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%tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle--Calédonie ~\decofourright\\[5pt] novembre 2009}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

%D'après les sources du ministère de la Santé, voici l'évolution du nombre de lits destinés à l'accueil des adultes handicapés en foyers médicalisés, en France métropolitaine.
%


\begin{enumerate}
\item ~%Calculer le taux d'évolution du nombre de lits, d'une part entre 2005 et 2006, d'autre part entre 1999 et 2006. \emph{Les résultats seront donnés en pourcentage à $10^{-1}$ près}.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 \\ \hline% 
Rang de l'année $x_{i}$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 \\ \hline%  
Nombre de lits en milliers $y_{i}$& 6,1 &7,6 &7,8 &8,4 &9,2 &10,1 &10,5 &12,3\\ \hline%
Taux d'évolution en \,\%&$\times $&24,6&2,6&7,7&9,5&9,8&4,0&17,1\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip  
\item %Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right)$, dans un repère orthogonal.
Voir à la fin 
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] Unité sur l'axe des abscisses : 1 cm pour une année. 
%\item[] Unité sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour un millier de lits.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
G(4.5,9) 
		\item  %Placer G dans le repère.
Voir la figure.
	\end{enumerate} 
\item %On considère que la droite $\mathcal{D}$, d'équation $y = 0,8x + 5,4$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points jusqu'en 2006 et que l'évolution restera la même jusqu'en 2020.
 
%Montrer que G appartient à $\mathcal{D}$, puis tracer $\mathcal{D}$ dans le repère.
G$(4.5,9) \in  \mathcal{D}$ si $9 = 0,8 \times 4,5 + 5,4$ soit $9 = 3,6 + 5,4$ égalité qui est vraie. Donc G appartient à la droite $\mathcal{D}$. Tracé sur la figure.
\item %Déterminer graphiquement, en laissant apparents les traits de construction, une estimation du nombre de lits dont on disposerait en 2010, en France métropolitaine, pour accueillir les adultes handicapés en foyers médicalisés.
On trace la droite d'équation $x = 12$ (qui correspond à l'année 2010) droite qui coupe la droite  $\mathcal{D}$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées.

On lit à peu près 15, soit \np{15000}~lits.
\item %Déterminer par le calcul en quelle année, selon ce modèle, on pourrait atteindre une capacité d'accueil de \nombre{20000}~lits.
Il faut résoudre l'équation $0,8x + 5,4 = 20$ soit $0,8x = 14,6$ ou $x = \dfrac{14,6}{0,8} = 18,25$. Il faut prendre $x = 19$ soit attendre 2017. 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\begin{pspicture}(19,20)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=1998]{->}(0,0)(19,20)
\multido{\n=0+1}{19}{\uput[d](\n,-0.75){\n}}\uput[d](19,-0.75){$x$}
\uput[u](19,0){Année}\uput[r](0,20){Nombre de lits en milliers}
\psdots[linecolor=red](1,6.1)(2,7.6)(3,7.8)(4,8.4)(5,9.2)(6,10.1)(7,10.5)(8,12.3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](4.5,9) \uput[dr](4.5,9){G}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{0.8 x mul 5.4 add}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(12,0)(12,15)(0,15)
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

%Lors d'une épidémie, une étude médicale a fourni les indications suivantes :
%
%\medskip
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] lors de chaque consultation, un médecin prescrit un traitement qui débute le jour même ; 
%\item[$\bullet~$] on observe que 40\:\% des malades ont consulté un médecin le jour de l'apparition des symptômes; parmi ceux-ci, 95\:\% ont été guéris dans la semaine qui a suivi cette apparition; 
%\item[$\bullet~$] par ailleurs, 30\:\% des malades ont consulté un médecin le lendemain de l'apparition dessymptômes; 60\:\% d'entre eux ont été guéris dans la semaine; 
%\item[$\bullet~$] les 30\:\% restant ont consulté un médecin au bout de deuxjours ; seuls 40\:\% d'entre eux ont été guéris dans la semaine suivant l'apparition des symptômes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Tous les malades ayant la même chance d'être interrogés, on en questionne un au hasard. On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A : \og Le malade a consulté le jour de l'apparition des symptômes \fg.
%\item B : \og Le malade a attendu un jour avant de consulter \fg.
%\item C : \og Le malade a attendu deuxjours avant de consulter \fg.
%\item G : \og Le malade a été guéri dans la semaine qui a suivi l'apparition des symptômes \fg.
%\item $\overline{\text{G}}$ : l'évènement contraire de G.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Traduire les données de l'énoncé par un arbre pondéré.

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A~}\taput{0,40}}
	  { 
		  \TR{G}\taput{0,95}
		  \TR{$\overline{\mathrm{G}}$}\tbput{0,05}	   
	  }
	\pstree{\TR{B~}\tbput{0,30}}
	  {
		  \TR{G}\taput{0,60}
		  \TR{$\overline{\mathrm{G}}$}\tbput{0,40} 
	  }
	\pstree{\TR{C~}\tbput{0,30}}
	  {
		  \TR{G}\taput{0,40}
		   \TR{$\overline{\mathrm{G}}$}\tbput{0,60}
	  }	
}
\end{center} 
\item %Calculer la probabilité que le malade ait attendu 2~jours pour consulter un médecin et qu'il soit guéri dans la semaine.
En suivant la cinquième branche la probailité est égale à $0,30 \times 0,40 = 0,12$. 
\item %Calculer la probabilité que le malade ait consulté un médecin dès l'apparition des symptômes et qu'il ne soit pas guéri dans la semaine.
On suit la deuxième branche ; la probabilité est égale à $0,40 \times 0,05 = 0,02$. 
\item %Montrer que la probabilité que le malade soit guéri dans la semaine qui suit l'apparition des symptômes est égale à $0,68$.
Il faut ajouter les probabilités de toutes les branches montantes, soit :

$0,4 \times 0,95 + 0,3 \times 0,6 + 0,3 \times 0,4 = 0,38 + 0,18 + 0,12 = 0,68$. 
\item %Un malade n'a pas été guéri dans la semaine suivant l'apparition des symptômes. Quelle est la probabilité pour qu'il ait attendu exactement un jour avant de consulter un médecin ? 
D'après la question précédente la probabilité de ne pas \^etre guéri dans la semaine qui suit l'apparition des symptômes est égale à $1 - 0,68 = 0,32$.

La probabilité qu'il ait attendu un jour et qu'il n'ait pas été guéri dans la semaine suivant l'apparition des symptômes est égale à $0,30 \times 0,40 = 0,12$.

La probabilité demandée est donc égale à $\dfrac{0,12}{0,32} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8} = 0,375$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

%Un laboratoire pharmaceutique étudie l'effet d'une nouvelle molécule d'antibiotique sur un rat auquel on a injecté des bactéries.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%L'évolution du nombre de bactéries (en millions) présentes dans un échantillon de sang en fonction du temps $t$ (en jours), est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : 
%
%\[f(t) = t^3 + t^2 + 0,5.\]
% 
%La courbe $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est représentée dans l'annexe (à joindre à la copie).
%
%\medskip
% 
%La fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$, exprime la vitesse de prolifération des bactéries à un instant donné.
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer $f'(t)$.
$f$ est une fonction polyn\^ome dérivable pour tout réel ; en particulier sur [0~;~1] :

$f'(t) = 3t^2 + 2t$. 
\item  %Calculer  $f'(0,5)$ et l'interpréter en terme de vitesse de prolifération des bactéries.
$f'(0,5) = 3 \times 0,5^2 +  2 \times 0,5 = 0,75 + 1 = 1,75$.

Cela signifie qu'en milieu de journée (à midi) la vitesse de prolifération des bactéries est égale à 1,75. 
\end{enumerate} 
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \emph{Question de cours :}
 
%On appelle $g$ la fonction définie sur [1~;~10] par
% 
%\[g(t) = 0,8^t.\]
%
% Donner, en justifiant, les variations de $g$.
Comme $0,8 < 1$, la fonction $g$ est décroissante sur  [1~;~10].
\item  %Au bout d'une journée, on administre à l'animal sa première dose d'antibiotique.
 
%On estime que le nombre de bactéries (en millions) présentes dans un échantillon de sang, en fonction du temps (en jours), est donnée par la fonction $h$, définie sur [1~;~10] par :
 
%\[h(t) = 3\times(0,8)^t + 0,1\]
 
	\begin{enumerate}
		\item  %En admettant que $g$ et $h$ ont le même sens de variation, dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur [1~;~10].
		Comme $g$, la fonction $h$ est décroissante sur [1~;~10] de $h(1) = 3 \times 0,8 + 0,1 = 2,5$ à $h(10) = 3 \times 0,8^{10} + 0,1 \approx 0,42$. 
		\item  %Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats à $10^{-1}$ près.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps $t$ en jours &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 & 8& 9& 10 \\ \hline% 
\begin{tabular}{l l}
Nombre de bac-\\téries en millions\\ \end{tabular} &2,5  &2,02 &1,6 &1,3 &1,1 &0,9  &0,7 &0,6&0,5&0,4 \\ \hline%  
\end{tabularx}

\medskip 		  
		\item  %Construire, \emph{dans le repère donné en annexe}, la représentation graphique $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$.
Voir à la fin. 
		\item  %On considère que l'animal est en bonne voie de guérison quand la quantité de bactéries présentes dans l'échantillon devient inférieure à 1 million.
		 
%Au bout de combien de jours, après le début du traitement, peut-on considérer l'animal en voie de guérison ?
 
%\emph{Toute méthode présentée avec cohérence sera acceptée.}
On trace la drofite d'équation $y = 1$ qui coupe la courbe $\mathcal{C}_{h}$ en un point dont on trouve dl'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près : 5,4 soit 5 jours et $0,4 \times 24 \approx 10$~(h).

L'animal peut \^etre considéré comme en voie de guérison à partir de 5 jours et demi.

On peut également résoudre l'inéquation :

$h(t) \leqslant 1$ soit $3\times(0,8)^t + 0,1 \leqslant 1$ ou $3\times(0,8)^t \leqslant 0,9$ et en simplifiant par 3, $(0,8)^t \leqslant 0,3$, puis par croissance de la fonction logarithme décimal $t\log 0,8 \leqslant \log 0,3$ et enfin $t \geqslant \dfrac{\log 0,3}{\log 0,8}$ (car $\log 0,8 < 0$).

Or $\dfrac{\log 0,3}{\log 0,8} \approx 5,4$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie (exercice 3)}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.9cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(10.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(10.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(10.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.5,labels=none]{->}(0,0)(10.5,4)
\uput[d](10.4,0){$t$}
\uput[r](0,4.1){Nombre de bactéries en millions}
\uput[u](10,0){Temps en jours}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{1}{x dup mul x 1 add mul  0.5 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{1}{10}{3 0.8 x exp mul   0.1 add}\uput[u](9,0.5){\red $\mathcal{C}_{h}$}
\uput[r](0.75,1.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,1)(5.4,1)(5.4,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}