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%tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement communiqué par Roland Thiers 
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\[4pt]novembre 2010}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

%Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées, une seule de ces affumations est exacte. Noter, sur la copie, le numéro de la question et la lettre associée à la bonne réponse.
%
%\medskip
%
%\emph{Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
% 
%Chaque bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse n'enlève aucun point.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le nombre d'allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans, est passé de 150000 en 1995 à 262500 en 2005.
 
%Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d'environ : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\textbf{a.~~} 42,9\,\%& 
%\textbf{b.~~} 112,5\,\%& 
%\textbf{c.~~} 75\,\%& 
%\textbf{d.~~} 57,1\,\%.\\
%\end{tabularx}
L'augmentation est de $\dfrac{\np{262500} - \np{150000}}{\np{150000}} \times 100 = \dfrac{\np{112500}}{\np{150000}}\times 100 = 75$~\,\%.
\medskip
 
\item %Un médicament a subi deux baisses successives: la première de 6,7\,\% et la deuxième de 4,1\,\%. 
%Le taux global de baisse est d'environ (à 0,1\,\% près) :
Baisser de 6,7\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,067 = 0,933$, puis baisser  de 4,1\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,041 = 0,959$.

Le prix initial a donc été multiplié par $0,933 \times 0,959 \approx 0,895$ ce qui correspond à une baisse de $1 - 0,895 = 0,105$, soit environ 10,5\,\%.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
%\textbf{a.~~} 10,8\,\%& 
%\textbf{b.~~} 11,1\,\%& 
%\textbf{c.~~} 2,2\,\%& 
%\textbf{d.~~} 10,5\,\%.\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item %$\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = 120$ et de raison $0,75$.
 
%$u_{10}$ est alors égal à (à 0,01 près): 
On a $u_{n} = u_{0}\times q^n = 120 \times 0,75^n$.

Donc $u_{10} = 120 \times 0,75^{10} \approx 6,76$.
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\textbf{a.~~} 6,76& 
%\textbf{b.~~} 127,5& 
%\textbf{c.~~} 112,5& 
%\textbf{d.~~} 9,01.\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\item %On décide d'utiliser une feuille de calcul pour déterminer les autres termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie à la question 3 ci-dessus. 

%

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
%1&$n$&0&1&2&&&&&\\ \hline
%2&$u_{n}$&120&&&&&&&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%Quelle formule doit-on entrer en C2 et recopier vers la droite ?
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
%\textbf{a.~~} =\$B2*0,75& 
%\textbf{b.~~} =B2*0,75\verb+^+C1&    
%\textbf{c.~~} =\$B2*0,75\$C1&
%\textbf{d.~~} =B2*0,75.\\
%\end{tabularx}
Formule : \fbox{~B2*0,75~}
\medskip

\item  %On considère la série statistique suivante, à deux variables:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$x_{i}$&2&5&8&10,5&14\\ \hline
%$y_{i}$&8&6&3&1&$-2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Les coordonnées du point moyen G du nuage associé à cette série sont :
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
%\textbf{a.~~} (39,5; 16)& 
%\textbf{b.~~} (7,9; 3,2)& 
%\textbf{c.~~} (7,9; 4)& 
%\textbf{d.~~} (3,2; 7,9).\\
%\end{tabularx}
Réponse b : (7,9~;~3,2)
\medskip
 
\item  %On considère deux évènements A et B dont les probabilités $P$(A) et $P$(B) vérifient :
 
%\[P(\text{A}) = 0,3 \qquad	P(\text{B}) = 0,55 \qquad 	P(\text{A} \cup \text{B}) = 0,73.\]
 
%Alors $P(\text{A} \cap \text{B})$ est égale à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
%\textbf{a.~~}  0,165& 	\textbf{b.~~} 0,85&\textbf{c.~~} 0,12&\textbf{d.~~} 0,27.
%\\
%\end{tabularx}
On a $P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B})$, donc $P(\text{A} \cap \text{B}) =   P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cup \text{B}) =  0,3 + 0,55 - 0,73 =  0,85 - 0,73 = 0,12$.
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

%Avant de lancer une nouvelle campagne de sensibilisation, une association humanitaire a étudié comment se sont répartis, en fonction de leur âge, les 400 donneurs de la campagne précédente, ceuxci étant soit des donneurs occasionnels, soit des donneurs réguliers.
%
%\bigskip
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item On compte 70\,\% de donneurs occasionnels. 
%\item Parmi les donneurs occasionnels, 30\,\% ont entre 20 et 34 ans. 
%\item Un tiers des donneurs réguliers a entre 35 et 60 ans. 
%\item Parmi les 198 donneurs âgés de plus de 60 ans, 26,3\,\% sont des donneurs réguliers.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau situé en \textbf{annexe}. On arrondira les résultats à l'entier le plus proche.
Voir à la fin. 
\item  %L'association a établi un fichier de ses donneurs.
 
%On prélève au hasard une de ces fiches.
% 
%On notera : 
%
%\begin{description}
%\item[ ] R l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur régulier \fg{} et $\overline{\text{R}}$ l'évènement contraire. 
%\item[ ] A l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur âgé de 20 à 34 ans \fg 
%\item[ ] B l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur âgé de 35 à 59 ans \fg 
%\item[ ] C l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un donneur âgé de plus de 60 ans\fg.
%\end{description} 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P$(B).
$P(\text{B}) = \dfrac{90}{400} = \dfrac{22,5}{100} = 0,225$. 
		\item %On choisit au hasard une fiche parmi celles de tous les donneurs. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse de la fiche d'un donneur régulier âgé de plus de 60 ans ?
La probabilité qu'il s'agisse de la fiche d'un donneur régulier âgé de plus de 60 ans est $\dfrac{52}{400} \dfrac{13}{100} = 0,13$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère $P_{\text{C}}\left(\overline{\text{R}}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer cette probabilité par une phrase.
$P_{\text{C}}\left(\overline{\text{R}}\right)$ est la probabilité de choisir la fiche d'un donneur occasionnel parmi les fiches des donneurs de plus de 60 ans. 
		\item %La calculer, au millième près.
$P_{\text{C}}\left(\overline{\text{R}}\right) = \dfrac{146}{198} = \dfrac{74}{99} \approx  0,747$. 
		\item %Les évènements C et R sont-ils indépendants ?
$p(\text{C} \cap \text{R}) = \dfrac{52}{400} = \dfrac{13}{100} = 0,13$.

$p(\text{C}) = \dfrac{280}{400} = \dfrac{70}{100} = 0,7$ et $p(\text{R}) = \dfrac{120}{400} = \dfrac{30}{100} = 0,3$.

Donc $p(\text{C}) \times p(\text{R}) = 0,7 \times 0,3 = 0,21 \neq p(\text{C} \cap \text{R})$.

Conclusion : les évènements C et R ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~30] par :
%
%\[f(t) = \np{2500} \times 0,95^t.\]
%
%\medskip 
 
\begin{enumerate}
\item %Préciser, en justifiant, le sens de variation de la fonction $f$ sur I.
La fonction $t \longmapsto  0,95^t$ est une fonction décroissante  sur I car $0,95 < 1$, donc $f$ est également décroissante  sur I.
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les valeurs à la dizaine près.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0			&5 			&10 		&15 		&20 	&25 	&30\\ \hline 
$f(t)$	&\np{2500}	&\np{1930}	&\np{1500}	&\np{1160}	&900	&690	&540\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
 \item  %Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques : 1~cm pour 2~unités en abscisse, et 1~cm pour 200~unités en ordonnée.
\end{enumerate}
\medskip
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.004cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(30,2600)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2600)}
\multido{\n=0+100}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(0,0)(30,2600)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=200,labels=none](0,0)(30,2600)
\uput[u](30,0){$t$}\uput[r](0,2600){$f(t)$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{30}{2500 0.95 x exp mul}

\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,1250)(13.51,1250)(13.51,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : application}

\medskip

%En médecine nucléaire, l'iode 123 est utilisé pour effectuer des \og scintigraphies \fg{} permettant d'observer le fonctionnement de la thyroïde et la présence d'éventuelles anomalies.
 
%Pour cela, on injecte, au temps $t = 0$, un échantillon d'iode 123 dans le corps du patient.
 
%On admet que la fonction $f$, définie et étudiée dans la \textbf{Partie A}, donne une bonne approximation de l'activité du radionucléide iode 123, en fonction du temps $t$ (exprimé en heures) écoulé après l'injection. 
%L'activité de l'iode 123 est exprimée en becquerels (Bq). 
\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur de l'activité initiale de l'iode 123 pour l'échantillon injecté au patient.
Au temps $t = 0$ l'activité de l'iode 123 est égale à $f(0) = \np{2500}$. 
\item  %Calculer l'activité de l'iode 123 au bout de 18~heures après l'injection.
On a $f(18) = \np{2500}\times 0,95^{18} \approx 993$~(Bq). 
%\emph{On donnera le résultat à $1$ Bq près.} 
\item  %La période, notée T, d'un radionucléide est le temps nécessaire au bout duquel son activité a diminué de moitié. 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant le graphique de la \textbf{Partie A}, donner une valeur approchée, à $0,1$ heure près, de la période T de l'iode 123.
Il faut trouver au bout de combien de temps l'activité est égale à   \np{1250}.

On trace la droite d'équation $y = \np{1250}$ qui coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près : 13,5~h soit 13 heures et demie.		 
%\emph{On laissera apparents les traits de construction utiles.} 
		\item  %Déterminer la période T de l'iode 123 par le calcul.
Il faut résoudre l'équation $f(t) = \np{1250}$ ou $\np{2500} \times 0,95^t = \np{1250}$ soit en siumplifiant par \np{1250}, $2 \times 0,95^t$ ou 	$0,95^t = 0,5$ soit par croissance de la fonction logarithme décimal  $t \log 0,95 = \log 0,5$ et enfin $t = \dfrac{\log 0,5}{\log 0,95} \approx 13,51$~(h) soit 13~h et $0,51 \times 60 =  30,6$ soit finalement 13~h 31~min.
%\emph{On donnera le résultat en heures et minutes.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Annexe \emph{à rendre avec la copie}}

\vspace{3cm}

\renewcommand\arraystretch{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Donneurs occasionnels& Donneurs réguliers& Total\\ \hline 
De 20 à 34 ans	&84	&28	&112\\ \hline
De 35 à 59 ans	&50	&40	&90\\ \hline
60 ans et plus	&146&52	&198\\ \hline  
Total			&280&120&400\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}