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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole  septembre 2011~\decofourright}}

%\bigskip

%{\footnotesize Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le relevé ci-dessous donne la consommation de dioxygène exprimée en litres par minute ($\ell.$min$^{-1}$), pour une personne, en fonction de la puissance exprimée en watts (W) de l'effort fourni.

%\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{4.45cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Puissance de l'effort (W)& 30 &60 &90 &120 &150 &180 &210 &240\\ \hline 
Consommation en dioxygène ($\ell$.min$^{-1}$)&0,8 &1,3 &1,7 &2,1 &2,5 &3,2 &3,6 &3,9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré, 
 Le nuage de points associé à ce tableau dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 
\np[cm]{1.5} pour \np[W]{30} sur l'axe des abscisses et  \np[cm]{1} pour \np[\ell.min^{-1}]{0.2} sur l'axe des ordonnées, est construit page \pageref{nuage}. 
\item On considère la droite $(d)$ passant par les points extrêmes du nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item  Cette droite est tracée sur le graphique. 
		\item Calculons le coefficient directeur $m$ de cette droite. %, on donnera le résultat arrondi à $10^{- 3}$ près.
		
		Le coefficient directeur d'une droite définie par deux points A et B n'ayant pas la même abscisse est :
		
		$m=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}$. \hspace{2em}$m=\dfrac{\np{3.9}-\np{0.8}}{\np{240}-\np{30}}\approx\np{0.014762}$. Le coefficient directeur, arrondi à $10^{-3}$, est $\np{0.015}$. 
	\end{enumerate} 
\item En supposant que cette droite réalise un ajustement satisfaisant du nuage et en utilisant cet ajustement, déterminons avec la précision permise par la lecture graphique : 
	\begin{enumerate}
		\item la consommation de dioxygène lors d'un effort d'une puissance égale à \np[W]{105}. Nous lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 105. La consommation de dioxygène est d'environ \np[\ell.min^{-1}]{1.90}.
		\item la puissance de l'effort fourni pour une consommation de dioxygène égale à  \np[\ell.min^{-1}]{3}. Nous lisons l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 3.
		La puissance de l'effort est d'environ \np[W]{179}.
	\end{enumerate}		 
{\footnotesize\emph{On fera apparaître sur le graphique les traits de construction utiles.}} 
\item On considère que, pour une puissance de l'effort comprise entre \np[W]{30} et \np[W]{300}, la droite d'équation $y = 0,015x + 0,38$ correspond à un ajustement affine satisfaisant de ce nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la consommation de dioxygène obtenue à l'aide de cet ajustement, pour une puissance de l'effort égale à \np[W]{300}. Remplaçons $x$ par 300.
$y=\np{0.015}\times 300+\np{0.38}= \np{4.88}$.

 La consommation pour une puissance de l'effort égale à \np[W]{300} est de  \np[\ell.min^{-1}]{4.88}.
		\item Calculons, en utilisant toujours le même ajustement, la puissance de l'effort fourni pour une consommation de dioxygène égale à \np[\ell.min^{-1}]{3.4}. Pour ce faire, résolvons $ 0,015x + 0,38=\np{3.4}$.

 $\np{0.015}x+\np{0.38}=\np{3.4}\iff \np{0.015}x=\np{3.4}-\np{0.38} \iff x=\dfrac{\np{3.4}-\np{0.38}}{\np{0.015}}= \np{201.33}$ .

La puissance de l'effort fourni pour une consommation de dioxygène égale à \np[\ell.min^{-1}]{3.4} est de \np[W]{201} à l'unité près.
 %On arrondira le résultat à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 5 points}

\smallskip

Dans un pays, une enquête a été réalisée auprès d'un échantillon de \np{5000}~familles ne possédant pas plus d'une voiture et pas plus d'un téléviseur.
 
Lors de cette enquête, 65\,\% des familles déclarent posséder un téléviseur, 40\,\% des familles déclarent ne pas posséder de voiture, parmi celles-ci 60\,\% ne possèdent pas de téléviseur.

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrons que \np{1200}~familles de l'échantillon ne possèdent ni voiture, ni téléviseur. 

Calculons le nombre de familles déclarant ne pas posséder de voiture : \hspace{1em}$\dfrac{40}{100}\times \np{5000}=\np{2000}$.

Parmi ces \np{2000} familles  60\,\% ne possèdent pas de téléviseur.\hspace{1em} $\dfrac{60}{100}\times \np{2000}=\np{1200}$.

Nous obtenons bien que \np{1200}~familles de l'échantillon ne possèdent ni voiture, ni téléviseur.
\item  Complétons le tableau d'effectifs suivant : 

\medskip
\begin{center}
{\footnotesize 
\begin{tabularx}{0.825\linewidth}{|m{3.975cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Nombre de familles ayant un téléviseur &Nombre de familles n'ayant pas de téléviseur&Total\\ \hline 
Nombre de familles ayant une voiture&\np{2450}&550&\np{3000}\\ \hline 
Nombre de familles n'ayant pas de voiture&800&\np{1200}&\np{2000}\\ \hline 
Total&\np{3250}&\np{1750}& \np{5000}\\ \hline
\end{tabularx}}\end{center}

 
\medskip

\item On choisit une famille au hasard parmi cet échantillon. On pourra noter :
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{description}
\item[ ] $T$ : l'événement \og la famille choisie possède un téléviseur \fg{} et $\overline{T}$ son événement contraire. 
\item[ ] $V$ : l'événement \og la famille choisie possède une voiture \fg{} et $\overline{V}$ son événement contraire.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
L'univers est l'ensemble des familles de l'échantillon et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité.

 La probabilité d'un événement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de } A}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$. Le nombre d'éléments de l'univers est \np{5000}.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité que la famille choisie possède une voiture.  Il y a \np{3000} familles qui possèdent une voiture. $p(V)=\dfrac{\np{3000}}{\np{5000}}=\np{0.6}$. 
		
		{\footnotesize \emph{remarque:} Puisque 40\,\% des familles ne possèdent pas de voiture, il en résulte que 60\,\% en possèdent une}
		
		\item Déterminons la probabilité que la famille choisie possède une voiture et un téléviseur. Il y a \np{2450} familles qui possèdent une voiture et un téléviseur. 

$p(V\cap T)=\dfrac{\np{3250}}{\np{5000}}=\np{0.49}$.
		\item Déterminons la probabilité que la famille choisie possède une voiture ou un téléviseur. 
		
		Par hypothèse $p(T)=\np{0.65}$. $p(T \cup V)=p(T)+p(V)-p(T \cap V)=\np{0.65}+\np{0.6}-\np{0.49}=\np{0.76}$
		\item Déterminons la probabilité $p_{\overline{V}}(\overline{T})$ que la famille choisie n'ait pas de téléviseur sachant qu'elle ne possède pas de voiture. 
		
		$p_{\overline{V}}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{V}\cap \overline{T})}{p(\overline{V})}=\dfrac{\frac{\np{1200}}{\np{5000}}}{\np{0.4}}=\dfrac{\np{0.24}}{\np{0.4}}=\np{0.6}$
	
{\footnotesize \emph{remarque:} Nous aurions pu considérer un nouvel univers : l'ensemble des familles ne possédant pas de voitures et chercher la probabilité qu'elle n'ait pas de téléviseur, soit $\dfrac{\np{1200}}{\np{2000}} =\np{0.6}$.}



\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 9 points}

\medskip

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption.
 
On appelle \og alcoolémie \fg{} le taux d'alcool dans le sang ; l'alcoolémie est souvent mesurée en grammes par litre (g.$\ell^{-1}$). 

Un homme de 80~kg a bu un double whisky et deux verres de vin, ce qui correspond à 60~g d'alcool. 

Le graphique ci-dessous représente l'évolution de son alcoolémie en fonction du temps $t$, exprimé en heures, écoulé depuis l'absorption d'alcool.

\medskip

\psset{xunit=1.5cm,yunit=3.75cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(7.25,1.25)
\multido{\n=0.00+0.25}{29}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.2,comma=true](0,0)(7.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](5,-0.2){Temps écoulé depuis l'absorption en heures}
\rput{90}(-0.8,0.6){Alcoolémie en g.$\ell^{-1}$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{0.5}{2.88 x mul 0.032 add x dup mul 1.92 mul sub}
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](0.5,0.992)(0.75,1.06)(1,1.02)(1.25,0.96)(1.5,0.9)(1.75,0.845)(2,0.795)(2.25,0.74)(2.5,0.69)(2.75,0.64)(3,0.6)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{3}{7}{0.8 x exp 1.25 mul 0.04 sub}
\psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(0.75,0)(0.75,1.06)\psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(0.75,1.06)(0,1.06)
\def\Func {0.8 x exp 1.25 mul 0.04 sub}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,arrowscale=2,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 3.75 def \Func)(!3.75 /x 3.75 def \Func)(3.75,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip 

{\footnotesize \emph{Dans cette partie, les résultats seront déterminés graphiquement.}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique, l'alcoolémie de l'homme semble maximale au bout de trois quarts d'heure. 
Une valeur approchée de cette alcoolémie serait alors de \np[g.\ell^{-1}]{1.06}. 
\item Le code de la route en vigueur autorise la conduite avec une alcoolémie maximale de \np[g.\ell^{-1}]{0,5}.
 
Sachant que l'homme doit faire un long trajet pour rentrer chez lui, il pourra prendre sa voiture sans être en infraction au bout de trois heures quarante cinq minutes. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip 

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~7] qui est représentée par la courbe utilisée dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'expression de la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~7] est donnée par :$f(t) = 1,25 \times 0,8^t - 0,04$. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminons par le calcul la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de l'alcoolémie de l'homme au bout de
\begin{description}
\item[] 4~h~30~min,\hspace{1em} $f(\np{4.5})=1,25 \times 0,8^{\np{4.5}} - 0,04 \approx \np{0.42}$.
\item 6~h~15~min,\hspace{1em} $f(\np{6.25})=1,25 \times 0,8^{\np{6.25}} - 0,04 \approx \np{0.27}$.
\end{description}
 		\item Résolvons, sur l'intervalle [3~;~7], l'inéquation $1,25 \times 0,8^{t} - 0,04 < \np{0.5}$. Résolvons-la d'abord sur $\R$.
		
 $ 1,25 \times 0,8^t - 0,04 < 0,5 \iff 1,25 \times 0,8^{t} <\np{0.5}+0,04 \iff \np{1.25}\times \np{0.8}^t<\np{0.54}\iff $
 
$\np{0.8}^t< \dfrac{\np{0.54}}{\np{1.25}} \iff \np{0.8}^t<\np{0.432}$. 

En prenant le logarithme décimal de chaque membre \hspace{1.5em}$t \log \np{0.8}<\log\np{0.432}$

$\log \np{0.8}$ étant négatif \hspace{1.5em} $t>\dfrac{\log{\np{0.432}}}{\log \np{0.8}}$ d'où $t>3,7614$.

L'ensemble des solutions sur l'intervalle [3~;~7] de l'inéquation est $\left]\dfrac{\log{\np{0.432}}}{\log \np{0.8}}~;~7\right]$.

Nous  interprétons ce résultat comme la durée pendant laquelle l'homme doit attendre avant de prendre sa voiture  sans être en infraction.
	\end{enumerate} 
	\end{enumerate}
{\footnotesize \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}}
\begin{enumerate}[resume]
 \item L'expression donnée plus haut pour la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~7] ne convient pas pour l'intervalle [0~;~1]. L'allure de la courbe de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1] fait penser à la représentation graphique d'une fonction du second degré. 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par : $g(t) = -1,92 t^2 + 2,88 t + 0, 032$.
 
Étudions les variations de cette fonction sur l'intervalle [0~;~1]. 

Déterminons d'abord $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur [0~;~1]. $g'(x)=-\np{1.92}(2t)+\np{2.88}=-\np{3.84}t+\np{2.88}$. 

Résolvons sur $\R$ l'inéquation $-\np{3.84}t+\np{2.88}>0$ 

$-\np{3.84}t+\np{2.88}>0 \iff -\np{3.84}t>-\np{2.88} \iff t<\dfrac{\np{2.88}}{\np{3.84}}\iff t<\np{0.75}$. Par conséquent $g'(t)>0$ si $t\in [0~;~\np{0.75}[$ et $g'(t)<0$ si $t\in]\np{0.75}~;~1]$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. $g'(t)$ étant positive sur [0~;~\np{0.75}[, $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.
Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. $g'(t)$ étant négative sur ]\np{0.75}~;~1], $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

L'expression $-1,92t^2 + 2, 88t + 0, 032$ ne pourrait pas convenir pour $f(t)$ sur l'intervalle [0~;~1]  quoique  la fonction atteigne un maximum pour $t=\np{0.75}$ égal à \np{1.112} mais il est supérieur au maximum que nous avons pu lire sur le graphique.
\end{enumerate}

\newpage

%\hspace{3cm}
\begin{center} 
\psset{xunit=0.05cm,yunit=5cm,comma=true,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(250,4.1)
\psaxes[Dx=30,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(250,4.1)
\multido{\n=0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(250,\n)}
\multido{\n=0+5}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,4)}
 \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](30,0.8)(60,1.3)(90,1.7)(120,2.1)(150,2.5)(180,3.2)(210,3.6)(240,3.9)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{245}{x 0.0147619 mul 0.357143 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](230,3.7){(d)}
\rput(250,0.075){\footnotesize Puissance en W}\rput(20,4.2){\footnotesize consommation de dioxygène}\rput(0,4.13){\footnotesize en $\ell$.min$^{-1}$}
\def\Func{x 0.0147619 mul 0.35714 add}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 105 def \Func)(!105 /x 105 def \Func)(105,0)
\psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 179.03251 def \Func)(!179.03251 /x 179.03251 def \Func)(179.03251,0)
\uput[d](105,0){\textcolor{red}{105}} \uput[l](0,1.9){\textcolor{red}{1,9}}\uput[d](179,0.01){\footnotesize\textcolor{cyan}{179}}
\end{pspicture}
\label{nuage}
\end{center}
\end{document}