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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie~\decofourright\\[5pt]18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un audioprothésiste compte parmi ses clients 75\,\% de personnes âgées de plus de 50 ans. Parmi celles-ci, 80\,\% souffrent de problèmes d'audition aux deux oreilles. Ce taux chute à 40\,\% parmi les clients de moins de 50 ans.

\smallskip

On choisit au hasard le dossier médical d'un client ; chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

\smallskip

%Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$. Si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée  $P_{F}(E)$.
  
On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : \og le client est âgé de plus de 50 ans \fg{} ;
\item $D$ : \og le client souffre de problèmes auditifs aux deux oreilles \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item % En utilisant les données fournies par l'énoncé, donner les probabilités $p(A)$ et $P_{\overline{A}}(D)$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'évènement $A$ est \og le client est âgé de plus de 50 ans \fg{} et on sait qu'il y a 75\,\% de clients de plus de 50 ans, donc $P(A)=0,75$.
\item Parmi les clients de moins de 50 ans, le taux de clients qui souffrent de problèmes auditifs des deux oreilles est de 40\,\% donc $P_{\overline{A}}(D)=0,40$.
\end{list}


\item On complète l'arbre pondéré de probabilités qui traduit la situation.

\begin{center}
\bigskip
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=10mm,levelsep=30mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$\blue 0,75$}}
	{
	\TR{$D$}\naput{$\blue 0,8$}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{$\blue 1-0,8=0,2$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$\blue 1-0,75 = 0,25$}}
	{\TR{$D$}\naput{$\blue 0,4$}
	\TR{$\overline{D}$}\nbput{$\blue 1-0,4=0,6$}
	}
}
\bigskip
\end{center}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que  le client choisi ait plus de 50 ans et souffre de problèmes
auditifs aux deux oreilles  est 
$P(A\cap D) = P(A) \times P_{A}(D) = 0,75\times 0,8 = 0,6$.
\item La probabilité que le client choisi souffre de problèmes auditifs aux deux oreilles est $P(D)$.\\
D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(D)=P\left (A\cap D\vphantom{\overline{A}}\right )+ P\left (\overline{A} \cap D\right ) =P\left (A\cap D\vphantom{\overline{A}}\right ) + P\left (\overline A\right ) \times P_{\overline A}(D) = 0,6 + 0,25\times 0,4= 0,6+0,1=0,7$.
\end{enumerate}

\item Le client choisi ne souffre pas de problème auditif aux deux oreilles. \\
La probabilité qu'il soit âgé de plus de 50 ans est
$P_{\overline{D}}(A)=\dfrac{P\left (A\cap \overline{D} \right )}{P\left (\overline{D} \right )}
= \dfrac{P\left (A\cap \overline{D} \right )}{1-P\left (D \right )}
= \dfrac{0,1}{1-0,7} = \dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip

Le dioxyde d'azote (NO$_2$) est un polluant indicateur des activités de combustion, notamment du trafic routier. Pour la protection de la santé humaine, les normes européennes fixent la valeur limite annuelle d'émission de NO$_2$ à 40 microgrammes par mètre-cube.

On a reporté dans la feuille de calcul ci-après le nombre (en million) d'habitants d'une région urbaine potentiellement exposée à un dépassement de la valeur limite annuelle de NO$_2$ entre 2010 et 2017. Ce dépassement est noté DVLA.

La ligne 4 est au format pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.1cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A &B& C&D&E& F& G&H&I \\
\hline
1&Année& 2010 &2011& 2012 &2013& 2014 &2015& 2016& 2017\\
\hline
2& Rang de l'année $(x_i)$   &0&1& 2& 3& 4 &5& 6&7\\
\hline
3&Nombre d'habitants, en million, exposés à un DVLA $(y_i)$   & 2,9& 2,7& 2,6& 2,6 &2,4 &1,6 &1,5& 1,3\\
\hline
4& Taux d'évolution annuel
(en\,\%)&\cellcolor{lightgray} & $- 6,9\,\%$&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

%\newpage

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

\begin{enumerate}
\item  Le nombre d'habitants de cette région en 2017 est estimé à 12,2 millions. 
%Calculer la proportion d'entre eux exposés à un DVLA. Donner le résultat en pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.

Le nombre d'habitants exposés à un DVLA est de $1,3$ million;

La proportion est donc, en pourcentage, de $\dfrac{1,3}{12,2}\times 100 \approx 10,7$.

\item 
\begin{enumerate}
\item%  Calculer le taux d'évolution global entre 2010 et 2017. Donner le résultat en pourcentage, arrondi à 0,1\,\%.
Le taux d'évolution global entre 2010 et 2017 est, en pourcentage, de
$\dfrac{1,3-2,9}{2,9}\times 100 \approx -55,2$.

\item La formule à saisir dans la cellule C4 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer les taux d'évolution du nombre d'habitants exposés à un DVLA entre deux années consécutives est
\fbox{\texttt{= (C3 - B3) / B3}}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}


On a représenté dans un repère orthogonal donné en \textbf{annexe}, à rendre avec la copie, le
nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.
\begin{enumerate}
\item%  Calculer les coordonnées du point moyen G puis le placer sur le graphique.
$\overline{x} = \dfrac{0 + 1 +  2 +  3 +  4  + 5 +  6 +7}{8} = 3,5$ et
$\overline{y} = \dfrac{ 2,9+ 2,7+ 2,6+ 2,6+ 2,4+ 1,6+ 1,5+ 1,3}{8} = 2,2$
donc le point moyen G a pour coordonnées $(3,5~;\, 2,2)$.

\item On admet que la droite $D$ d'équation : $y = - 0,26x + 3,11$ réalise un ajustement affine du
nuage de points jusqu'en 2022.

Chercher l'année au cours de laquelle le nombre d'habitants exposés à un DVLA deviendra inférieur à \np{500000} revient à chercher $x$ tel que $y<0,5$:

$y<0,5 \iff - 0,26x + 3,11 < 0,5 \iff 3,11-0,5 < 0,26x \iff \dfrac{2,61}{0,26}< x$ donc à partir de $x=11$ soit en 2021.
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie C}

\vspace{0.25cm}

Dans cette partie, on admet qu'à partir de 2015 et jusqu'en 2030 le nombre d'habitants exposés à un DVLA diminue de 10\,\% par an. On modélise l'évolution du nombre d'habitants (en million) exposés à un DVLA par les premiers termes d'une suite $(u_n)$. 
Ainsi $u_0 = 1,6$. 

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item%  Justifier que la suite $(u_n)$   est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Diminuer de 10\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{10}{100} = 0,9$ donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,9$.

\item% Pour tout entier $n$ compris entre 0 et 15, exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
On en déduit que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 1,6\times 0,9^{n}$.
\end{enumerate}

\item Le nombre d'habitants risquant d'être exposés à un DVLA en 2019 est $u_4=1,6\times 0,9^4 \approx 1,0$ million.

\item Dans le cadre de la modélisation par la suite $(u_n)$, déterminer l'année à partir de laquelle moins de \np{500 000} habitants de la région seront exposés à un DVLA revient à chercher $n$ tel que $u_n<0,5$:

$u_n<0,5 \iff 1,6\times 0,9^n < 0,5 \iff 0,9^n < \dfrac{0,5}{1,6} \iff \ln\left ( 0,9^n\right ) < \ln(\np{0,3125})\\
\phantom{u_n<0,5}
\iff n \times \ln(0,9) < \ln(\np{0,3125})
\iff n > \dfrac{\ln(\np{0,3125})}{\ln(0,9)}$

Or $\dfrac{\ln(\np{0,3125})}{\ln(0,9)} \approx 11,04$ donc c'est à partir de $n=12$ donc de l'année $2027$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\vspace{0.25cm}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~15]$ par : $f(x) = x^3 - 21x^2 +120x + 50$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur cet intervalle.

\begin{enumerate}
\item  $f(4) =  4^3 - 21\times 4^2 +120\times 4 + 50 = 64 - 336 + 480 + 50 =258$ et\\
 $f(10) =  10^3 - 21\times 10^2 +120\times 10 + 50 = \np{1000} - \np{2100} + \np{1200} + 50 = 150$.
\item 
\begin{enumerate}
\item  $f'(x) = 3x^2 -21\times 2x + 120 = 3x^2 - 42x +120 $
\item Pour tout $x$ de $[0~;~15]$, on a : 
$(3x -12)(x -10) = 3x^2 -12x -30x +120 = 3x^2 - 42x +120  = f'(x)$.
\end{enumerate}

\item On étudie  le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~15]$:

%\begin{center}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.5)(16,4.5)
%\psframe(15,4)
%\psline(4.5,0)(4.5,4)\psline(0,3)(15,3)
%\psline(0,2)(15,2)\psline(0,1)(15,1)%\psline(0,2)(15,2)
%\uput[r](2,3.5){$x$}\uput[r](4.5,3.5){$0$}\uput[l](15,3.5){$15$}
%\uput[r](0,2.5){\footnotesize signe de $(3x-12)$}
%\uput[r](0,1.5){ \footnotesize signe de $(x-10)$}
%\uput[r](0,0.5){\footnotesize signe de $f'(x)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.3cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 4 & \esp & 10 & \esp & 15 \\
\hline
\text{signe de } (3x-12) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &\\
\hline
\text{signe de } (x-10) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &\\
\hline
\text{signe de } f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}


\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~15]$.

%On précisera dans ce tableau, sans justification, les valeurs remarquables de $f(x)$.
$f(0)=50$ et $f(15)=500$

On établit le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~15]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & 0 & \esp & 4 & \esp & 10 & \esp & 15 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{258} & & & &  \Rnode{max2}{500} \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{50} & & & & \Rnode{min2}{150} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}
 
\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}

Des analyses ont montré que des microalgues étaient naturellement présentes dans l'eau de mer, avec une concentration normale comprise entre 0 et 100 milligrammes par litre (mg/L).

Ces microalgues ont tendance à se multiplier lorsque la salinité de l'eau de mer diminue, et les autorités sanitaires considèrent qu'elles deviennent dangereuses pour la santé lorsque leur concentration dépasse \np[mg/L]{200}. Il faut alors prendre des mesures comme l'interdiction de la baignade.

La courbe donnée en \textbf{annexe} modélise l'évolution de la concentration en microalgues de l'eau de baignade d'une plage du littoral pendant les 10 jours qui ont suivi un très fort orage.

Il s'agit de la courbe de la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} mais dont l'ensemble de
définition est, dans cette \textbf{partie B}, restreint à l'intervalle $[0~;~10]$.

\medskip

%Pour chaque question suivante, justifier la réponse en précisant la méthode utilisée (calcul ou lecture graphique) et en expliquant la démarche ; pour la lecture graphique, laisser apparents les pointillés utiles.

\begin{enumerate}
\item  %Pendant combien de jours complets la baignade est-elle interdite ?
La baignade est interdite quand la concentration est supérieure à  \np[mg/L]{200} c'est-à-dire quand la courbe est au dessus de la droite d'équation $y=200$; c'est donc pour les jours 2, 3, 4, 5 et 6, soit 5 jours complets (voir graphique).

\item La concentration maximale en microalgues durant les 10 jours suivant l'orage correspond au maximum de la fonction soit $f(4)=258$~mg/L; elle apparait au bout de 4 jours.

\item 10 jours après l'orage, la concentration est de $f(10)=150>100$ donc la situation n'est pas encore revenue à la normale.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.4)(12.8,4.2)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{60}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(12,4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](0,2.9)(1,2.7)(2,2.6)(3,2.6)(4,2.4)(5,1.6)(6,1.5)(7,1.3)
\uput[ur](0,4){\scriptsize Nombre de personnes exposées à un DVLA (en million) }
\uput[dl](12,-0.2){\scriptsize Nombre de jours}
\psplot[linecolor=blue]{0}{11.5}{-0.26 x mul 3.11 add}
%\psplot[linecolor=red]{0}{11.5}{-0.243 x mul 3.05 add}
\psdots[linecolor=blue](3.5,2.2)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,0.5)(11.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{3cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-25)(12,350)
 \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,350)}
 \multido{\n=0+50}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
 \multido{\n=0+0.2}{55}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,350)}
 \multido{\n=0+10}{35}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,]{->}(0,0)(11,350)
\def\Func{x x x 21 sub mul 120 add mul 50 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{\Func}
\uput[d](10,-25){\footnotesize Nombre de jours}
\uput[ur](5,250){\blue $\Large \mathcal  C$}
 \uput[ur](0,350){\footnotesize Concentration (en mg/L) }
%%% Corrigé
 \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0,200)(10,200)
 \uput[u](4.5,200){\blue $y=200$}
 \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{[-]}(1.73,0)(7.15,0)
 \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1.73,200)(1.73,0)
  \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](7.15,200)(7.15,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}