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% Tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé : J. C. Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre  2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 12 septembre 2012~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip

{\footnotesize 
En 2012, une étude a relevé le nombre de décès dus à des accidents domestiques en France durant les dix années précédentes. Ces résultats sont reproduits dans le tableau ci-dessous :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.45cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline  
Nombre de décès en milliers : $y_{i}$ &14,1 &14,2 &15,2 &16,7 &16 &17 &17,8 &18,4 &19,2 &18,9\\ \hline 
\end{tabularx}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ci-dessous le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 

1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour un millier de décès sur l'axe des ordonnées. 

%On commencera la graduation à 12~milliers de décès sur l'axe des ordonnées. 

\bigskip   

\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm,comma=true}%,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(12,8)
\psaxes[Ox=0,Oy=12,Dx=1,Dy=1]{->}(12,8)
\multido{\n=0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,8)}
 \multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
 \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,2.1)(2,2.2)(3,3.2)(4,4.7)(5,4)(6,5)(7,5.8)(8,6.4)(9,7.2)(10,6.9)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{12}{x 0.5  mul 2 add}
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](5.5,4.75)
\uput[u](5.5,4.75){G}\rput (11.5,7.5){$D$}
\rput(0.7,8.2){\footnotesize nombre de décès en milliers}
\rput(11.7,0.3){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+9+10}{10}=\np{5.5} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{14.1}+\np{14.2}+\dots+\np{18.9}}{10}=\np{16.75}\]
G $\left( \np{5.5}~;~\np{16.75} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
 \end{enumerate}
Dans la suite du problème, la droite $D$ d'équation $y = 0,5x + 14$ réalise un ajustement affine du nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.

\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item  La droite $D$ est tracée dans le repère précédent. 
\item Le point $G$ appartient à la droite $D$ car en calculant l'ordonnée du point d'abscisse celle de G 

($\np{0.5}\times \np{5.5}+14=\np{16.75}$ ) nous retrouvons bien l'ordonnée  de G.
\item En utilisant cet ajustement affine, le nombre de décès dus à des accidents domestiques prévisible en 2020 ($x_i~=~19$) est $\np{0.5}\times \np{19}+14=\np{23.5}$. 

Selon ce modèle, nous pourrions prévoir \np{23500} décès dus à des accidents domestiques.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Suite à l'étude précédente, une campagne de prévention pour lutter contre les accidents domestiques a été mise en place. En 2011, il y a eu \np{18900}~décès dus à des accidents domestiques. Grâce à cette campagne de prévention, on prévoit que le nombre de décès diminuera chaque année de 5\,\%.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre de décès dus à des accidents domestiques que l'on peut ainsi prévoir en 2012.
\[\np{18900}-\np{18900}\times \dfrac{5}{100}=\np{18900}\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=\np{18900}\times \np{0.95}=\np{17955}.\]


\end{enumerate}
On pose $u_{0}$ le nombre de décès dus à des accidents domestiques en 2011, ainsi $u_{0} = \np{18900}$. 

On désigne par l'entier naturel $n$, le nombre d'années écoulées depuis 2011 et par $u_{n}$ le nombre de décès en $2011 + n$. 
\begin{enumerate}[resume]
\item  Montrons que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison est $0,95$.

 À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient  multiplicateur $1+t$. Pour une baisse de 5\,\%, soit  $t=-\np{0.05}$, le coefficient multiplicateur  est \np{0.95}. Chaque terme $u_{n+1}$ se  déduisant du précédent $u_n$  en le multipliant par  un même nombre appelé la raison, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison est \np{0.95} et de premier terme \np{18900}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons $u_{n}$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite  géométrique de  premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$, par conséquent pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{18900}\times (\np{0.95})^n$.	
		\item Estimons le nombre de décès dus à des accidents domestiques  pour l'année 2020. 

En 2020, $n=9$, $u_9=\np{18900}\times (\np{0.95})^9\approx \np{11912}$.

		En 2020, nous pouvons estimer le nombre de décès dus à des accidents domestiques à \np{11912}.
	\end{enumerate} 
\item Le nombre de décès dus à des accidents domestiques entre 2011 et 2020 que l'on peut prévoir est la somme du nombre de décès entre 2011 et 2020.
 \[u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{9} = \np{18900} \times \dfrac{1 - \np{0.95}^{10}}{1 - \np{0.95}}\approx\np{151677}\]
Entre 2011 et 2020, nous pouvons estimer le nombre de décès dus à des accidents domestiques à environ \np{151677}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

Suite à une augmentation du nombre de personnes malades dans un village, une organisation a mis en place une campagne de vaccination en janvier 2011.

\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
La courbe donnée en annexe 1 (\emph{à remettre avec la copie}) représente le pourcentage de personnes malades en fonction du temps $t$, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2011.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item   Le pourcentage de malades au début de la campagne de vaccination est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 0. Graphiquement, nous lisons 25\,\%.
\item Déterminer graphiquement durant combien de mois le pourcentage de personnes malades sera supérieur ou égal à 40\,\% revient en partie à déterminer l'intervalle pour lequel la courbe est située au dessus ou sur la droite d'équation $y=40$. Nous lisons [5~;~15] et par conséquent la durée est de 10 mois.
\item Déterminer, graphiquement, au bout de combien de mois après le début de la campagne de vaccination le pourcentage de malades a été maximal revient à déterminer l'abscisse du sommet de la courbe. Nous lisons $x=10$. 
Le pourcentage de malades a été maximal 10 mois après le début de la campagne de vaccination.

  Ce maximum était alors de 45\,\%. %(\emph{on laissera apparents les traits de construction}) 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Pour prévoir l'évolution de la maladie dans les mois à venir, on modélise le pourcentage de personnes malades en fonction du temps $t$, exprimé en mois, écoulé depuis janvier 2011, par la fonction $p$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~25] par : 

\[p(t) = - 0,2 t^2 + 4t + 25\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $p(0)$. $p(0)=-0,2\times0^2+4\times 0+25=25$
\item Soit $p^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $p$ sur l'intervalle [0~;~25].

 $p^{\prime}(t)=-\np{0.2} (2t)+4=-\np{0.4}t+4$. 
\item Déterminons le signe de $p^{\prime}(t)$ en fonction de $t$ sur l'intervalle [0~;~25].
Résolvons dans $\R$ $-\np{0.4}t+4>0$.

 $-\np{0.4}t+4>0\iff-\np{0.4}t>-4\iff t<\dfrac{-4}{-\np{0.4}}\iff  t < 10$.
 
 Par conséquent si $0\leqslant t<10,\ p^\prime (t)>0 $ et si $10<t\leqslant25,\ p^\prime (t)<0$.
 
 Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $t\in[0~;~10]\ p^\prime(t)>0$ donc $p$ est strictement croissante sur cet intervalle. 
 
 Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Pour $t\in]10~;~25]\ p^\prime(t)<0$ donc $p$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 
  
Dressons maintenant le tableau de variations de la fonction $p$ sur l'intervalle [0~;~25].

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$10$}    \uput[u](7.73,2.45){$25$}
\uput[u](0.5,1.9){$p^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $p$}
\uput[d](1.37,0.45){$25$}\uput[d](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$45$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Dressons aussi le tableau de valeurs suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&17		& 18 	&19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline 
$p(t)$	&35,2	&	\np{32.2}	&\np{28.8}	&\np{25}	&\np{20.8}	&\np{16.2}	&\np{11.2}	&\np{5.8}	&\np{0}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le graphique de l'annexe 1 (\emph{à remettre avec la copie}) a été complété en traçant la courbe représentative de la fonction $p$ sur l'intervalle [17~;~25]. 
\item Déterminons l'année et le mois durant lequel la maladie aura disparu du village. Graphiquement ou en utilisant le tableau de valeurs, le nombre de mois écoulés depuis janvier 2011 est 25, c'est à dire en janvier 2013. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Une enquête a été menée sur \np{2000}~bénévoles d'une ville pour connaître les raisons de leur premier engagement dans diverses associations. Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous et sont classés selon l'âge des bénévoles. 

\medskip
{\footnotesize 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
				&Moins de 35 ans&Entre 35 ans et 60 ans&Plus de 60 ans&Total\\ \hline
Mise en pratique de valeurs et de convictions personnelles &99 &209 &235 &543\\ \hline 
Réaction à un problème local 				&75 	&180 	&185 	&440\\ \hline 
Sollicitation par des amis ou un groupe local&130 	&196 	&135 	&461 \\ \hline
Tradition familiale 						&186 	&265 	&105 	&556\\ \hline 
Total 										&490	& 850 	&660	&\np{2000}\\ \hline
\end{tabularx}
}
\medskip
 
%\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième.}

%\medskip
 
On choisit au hasard une personne parmi les \np{2000}~bénévoles de l'enquête et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] A : \og Le bénévole a moins de 35 ans \fg. 
\item[ ] B : \og Le bénévole a entre 35 ans et 60 ans \fg. 
\item[ ] C : \og Le bénévole a plus de 60 ans \fg. 
\item[ ] S : \og Le bénévole s'est engagé après avoir été sollicité par des amis ou un groupe local \fg. 
\item[ ] T : \og Le bénévole s'est engagé par tradition familiale \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item 
L'univers est l'ensemble des bénévoles interrogés et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. La probabilité d'un évènement A est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la probabilité des évènements $A$ et $S$.
 
Il y a 490 bénévoles de moins de 35 ans par conséquent $p(A)=\dfrac{490}{\np{2000}}=\np{0.245}$.

Il y a  461 bénévoles à s'être engagés après avoir été sollicités par des amis ou un groupe local par conséquent $p(S) = \dfrac{461}{\np{2000}}\approx \np{0.231}$.
		\item L'évènement $A \cap S$ est l'évènement : \og le bénévole a moins de 35 ans et s'est engagé après avoir été sollicité par des amis ou un groupe local\fg. 
		
L'évènement $A \cup  S$ est l'évènement: \og le bénévole a moins de 35 ans ou s'est engagé après avoir été sollicité par des amis ou un groupe local\fg.  
	\item Calculons 
	\begin{itemize}
\item la probabilité de $A \cap S$. Il y a 130 bénévoles vérifiant les 2 conditions $p(A\cap S)=\dfrac{130}{\np{2000}} = \np{0.065}$. 
\item celle de $A \cup  S$. $p(A\cup S)=p(A)+p(S)-p(A\cap S)=\np{0.245}+\np{0.231}-\np{0.065}=\np{0.411}$.
\end{itemize}
		\item Déterminons la probabilité de l'évènement $\overline{T}$. Sachant  qu'il y a 556 bénévoles engagés par tradition familiale , $p(T)=\dfrac{556}{\np{2000}}=\np{0.278}$ d'où $p(\overline{T})=1-\np{0.278}=\np{0.722}$
	\end{enumerate} 
\item On choisit au hasard un bénévole parmi ceux âgés de moins de 35 ans. 
Calculons la probabilité qu'il se soit engagé en réaction à un problème local. Il y a 75 bénévoles de moins de 35 ans  engagés en réaction à un problème local parmi les 490 engagés de moins de 35 ans. $\dfrac{75}{490}\approx\np{0.153}$.
\item Calculons les probabilités conditionnelles suivantes. 
\begin{itemize}
\item $P_{A}(T)$;  Sachant qu'il a moins de 35 ans la probabilité qu'il s'engage par tradition famillale est :

$p_A(T)=\dfrac{186}{490}\approx\np{0.380}$.
\item $P_{B}(T)$ ; Sachant qu'il a entre 35 ans  et 60 ans la probabilité qu'il s'engage par tradition famillale est:

 $p_B(T)=\dfrac{265}{850}\approx\np{0.312}$.
\item $P_{C}(T)$;  Sachant qu'il a plus de 60 ans la probabilité qu'il s'engage par tradition famillale est :

 $p_C(T)=\dfrac{105}{660}\approx\np{0.159}$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\vfill
%\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1\\ 
À remettre avec la copie.}


\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{Exercice 2} \end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.45cm,yunit=0.18cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(26,47.5) 
\multido{\n=0.0+0.5}{53}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,47.5)}
\multido{\n=0.00+1.25}{39}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(26,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(26,47.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5](0,0)(26,47.5)
\rput(19,-4){Nombre de mois écoulés depuis janvier 2011}
\rput{90}(-2,32.5){Pourcentage de personnes malades}
\psset{arrowscale=1.3}
\def\F{4 x mul 25 add x dup mul 0.2 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{17}{4 x mul 25 add x dup mul 0.2 mul sub} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{17}{25}{\F} 
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 10 def \F)(!10 /x 10 def \F)(10,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{->}(5,40)(5,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.25]{-}(0,40)(25,40)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{->}(15,40)(15,0)
\rput(5,-1.75){{\footnotesize\textcolor{green}{$5$}}}\rput(15,-1.75){{\footnotesize\textcolor{green}{$15$}}}
\rput(25,-1.75){{\footnotesize\textcolor{gray}{$25$}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}