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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole  septembre 2010 \decofourright}}

\bigskip

\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip
 
%Deux pays, A et B, décident d'accentuer leurs efforts de réduction des émissions de gaz à effet de serre qu'on notera désormais GES.
% 
%À partir de l'année 2009 et jusqu'en 2014, le pays A s'engage à réduire ses émissions de GES de 10\,\% par an, et le pays B s'engage à les réduire de 20~millions de tonnes--équivalent CO2 par an.
%
%\medskip
% 
%La feuille de calculs suivante donne les émissions de GES (en millions de tonnes - équivalent CO2) pour les deux pays en 1990 et en 2009. 
%
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|p{2.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A& B& C& D& E& F& G& H& I\\ \hline 
%1&&&&&&&&&\\ \hline  
%2&&&&&&&&&\\ \hline  
%3& pays A&&&&&&&&\\ \hline  
%4&& année &1990 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014\\ \hline 
%5&& émission de GES& 513 &612 &&&&&\\ \hline
%6&&&&&&&&&\\ \hline 
%7&&&&&&&&&\\ \hline 
%8 &pays B&&&&&&&&\\ \hline 
%9&& année& 1990&2009&2010&2011&2012&2013&2014\\ \hline 
%10&&émission de GES &572 &598&&&&&\\ \hline 
%11&&&&&&&&&\\ \hline 
%12&&&&&&&&&\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer à 0,1\,\% près, pour chacun des deux pays A et B, le pourcentage d'augmentation des émissions de GES entre 1990 et 2009.
Pour A : $\dfrac{612 - 513}{513} \approx 19,3$~\,\%.

Pour B : $\dfrac{598 - 572}{572} \approx 4,5$~\,\%. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule doit-on entrer dans la cellule E5 et recopier vers la droite pour obtenir les émissions de GES conformes à l'objectif du pays A (réduction de 10\,\% par an)?
Formule : \fbox{~=D5*0,90~} 
		\item ~%\textbf{Recopier} et compléter le tableau pour le pays A en arrondissant les émissions de GES à un million de tonnes près.
		
		\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}p{1.9cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		& B				&C		&D		&E		&F		&G		&H		&I\\ \hline 
1	&		&				&		&		&		&		&		&		&\\ \hline  
2	&		&				&		&		&		&		&		&		&\\ \hline  
3	&pays A	&				&		&		&		&		&		&		&\\ \hline  
4	&		&année 			&1990 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014\\ \hline 
5	&		&émission de GES&513 	&612 	&551	&496	&446	&402	&361\\ \hline

\end{tabularx}

\medskip		
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule doit-on entrer dans la cellule E10 et recopier vers la droite pour obtenir les émissions de GES conformes à l'objectif du pays B (réduction de 20 millions de tonnes par an) ? 
Formule : \fbox{~=D10-20~}
		\item \textbf{Recopier} et compléter le tableau pour le pays B.
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|p{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A							& B		&C		&D		&E		&F		&G		&H	&I\\ \hline 
8 	&\footnotesize pays B		&		&		&		&		&		&		&	&\\ \hline 
9	&	&\footnotesize année	&1990	&2009	&2010	&2011	&2012	&2013	&2014\\ \hline 
10	&	&\footnotesize 
émission de GES 				&572 	&598	&578	&558	&538	&518	&498\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip		

	\end{enumerate} 
\item %Si les deux pays atteignent leurs objectifs, à partir de quelle année les émissions de GES du pays A seront-elles inférieures à celles du pays B ? 
En comparant les deux tableaux on constate qu'en 2010 les émissions de GES du pays A seront inférieures à celles du pays B. (551 contre 578)
\item %Le protocole de Kyoto impose aux pays d'obtenir en 2012 des émissions de gaz à effet de serre de 8\,\% inférieures à celles qu'ils avaient émises en 1990. Les pays A et B, s'ils atteignent les objectifs qu'ils se sont fixés, répondront-ils aux attentes du protocole de Kyoto ? Justifier la réponse.
Pour respecter Kyoto, le pays A devra produire $513 - \dfrac{8}{100}\times 513 = 513 \times \dfrac{92}{100} = 471,96 \approx 472$, alors qu'il prévoit d'en produire 446. Il  respectera  Kyoto.

Pour respecter Kyoto, le pays B devra produire $572 - \dfrac{8}{100}\times 572 = 572 \times \dfrac{92}{100} = 526,24 \approx 526$, alors qu'il prévoit d'en produire 538. Il ne  respectera pas Kyoto.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne les chiffres d'affaires trimestriels en milliers d'euros d'un fabriquant de vêtements et accessoires de protection dans le secteur de la santé pour les années 2007 et 2008 (on rappelle qu'une année civile compte 4 trimestres) 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-9}
%\multicolumn{1}{p{4cm}|}{}&\multicolumn{4}{c|}{2007}&\multicolumn{4}{c|}{2008}\\ \hline
%Rang du trimestre $x_{i}$&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline 
%Chiffre d'affaires $y_{i}$ (en milliers d'euros)& 330 & 325 & 305 & 290 
%&282 & 285 & 260 & 238\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Par exemple, au troisième trimestre 2007, le chiffre d'affaires était de \np{305000}~\euro{} alors qu'au premier trimestre 2008, il était de \np{282000}~\euro{}.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Sur le papier millimétré, construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. On prendra comme échelle 1~cm par trimestre sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 10~milliers d'euros sur l'axe des ordonnées, en commençant à graduer à $200$.
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,300)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,240)}
\multido{\n=0+10}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=40,Oy=200]{->}(0,0)(8,260)
\psdots(1,130)(2,125)(3,105)(4,90)(5,82)(6,85)(7,60)(8,38)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{8}{144 12 x mul sub}
\uput[d](8,0){trimestre $x$}\uput[r](0,260){Chiffre d'affaires $y$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Ajustement affine : On suppose que le nuage de points peut être ajusté par la droite $(d)$ d'équation $y = -12x + 344$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la droite $(d)$ sur le graphique.
Voir plus haut. 
		\item %En utilisant cet ajustement, quel chiffre d'affaires pouvait-on prévoir pour le troisième trimestre de l'année 2009 ?
Le troisième trimestre de l'année 2009 correspond \`a $x = 11$, d'où 

$y = - 12 \times 11 + 344 = 344 - 132 = 212$ (soit \np{212000}~\euro).		
	\end{enumerate} 
\item %En réalité, du fait de la propagation du virus H1N1, la très forte demande de masques de protection a fortement modifié l'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise à partir de 2009.
 
%On considère que, pour tout trimestre de rang supérieur ou égal à 9, le chiffre d'affaires en milliers d'euros pour ce trimestre est donné par la fonction $C$ définie sur $[9~;~+\infty[$ par : 

%\[C(x) = 0,8x^2 - 14,4x + 289,8.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $C(9)$, et en déduire le chiffre d'affaires que l'entreprise a réalisé au premier trimestre 2009.
$C(9) = 0,8 \times 9^2 - 14,4 \times 9 + 289,8 = 225$, soit \np{225000}~\euro. 
		\item %Calculer $C'(x)$, où $C'$ est la fonction dérivée de $C$ sur l'intervalle $[9~;~+\infty[$.
$C'(x) = 2 \times 0,8 x - 14,4 = 1,6x - 14,4.$ 
		\item %Déduire de la question précédente le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle $[9~;~+\infty[$. Que peut-on en conclure en ce qui concerne le chiffre d'affaires de l'entreprise ?
On a $C'(x) > 0$ si $1,6x - 14,4 > 0$ ou $1,6x > 14,4$ ou $ x > 9$.

Donc sur l'intervalle $]9~;~+\infty[$, la dérivée est positive, donc la fonction est croissante.

Le chiffre d'affaires du fabriquant augmentera chaque année.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%\medskip
 
%Si l'évolution du chiffre d'affaires se poursuit comme décrit à la question précédente, en quelle année et à partir de quel trimestre peut-on prévoir un chiffre d'affaires de l'entreprise supérieur à celui du premier trimestre 2007 ? 
Il faut trouver une valeur de $x$ supérieure \`a 9, telle que :

$C(x) > 330$, soit $0,8x^2 - 14,4x + 289,8 > 330$ ; la calculatrice donne $C(21) \approx 340$.

Conclusion : le chiffre d'affaires de l'entreprise sera supérieur à celui du premier trimestre 2007 au premier trimestre 2011.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\bigskip
% 
% L'indice de masse corporelle d'un individu (IMC) s'obtient par la formule :
% 
%\[\text{IMC} = \dfrac{m}{t^2}\]
%
%où $m$ est la masse de l'individu en kilogrammes et $t$ sa taille en mètres. 
%
%On dit qu'une personne souffre d'obésité lorsque son indice de masse corporelle est supérieur ou égal à 30.
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer (à $10^{-1}$ près) l'indice de masse corporelle d'un individu mesurant 1,75~m et pesant 72~kg.
$\text{IMC} = \dfrac{72}{1,75^2} \approx 23,5$.
%Cet individu sera-t-il considéré comme obèse ? 
Cet individu ne sera pas considéré comme obèse.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Un individu pèse 90~kg. Sachant qu'il est atteint d'obésité, que peut-on en déduire en ce qui concerne sa taille ?
On a donc $\text{IMC} \geqslant 30$ soit $\dfrac{90}{t^2} \geqslant 30$ soit en simplifiant par 30 : $\dfrac{3}{t^2} \geqslant 1$ ou $3 \geqslant t^2$ et enfin $t \leqslant \sqrt{3}$.

On peut conclure que sa taille est au maximum de 1,73~m.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
 
% Une étude statistique a porté sur \np{1250}~personnes âgées de 18 à 65 ans. On a dénombré combien d'entre elles souffraient d'obésité et combien étaient atteintes d'une maladie cardio-vasculaire. On a obtenu les résultats suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 150 d'entre elles souffrent d'obésité, 
%\item Parmi ces 150 personnes souffrant d'obésité, 27 sont atteintes d'une maladie cardiovasculaire, 
%\item Parmi les personnes ne souffrant pas d'obésité, 7\,\% sont atteintes d'une maladie cardiovasculaire.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%On interroge une personne prise au hasard parmi les \np{1250} sur lesquelles a porté l'étude.
%
%On note O l'évènement : \og la personne interrogée souffre d'obésité \fg{} et C l'évènement : \og la personne interrogée est atteinte d'une maladie cardio-vasculaire \fg.
% 
%On rappelle les notations usuelles : A et B étant deux évènements non vides, on note
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A. 
%\item[] $p$(A) la probabilité d'un évènement A. 
%\item[] $p_{\text{B}}(\text{A})$ la probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour cette partie, les probabilités seront données sous forme décimale.}
%
%\medskip
\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item~ 

\parbox{0.45\linewidth}{Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$O$~}\taput{0,12}}
	{\TR{$C$}\taput{0,18}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,82}
	}
\pstree{\TR{$\overline{O}$~}\tbput{0,88}}
	{\TR{C}\taput{0,07}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,93}
	}
}}

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner $p$(O) et $p_{\text{O}}$(C).
On a $p(O) = \dfrac{150}{\np{1250}} = 0,12$.

Sur les 150 personnes obèses 27 ont une maladie cardiovasculaire, donc 
$p_{O}(C) = \dfrac{27}{150} = 0,18.$
		\item %Calculer $p(\text{O} \cap \text{C})$.
$p(O \cap C) = p(O) \times p_{O}(C) = 0,12 \times 0,18 = \np{0,0216}.$
		\item %Calculer la probabilité que la personne interrogée soit atteinte d'une maladie cardiovasculaire sans souffrir d'obésité.
On suit la troisième branche, d'où une probabilité de $0,88 \times 0,07 = \np{0,0616}$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la personne interrogée soit atteinte d'une maladie cardiovasculaire.
27 personnes obèses ont une maladie cardiovasculaire.

Sur les \np{1100} personnes non obèses 7\,\% ont une  maladie cardiovasculaire soit $\np{1100} \times 0,07 = 77$.

Il y a donc en tout : $27 + 77 = 104$ personnes qui souffrent d'une maladie cardiovasculaire, soit une probabilité de $p(\text{C}) = \dfrac{104}{\np{1250}} = \np{0,0832}$.

%$0,12 \times 0,82 + 0,88 \times 0,07 = 0,16$. 
\item %Sachant que la personne interrogée est atteinte d'une maladie cardio-vasculaire, quelle est la probabilité qu'elle souffre d'obésité ? Donner un arrondi à $10^{-4}$ près.
La probabilité que la personne interrogée étant atteinte d'une maladie cardio-vasculaire souffre d'obésité est  $p_{\text{C}}(O)$.

On a $p_{\text{C}}(O) = \dfrac{p(C \cap \text{O})}{p(C)} = \dfrac{\np{0,0216}}{\np{0,0832}} \approx \np{0,2596}$.
%D'après la question précédente il y a 104  personnes atteintes d'une maladie cardio-vasculaire. Sur ces 104 personnes 27 sont obèses soit une probabilité de $\dfrac{27}{104} \approx \np{0,2596}$.
\end{enumerate}
\end{document}