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% Corrigé  Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre  2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 11 septembre 2013~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'enlève aucun point.}

\medskip

\emph{On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\medskip
 }
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~10]$ dont la représentation graphique $C_{f}$ est donnée dans le repère orthonormal ci-dessous. La droite (D) est tangente à la courbe au point A d'abscisse 5.

\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.725cm}
\begin{pspicture*}(-5.5,-3.5)(11.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5.5,-3.5)(11.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt](-6,-4)(12,8)
\psplot{2}{10}{11.5 1.5 x mul sub}
%\psplot[linecolor=red]{-5}{10}{0.25 x 4 exp mul x 3 exp 3 mul sub x dup mul add 48 x mul add 15.04 div 2 add}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,3)(-4,1.6)(-3,0)(-2,-1)(-1,0)(0,2)(1,4)(2,5.4)(3,6)(4,5.4)(5,4)(6,2.6)(7,1.45)(8,1)(9,1.75)(10,3)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](5,4){A}\uput[dl](-4.5,2.4){$C_{f}$} 
\end{pspicture*}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \geqslant 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{[0~;~10]}&\ovalbox{\textbf{b.~~}  $[-5~;~-3] \cup [-1~;~10]$}& 
\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[-2~;~3] \cup [8~;~10]$}.
\end{tabularx}

{\emph{\footnotesize La courbe doit se situer dans le demi-plan des $y\geqslant 0$}}

\medskip
 
\item L'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = 0$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\{2\}$}&\ovalbox{\textbf{b.~~} $\{-3~;~- 1\}$}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{  $\{-2~;~3~;~8\}$}. 
\end{tabularx}

{\emph{\footnotesize Nous lisons l'abscisse des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.}}

\medskip

\item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x = 5$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 5}&\ovalbox{\textbf{b.~~} $- \dfrac{3}{2}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 2$}
\end{tabularx}

{\emph{\footnotesize Nous lisons le coefficient directeur de la droite (D).}}

\medskip

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \np{2500} \times 0,7^x$.
 
\begin{enumerate}
\item L'image, arrondie à l'unité, de 5 par la fonction $g$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} \ovalbox{420}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{8750}}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{7500}}.
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Les solutions de l'inéquation $g(x) < 100$ sont les nombres réels $x$ tels que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} \ovalbox{$x > \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $x < \dfrac{\log (0,04)}{\log (0,7)}$}&\textbf{c.~~} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$x < \dfrac{\log (0,7)}{\log (0,04)}$}
\end{tabularx}

{\emph{\footnotesize  $\log (\np{0.7}) < 0$}}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 {\small
Le service de l'eau d'une ville a été privatisé en 1990, puis géré par la commune à partir de 1996. 

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution du prix de l'eau de cette ville, en euros pour $120$~m$^3$, entre les années 1990 et 1996.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|m{4.65cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline 
1 &Année &1990 &1991 &1992 &1993 &1994 &1995 &1996\\ \hline 
2 &Prix de $120$~m$^3$ d'eau (en euros) &185 &177 &189 &208 &216 &222 &228\\ \hline 
3&Taux d'évolution entre deux années consécutives (en \,\%)&\cellcolor[gray]{0.85}&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center} 
}
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre 1990 et 1991.

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.
		  $t=\dfrac{177-185}{185}\approx -\np{0.043243}$

Le taux d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre 1990 et 1991 est , à un dixième de pourcent près, de $-\np{4.3}\,\%$.
 
%\emph{On donnera le résultat sous forme de pourcentage arrondi à} 0,1\,\%. 
\item Une formule qu'on peut entrer dans la cellule D3, qui recopiée vers la droite, donne le pourcentage d'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau entre deux années consécutives est :

=(D\$2$-$C\$2)/C\$2 ou =(D2$-$C2)/C2
 
%(\emph{On admet que les cellules} C3 \emph{à} H3 \emph{sont en pourcentage}).

\medskip
 
On admet que, si le service de l'eau était resté privatisé, le prix de $120$~m$^3$ aurait augmenté de $2,5$\,\% par an à partir de l'année 1996.

\medskip
 
On note alors $u_{n}$ le prix de $120$~m$^3$ d'eau pour l'année $(1996 + n)$ où $n$ est un entier naturel. On a alors $u_{0} = 228$.
 
\item  À un taux d'évolution de \np{2,5}~\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.025}. Chaque année, le prix précédent  est multiplié par \np{1,025},  la suite $\left(u_{n}\right)$ est, par définition, une suite géométrique de raison \np{1,025} et de premier terme $u_{0} = 228$. 
\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. $u_{n}= 228\times(\np{1,025})^n$.
\item  Le prix de $120$~m$^3$ d'eau en 2012 si le service était resté privatisé  aurait été de $428$ euros ; 

en effet pour 2012, $n = 16 \quad u_{16}= 228\times(\np{1,025})^{16}\approx \np{338,467} \approx 338$
%(\emph{Le résultat sera arrondi à l'unité}). 
\item Déterminons à partir de quelle année, le prix de $120$~m$^3$ d'eau aurait dépassé $300$\,\euro{}. 

Pour ce faire, résolvons $228\times(\np{1,025})^n \geqslant 300$.

$228\times(\np{1,025})^n \geqslant 300 \hfill (\np{1,025})^n \geqslant \dfrac{300}{228} \hfill n \log \np{1,025}\geqslant \log \dfrac{300}{228} \hfill n\geqslant \dfrac{\log\frac{300}{228}}{\log \np{1,025}}\hfill n\geqslant \np{11,114}$.

Par conséquent $n=12$ nous aurons donc à partir de 2008, le prix de $120$~m$^3$ d'eau supérieur à $300$\,\euro{}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La ville gère le service de l'eau depuis 1996. Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix de $120$~m$^3$ d'eau depuis 1998.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008 &2010 &2012\\ \hline 
Rang de l'année $x_{i}$&0 &2 &4 &6 &8 &10 &12 &14\\ \hline  
Prix de $120$~m$^3$ d'eau en euros $y_{i}$&191 &202 &198 &202 &204 &208 &215 &220\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie,
 Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est  représenté dans un repère orthogonal :% d'unités graphiques :


\psset{xunit=0.8cm, yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-1)(15.79,38)
\psaxes[Ox=0,Oy=190,Dx=2,Dy=2]{->}(15,35)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,34)}
\multido{\n=0+2}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,1)(2,12)(4,8)(6,12)(8,14)(10,18)(12,25)(14,30)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{14.5}{x 1.8  mul 2.4 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](7,15)
\uput[u](7,15){G}\rput (14.1,25.8){$(\Delta)$}
\rput(0.7,36.8){\footnotesize prix de $120$~m$^3$ }
\rput(0.7,35.6){\footnotesize d'eau en euros }
\rput(15,1.4){\footnotesize rang de }%l'année}
\rput(15,0.6){\footnotesize  l'année}
\end{pspicture}

\medskip
% \setlength\parindent{7mm}
% \begin{itemize}
% \item 1~cm pour 1 rang d'année sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$.
% \item 1~cm pour 4~\euro{} sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à 190.
% \end{itemize}
% \setlength\parindent{0mm}

\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)

\[
\overline{x}_G=\frac{0+2+\dots+12+14}{8}=7 \quad \overline{y}_G=\frac{191+202+\dots+215+220}{8}=205\]

G $\left( 7~;~205 \right)$ est placé  sur le graphique précédent.

\item On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 1,8x + 192,4$ réalise un ajustement affine du nuage de points. Cet ajustement est fiable jusqu'en 
2020. 
	\begin{enumerate}
		\item Le point moyen G appartient à la droite $(\Delta)$ car l'ordonnée du point d'abscisse 7 appartenant à $\Delta$ est 

$\np{1.8}\times 7+\np{192.4}=205$ qui est bien celle du point G.
		\item  La droite $(\Delta)$ est tracée dans le repère précédent. 
		\item En tenant compte de cet ajustement affine, déterminons le prix de $120$~m$^3$ d'eau que l'on peut prévoir pour l'année 2020. Le rang de l'année 2020 est 22.
 Remplaçons $x$ par 22, dans l'équation de la droite.
 
$y=\np{1.8}\times 22 +\np{192.4}=232$. 
		
		Selon ce modèle, le prix de $120$~m$^3$ d'eau en 2020 serait de  232 euros.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip 

Une enquête a été menée auprès de \np{1 700} habitants de diverses régions françaises consommant de l'eau du robinet ou de l'eau en bouteille. Les résultats de l'enquête sont répartis par région dans le tableau ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}& Nombre de personnes consommant de l'eau du robinet&Nombre de personnes consommant de l'eau en bouteille&TOTAL\\ \hline
Nombre de personnes habitant en région parisienne&557&274 &831\\ \hline
Nombre de personnes habitant en région nord&224 &243 &467\\ \hline  
Nombre de personnes habitant en région  sud-ouest &309 &93& 402\\ \hline 
TOTAL &\np{1090} &610 &\np{1700}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 


 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{7mm} 
\begin{description}
\item[ ] $N$ : \og La personne interrogée habite dans la région nord. \fg 
\item[ ] $R$ : \og La personne interrogée consomme de l'eau du robinet. \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondie au centième.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une personne parmi toutes les personnes interrogées.

L'univers  est l'ensemble des personnes interrogées. Le nombre d'éléments de cet ensemble est \np{1700}. Sur cet ensemble la loi mise est la loi équirépartie. 

La probabilité d'un évènement $A$ est $p(A)=\frac{\text{\footnotesize nombre d'éléments de A}}{\text{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}$

	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité de l'évènement $R$. Il y a \np{1090} personnes consommant de l'eau du robinet. 

$p(R) = \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}}\approx \np{0,641} \approx 0,64$ au centième près. 
		\item L'évènement $\overline{R}$ est l'évènement : \og La personne interrogée  ne consomme pas de l'eau du robinet \fg.  Calculons sa probabilité. 
		
$p\left(\overline{R}\right) = 1 - p(R) = 1- \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}}=\dfrac{\np{610}}{\np{1700}} \approx 0,358 \approx 0,36$ au centième près.
		\item  L'évènement $N \cap R$ est l'évènement : \og La personne interrogée habite dans la région nord et consomme de l'eau du robinet. \fg
		
 Il y a $224$ personnes habitant le nord et qui consomme de l'eau du robinet. $p(N\cap R) = \dfrac{224}{\np{1700}}\approx \np{0.13}$.

		\item  L'évènement $N \cup R$ est l'évènement : \og La personne interrogée habite dans la région nord ou consomme de l'eau du robinet. \fg

$p(N\cup R) = p(R)+p(N)-p(N \cap R)$. Calculons d'abord $p(N)$. 

Il y a $467$ personnes habitant la région nord donc $p(N) = \dfrac{467}{\np{1700}}$.

$p(N\cup R) = \dfrac{\np{1090}}{\np{1700}} + \dfrac{467}{\np{1700}} - \dfrac{224}{\np{1700}} = \dfrac{\np{1090} + 467 - 224}{\np{1700}} = \dfrac{\np{1333}}{\np{1700}} \approx 0,784 \approx 0,78$ au centième près.
	\end{enumerate} 
\item On veut comparer le type de consommation d'eau suivant les régions : 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet sachant qu'elle habite la région nord est notée $p_{N}(R)$. Elle est égale à $\dfrac{224}{467} \approx 0,479 \approx 0,48$ (valeurs lues dans le tableau).
		
Autre méthode : on sait que $p_{N}(R) = \dfrac{p(N\cap R)}{p(N)} = \dfrac{\frac{224}{\np{1700}}}{\frac{467}{\np{1700}}} = \dfrac{224}{467} \approx \np{0,48}$.
		
		\item Dans quelle région faudrait-il se placer pour que la probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet soit la plus élevée ?
		
		Pour répondre à cette question, calculons la probabilité qu'une personne interrogée consomme de l'eau du robinet 
\begin{description}
\item[\textbullet] sachant qu'elle habite la région parisienne : $\dfrac{557}{831}\approx \np{0,67}$;
\item[\textbullet] sachant qu'elle habite en région sud-ouest : $\dfrac{309}{402}\approx \np{0,77}$.
		\end{description}

Il faut donc se placer dans la région sud-ouest.		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}