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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : Jean-Claude Souque
%sujet aimablement fourni par Yves IV
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small  Corrigé du baccalauréat   ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat  ST2S  Polynésie   11 juin 2015~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne le prix annuel moyen du paquet de
cigarettes (20 cigarettes) le plus vendu, en euros, entre 2000 et 2014.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\centering A 	&B 			&C 		&D 		&E 		&F 		&G 		&H 		&I\\ \hline
1	& Année			&2000 		&2002 	&2004 	&2006 	&2008 	&2010 	&2012 	&2014\\ \hline
2	& Rang de l'année : $x_i$&0 &2 		&4 		&6 		&8 		&10 	&12 	&14\\ \hline
3	&Prix annuel moyen de vente
 du paquet de cigarettes le plus
  vendu, en euros : $y_i$&3,20 	&3,60 	&5 		&5 		&5,30 	&5,65 	&6,30 	&6,70\\ \hline
4	&Taux d'évolution, en
 pourcentage, par rapport
  à l'année $n-2$		&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source : \emph{Observatoire français des drogues et des toxicomanies}}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un journaliste affirme que le prix entre 2000 et 2014 a augmenté de près de 50\,\%. 

Calculons le taux d'évolution du prix du paquet entre 2000 et 2014.

Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $t=\dfrac{\np{6.70}-\np{3.20}}{\np{3.20}}\approx \np{1.09375}$.

Le taux d'augmentation est d'environ  109\,\%, par conséquent l'affirmation est totalement fausse.

\item  La ligne 4 est au format pourcentage. Une formule que nous pouvons saisir dans la cellule C4 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 4 est : \hspace{1em} =(C\$3 $-$B\$3)/B\$3
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sur la feuille de papier millimétré fournie et à rendre avec la copie,
 Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le repère orthogonal ci-dessous. %en choisissant :
% \begin{description}		
% \item[--]\np[cm]{1} pour 2~années en abscisse ;		
% \item[--]\np[cm]{1} pour 1~euro en ordonnée.
% \end{description}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(0,-0.25)(17,7.5)
\multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,7)}
\multido{\n=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=2,Dy=1]{->}(0,0)(16.6,7)
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,3.2)(2,3.6)(4,5)(6,5)(8,5.3)(10,5.65)(12,6.3)(14,6.7)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{15}{x 0.24  mul 3.41 add }
\uput[d] (15,7){$D$}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](7,5.09)
\uput[ur](7,5.1){\textcolor{red}{$G$}}
\rput(0.3,7.2){\footnotesize prix annuel moyen (en \euro)}
\rput(15.1,0.3){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}


		\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$
 
\[\overline{x}_G=\frac{0+2+\dots+12+14}{8}=7 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{3.20}+\np{3.60}+\dots+\np{6.70}}{8}\approx \np{5.09}.\]
G $\left( 7~;~\np{5.09} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
%Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points, puis placer le point $G$ sur le graphique précédent. Arrondir les résultats à $0,01$ près.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $D$ d'équation $y = 0,24x + 3,41$ est un bon ajustement affine du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item Le point $G$ appartient à la droite $D$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 7  c'est-à-dire celle de $G$. 

$y=0,24\times 7+\np{3.41}=\np{5.09}$. Cette ordonnée étant celle de $G$ par conséquent $G$ appartient à $D$.
		\item La droite $D$ est tracée sur le graphique précédent en prenant les points de coordonnées (0~;~\np{3.4}) et (15~;~7).
		\item Selon cet ajustement, calculons quel sera le prix moyen annuel d'un paquet de cigarettes en France en 2020. En 2020 le rang de l'année est 20. En remplaçant $x$ par  20 dans l'équation de $D$, nous obtenons $y=\np{0.24}\times 20+\np{3.41}=\np{8.21}$.

  Le prix moyen annuel d'un paquet de cigarettes en France en 2020 serait, selon ce modèle, de \np{8.21}~\euro.
		\item À partir de quelle année celui-ci dépassera-t-il les 10~euros ? %Expliquer la démarche. 

Pour la déterminer, résolvons $\np{0.24}x+\np{3.41}>10$.
		
		$\np{0.24}x+\np{3.41}>10\quad \np{0.24}x>10-\np{3.41}\quad \np{0.24}x>\np{6.59} \quad x> \dfrac{\np{6.59}}{\np{0.24}}\quad x>\np{27.46}$
		
		À partir de 2028 le prix moyen annuel d'un paquet de cigarettes, selon ce modèle dépasserait les dix euros. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 31 décembre 2014, une clinique enregistre \np{1200}~accouchements.

Depuis quelques années, le nombre annuel d'accouchements a augmenté en moyenne de 3\,\% par an.

L'objectif du directeur de la clinique est d'atteindre les \np{8000}~accouchements réalisés dans la clinique d'ici fin 2020, en supposant que ce pourcentage d'augmentation moyen reste constant.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre annuel d'accouchements dans cette
clinique pour l'année $2014 + n$. 

Ainsi $u_0$ est le nombre d'accouchements durant l'année 2014, et
$u_0 = \np{1200}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre d'accouchements qui ont eu lieu dans cette clinique en 2015.

À une augmentation de 3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $(1+\frac{3}{100})$ c'est-à-dire de \np{1.03}. \hspace{1.5em} $\np{1200}\times \np{1.03}=\np{1236}$.

Le nombre d'accouchements qui ont eu lieu dans cette clinique en 2015 est \np{1236}.

\item  La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.03} et  de premier terme \np{1200}. En effet pour déterminer  le nombre d'accouchements l'année $n+1$, nous multiplions le nombre d'accouchements de l'année $n$ toujours par le même nombre  à savoir \np{1.03}. Nous obtenons donc $u_{n+1}=\np{1.03}u_n$ et $u_0=\np{1200}$.
% Justifier et donner ses éléments caractéristiques.
\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimons $u_n$ en fonction de $n$.

Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$u_{n}=\np{1200}\times(\np{1.03}^n)$.

\item  Déterminons le nombre d'accouchements qui auront lieu dans cette clinique en 2017 selon ce modèle.  En 2017 $n=3\quad u_3=\np{1200}\times \np{1.03}^3\approx \np{1311}$ .
%On arrondira le résultat à l'unité.

\item  On rappelle le résultat suivant :

Si $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q,\: q \ne 1$, alors :

\[u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminons le nombre total d'accouchements qui auront eu lieu dans cette clinique entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 31 décembre 2020. En 2020, $n=6$.

$u_0 + u_1 + u_2 + \dots + u_6 = \np{1200} \times \dfrac{1 - \np{1.03}^{7}}{1 - \np{1.03}}\approx \np{9195}$.

Entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 31 décembre 2020, le nombre total d'accouchements qui auront eu lieu dans cette clinique est d'environ \np{9195}.
% On arrondira le résultat à l'unité.
		\item Selon ce modèle, le directeur de la clinique peut espérer atteindre son objectif  puisque fin 2020 il l'aura dépassé de près de \np{1200}.%

{\footnotesize Nous pouvons même constater que sans aucune augmentation il aurait atteint son objectif puisque $\np{1200}\times 7=\np{8400}$.}
% ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
L'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) recommande un taux maximum de 15\,\% de
césariennes pour ce type de clinique. En France, pour ces mêmes cliniques, les experts estiment que le taux de césariennes est anormal s'il dépasse les 25\,\%.

\smallskip

Un journal régional a mené une enquête auprès d'un certain nombre de femmes ayant accouché
dans la clinique en 2014. L'objectif de cette étude était de déterminer si la clinique avait tendance à recourir trop fréquemment à une césarienne sans réelle justification médicale. Lors de cette enquête, le journaliste a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item 43\,\% des femmes interrogées sont des primipares (c'est-à-dire qu'il s'agit de leur premier enfant) et parmi elles, 23\,\% ont accouché par césarienne à la clinique.
\item 11\,\% des femmes interrogées sont des multipares (c'est-à-dire qu'elles ont déjà accouché
auparavant) ayant accouché par césarienne lors d'un accouchement précédent et parmi elles,
64\,\% ont accouché par césarienne à la clinique.
\item Les autres sont des multipares n'ayant jamais accouché par césarienne auparavant et parmi
elles, 8\,\% ont accouché par césarienne à la clinique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

On choisit au hasard une femme ayant participé à l'enquête.

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[ ]$A_0$ : \og la femme est une primipare\fg (c'est-à-dire qu'il s'agit de son premier enfant)  ;
\item[ ]$M_1$ : \og la femme est une multipare qui a déjà accouché par césarienne \fg ;
\item[ ]$M_2$ : \og la femme est une multipare qui n'a jamais accouché par césarienne auparavant\fg ;
\item[ ]$C$   : \og la femme a accouché par césarienne à la clinique \fg.
\end{description}

L'évènement contraire de l'évènement $C$ est noté $\overline{C}$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des données de l'énoncé, exprimons :
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité de l'évènement $M_1$ : $p\left(M_1\right)=\np{0.11}$  car 11\,\% des femmes interrogées sont des multipares ayant accouché par césarienne lors d'un accouchement précédent;
		\item La probabilité que la femme ait accouché par césarienne sachant qu'elle est une multipare qui a déjà accouché par césarienne: $p_{M_1}(C)= \np{0.64}$ car parmi elles,
64\,\% ont accouché par césarienne à la clinique.
 	\end{enumerate}
\item  Complétons l'arbre ci-dessous :
	
\begin{center}
\psset{labelsep=1pt,levelsep=2cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt}
\pstree[treemode=R]{\Tr{}}{
	\pstree{\TR{$A_0$~}\taput{0,43}}
		{\TR{$C$}\taput{0,23}
		\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.77}}
		}
	\pstree{\TR{$M_1$~}\taput{\np{0.11}}}
		{\TR{$C$}\taput{\np{0.64}}
		\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.36}}
		}
	\pstree{\TR{$M_2$~}\tbput{\np{0.46}}}
		{\TR{$C$}\taput{0,08}
		\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.92}}
		}
}
\end{center}

\medskip

\item   $A_0 \cap C$ est l'évènement : \og La femme est une primipare et a accouché par césarienne à la clinique\fg.  Calculons sa probabilité.

  $p\left(A_0 \cap C\right)=p(A_0)\times p_{A_0}(C)=\np{0.43}\times \np{0.23}=\np{0.0989}$.
\item Pour montrer que la probabilité qu'une femme accouche par césarienne dans cette clinique est égale à \np{0.2061}, 
calculons $p(C)$.

$p(C)=p\left(A_0 \cap C\right)+p\left(M_1 \cap C\right)+p\left(M_2 \cap C\right)=$

$ p(A_0)\times p_{A_0}(C)+ p(M_1)\times p_{M_1}(C)+p(M_2)\times p_{M_2}(C)$.

$p(C)=\np{0.0989}+\np{0.11}\times \np{0.64}+\np{0.46}\times \np{0.08}=\np{0.0989}+\np{0.0704}+\np{0.0368}=\np{0.2061}$
\item  La clinique étudiée respecte-t-elle les recommandations de l'OMS ? 

Non car la probabilité qu'une femme accouche par césarienne dans cette clinique est  supérieure à \np{0.15} ;

 Des experts français ?  oui car la probabilité qu'une femme accouche par césarienne dans cette clinique est inférieure à \np{0.25}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Bien qu'il soit fortement déconseillé de fumer pendant l'allaitement, certaines femmes continuent
de le faire. Il convient alors de respecter des mesures de précaution pour minimiser l'exposition de l'enfant à la nicotine.

On s'est intéressé à la concentration de nicotine dans le sang d'une patiente au cours du temps après qu'elle a fumé une cigarette. Elle ne fumera plus pendant toute la durée du test.

On note $f(t)$ la concentration de nicotine dans le sang de la patiente en nanogramme par millilitre(ng/ml) à l'instant $t$ (en heures). L'instant $t = 0$ correspond à l'instant où la concentration est maximale (pic sanguin atteint très rapidement).

On admet que 

\[f(t) = 25 \times 0,7^t,\quad  \text{pour }\: t \in [0~;~10].\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que sur l'intervalle [0~;~10] la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie par $g(t) = 0,7^t$.

Déterminons le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

Nous savons que si $0<a<1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction décroissante sur $\R$. Ici $a=\np{0.7}$,  c'est-à-dire un nombre strictement compris entre 0 et 1 par conséquent la fonction $f$ est une fonction décroissante sur [0~;~10].

\item Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2.6)
\psframe(8,2.5)
\psline(0,2)(8,2) \psline(1,0)(1,2.5) 
\uput[u](0.5,1.95){$t$}  \uput[u](1.35,1.95){$0$} \uput[u](7.75,1.95){$10$}
 \uput[ul](1.5,1.5){$25$}\uput[d](7.2,0.55){$\approx \np{0.706} $}
 \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\psline{->}(1.5,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}




\item La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan est donnée \textbf{en annexe} :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons graphiquement la concentration de nicotine dans le sang de la patiente au bout d'une heure et demie.

 Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1,5. Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons \np{14.6}.

La concentration de nicotine dans le sang de la patiente au bout d'une heure et demie est d'environ \np[ng/ml]{14.6}.
 %On laissera les traits de construction.
		\item Déterminons graphiquement au bout de combien de temps la concentration de nicotine dans le sang a quasiment disparu, c'est-à-dire quand elle devient inférieure ou égale à \np[ng/ml]{1}.

 Traçons la droite d'équation $y=1$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous obtenons environ 9. 

Par conséquent à partir d'environ 9 heures, la concentration de nicotine dans le sang a quasiment disparu.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons dans l'intervalle [0~;~10] l'inéquation : $f(t) \leqslant 12,5$.
		
	$25\times(\np{0.7})^t \leqslant \np{12.5} \quad \np{0.7}^t \leqslant \np{0.5} \quad t\log \np{0.7} \leqslant \log \np{0.5}	\quad t\geqslant \dfrac{\log \np{0.5}}{\log\np{0.7}}$,
( car $\log\np{0.7}<0$).	
	
		L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left[\dfrac{\log \np{0.5}}{\log \np{0.7}}~;~10\right]$ ou en arrondissant à l'unité [2~;~10].
		\item On conseille aux femmes qui fument d'attendre que la moitié de la nicotine présente dans leur sang ait été éliminée avant d'allaiter leur enfant.

Déterminons combien de temps, à l'heure près, la patiente devra attendre avant de pouvoir allaiter son enfant.

La moitié de la nicotine présente dans le sang correspond à \np[ng/ml]{12.5}. 

Nous avons calculé à la question précédente le temps nécessaire pour que la concentration soit inférieure ou égale à cette valeur. À l'unité près, nous avons obtenu 2.

Par conséquent, les femmes qui fument devraient attendre deux heures avant de pouvoir allaiter leur enfant . 
%? Expliquer la démarche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.4cm,arrowscale=1.7}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(10.5,26)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10.53,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.5,-0.99)(10.5,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(10.5,26)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{0}{10}{0.7 x  exp 25  mul }
\def\Func{0.7 x exp 25 mul}
\psline[linecolor=violet,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 1.5 def \Func)(!1.5 /x 1.5 def \Func)(1.5,0)
\psline[linecolor=cyan,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 9.0247 def \Func)(!9.0247 /x 9.0247 def \Func)(9.0247,0)
\psline[linecolor=green,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 1.943358 def \Func)(!1.943358 /x 1.943358 def \Func)(1.943358,0)
\rput(10.27,-1.5){\footnotesize Temps $t$ en heures}
\rput(2.3,25.5){Concentration de nicotine dans le sang (en ng/ml)} 
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}


