depuis son apparition est égal à $300 \times \dfrac{1 - 1,15^{10}}{1 - 1,15} \approx \np{7304,8} \approx \np{7305}$ à l'unité près.
	\end{enumerate}		 
\item %Le coût du traitement pour un malade était de $400$~euros en 2005. Le laboratoire s'est engagé à baisser ce coût de 5 euros par an pendant les dix prochaines années. 
\begin{enumerate}
\item %Quel est le coût du traitement en 2008 pour un malade ?
Chaque année le coût baisse de 5~euros. Les coûts annuels successifs sont donc les termes d'une suite arithmétique de premier terme 400 et de raison $- 5$.

En 2008, soit pour $n = 3$, le coût devrait \^etre de $400 - 3 \times 5 = 400 - 15 = 385$~\euro.  
\item %Quel était le coût global du traitement pour tous les malades en 2005 ? en 2006 ? 
En 2005, 300 malades pour un coût individuel de 400~\euro représentent un coût total de $300 \times 400 = \np{120000}$~\euro.

En 2006, il y avait 300 malades de 2005, plus les $300 \times 1,15 = 345$ nouveaux malades de 2006, soit en tout 645 malades dont la maldie coûte $400 - 5 = 395$, soit un coût total de $645 \times 395 = \np{254775}$~\euro.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte pour l'évaluation.}
 
%En 2009, un budget d'un million d'euros a été prévu pour le traitement de toutes les personnes atteintes depuis 2005. Ce budget sera-t-il suffisant?
En 2009, soit pour $n = 4$, le nombre total de malades era égal à $300 \times \dfrac{1 - 1,15^5}{1 - 1,15} \approx \np{2022,7} \approx \np{2023}$.

Le coût individuel de chacun de ces malades sera de $400 - 4 \times 5 = 380$, soit un coût total de $\np{2023} \times 380 = \np{768740}$~\euro.

Ce coût sera inférieur au bufget de un million d'euros prévu.
\end{enumerate} 
\item %On souhaite regrouper ces informations dans la feuille automatisée de calcul reproduite ci-dessous :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&A&B&C&D&E\\ \hline%
%1&\footnotesize année&\footnotesize nombre de nouveaux cas&\footnotesize nombre total de malades&\footnotesize coût du traitement pour un malade &\footnotesize coût total du traitement \\ \hline% 
%2	&2005 	&300	&300	&400 	&\\ \hline%
%3	&2006 	&345 	&		&395	&\\ \hline% 
%4	&2007	&397 	&		&		&\\ \hline%
%5	&2008 	&		&		&		&\\ \hline%
%6	&2009	&		&		&		&\\ \hline% 
%7	&2010	&		&		&		& \\ \hline%
%8	&2011	&		&		&		& \\ \hline%
%9	&2012	&		&		&		& \\ \hline%
%10	&2013	&		&		&		& \\ \hline%
%11	&2014	&		&		&		& \\ \hline%
%12	&2015	&		&		&		& \\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas jusqu'à la cellule C12 pour calculer les nombres totaux annuels de malades jusqu'en 2015 ?
Formule : \fbox{~C2+B3~}.
		\item %Quelle formule peut-on entrer dans la cellule E2 et recopier vers le bas jusqu'à la cellule E12 pour calculer les coûts totaux annuels de traitement jusqu'en 2015 ?
Formule : \fbox{~C2*D2~}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}  

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe}

\vspace{2cm}
\renewcommand\arraystretch{1.85}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{Rhésus}{Groupe}&A&B&AB&O&total \\ \hline
positif&39&8&4&21&72\\ \hline
négatif&6&3&0&9&18\\ \hline
total&45&11&4&30&90\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{document}