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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 19 juin 2018~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Des élèves de première ST2S font des études sur la consommation de tabac dans le
cadre de leur projet AI (Activités Interdisciplinaires).

Ces élèves sont dans un établissement comprenant 800 élèves dont 40\,\% sont des
garçons. Une première classe de ST2S se charge de faire un sondage auprès de
l'ensemble des élèves de l'établissement.

Les résultats du sondage indiquent que:

\setlength\parindent{4em}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des élèves sont des fumeurs,
\item 224 garçons ne fument pas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
}
\medskip

\textbf{Partie A}

Un tableau d'effectifs qui traduit la situation est donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
\begin{enumerate}
\item  %Expliquer pourquoi on a placé 320 dans la case grisée du tableau.
Il y a 800 élèves dans l'établissement dont 40\,\% de garçons. Le nombre de garçons est donc $800\times \dfrac{40}{100}$ soit 320. C'est bien ce nombre que nous trouvons dans la case grisée qui indique le nombre de garçons.
\item  Nous avons complété le tableau donné \textbf{en annexe}. %Aucune justification n'est demandée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

{\footnotesize
\medskip
On choisit au hasard un élève de l'établissement. On admet que chaque élève a la même
probabilité d'être choisi.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{4em}
\begin{itemize}
\item  $G$ : \og L'élève est un garçon\fg{} ;
\item  $A$ : \og L'élève est un fumeur \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{\large Les résultats demandés seront arrondis au centième si nécessaire.}
}
\begin{enumerate}
\item  Montrons que la probabilité de l'évènement $G \cap \overline{A}$ est 0,28.

L'univers est l'ensemble des élèves de l'établissement et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité.  
La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A)=\dfrac{\text{\footnotesize nombre d'éléments de A}}{\text{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}$.

Le nombre d'éléments de l'univers est 800.

Dans l'établissement, il y a 224 garçons non fumeurs par conséquent 

$p\left(G\cap \overline{A}\right) = \dfrac{224}{800}=\np{0.28}$.

Nous obtenons bien le résultat demandé.
\item La probabilité de l'évènement: \og L'élève est une fille fumeuse \fg est notée $p\left(\overline{G}\cap A\right)$.

Il y a 184 filles fumeuses donc $p\left(\overline{G}\cap A\right) = \dfrac{184}{800} = \np{0.23}$.
\item Sachant que l'élève choisi est fumeur, la probabilité que ce soit une fille est notée $p_{A}\left(\overline{G}\right)$.

$p_{A}\left(\overline{G}\right) = \dfrac{p\left(\overline{G}\cap A\right)}{p(A)}=\dfrac{\np{0.23}}{\np{0.35}}\approx \np{0.66}$.
 
\item L'élève choisi est un garçon ; y a-t-il plus de chance que ce soit un élève fumeur ou
non-fumeur ?

Il faut donc calculer : $p_G(A) = \dfrac{p(G \cap A)}{p(G)} = \dfrac{96}{320}$ à comparer avec $p_G\left(\overline{A}\right) = \dfrac{p\left(G \cap \overline{A}\right)}{p(G)} = \dfrac{224}{320}$.

Sachant qu'il y a 224 garçons non fumeurs contre 96 garçons fumeurs, il y a donc plus de chances de choisir un garçon non-fumeur.

%{\footnotesize \emph {remarque} sachant qu'il n'y a que deux catégories de garçons, fumeurs ou non fumeurs, la réunion de ces deux sous-ensembles  est l'ensemble des garçons, la probabilité de choisir un garçon sachant qu'il est un garçon est 1.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
L'espérance de vie à la naissance est le nombre moyen d'années que peut espérer vivre
un nouveau-né.

Le tableau suivant indique l'espérance de vie à la naissance en France, exprimée en
années, de 1980 à 2015.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&\centering{A}& B& C &D &E& F& G& H& I\\\hline
1& Année de naissance& 1980& 1985 &1990& 1995 &2000& 2005& 2010& 2015\\\hline
2& Rang de l'année $(x_i)$& 0 &5& 10& 15& 20 &25 &30& 35\\\hline
3&Espérance de vie$(y_i)$&74,1& 75,3& 76,6& 77,8& 79,1& 80,2& 81,7& 82,7\\\hline 
\multirow{3}*{4}&\begin{minipage}{3.4cm}Taux d'évolution par
 rapport à l'espérance de vie en 1980(arrondi à 0,1\,\%)\end{minipage}&\cellcolor{lightgray} &1,6\,\% &3,4\,\% &5,0\,\% &6,7\,\% &8,2\,\%&10,3\,\% & \\\hline
\multicolumn{10}{r}{\emph{Source: Banque mondiale}}\\
\end{tabularx}
}
\smallskip

\emph{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}}

\smallskip

\textbf{Partie A}
\medskip

\emph{Les cellules de la ligne 4, de C4 à I4, sont au format pourcentage.}

\begin{enumerate}
\item  Déterminons, en pourcentage, le taux d'augmentation de l'espérance de vie entre 1980 et
2015. 
Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{82.7}-\np{74.1}}{\np{74.1}}\approx \np{0.116059}$.

En pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, le taux d'augmentation de l'espérance de vie entre 1980 et 2015 est  de \np{11.6}\,\%.
.
\item Parmi les quatre formules ci-dessous,  celle qui, saisie dans la cellule C4 et
recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 4 :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=(C3$-$B3)/B3}&\textbf{b.~~}\psframebox{=(C3$-$\$B3)/\$B3}&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=(\$C3$-$B3)/B3}& \textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=(C3$-$B3)/\$B3}.
\end{tabularx}

{\footnotesize \emph{Remarque :} Il eût été préférable de mettre une référence absolue pour la cellule B3. Ici cela convient car il n'est pas question de changer de lignes d'où l'absence de \$ devant 3.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En annexe, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage
de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique de l'énoncé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.

 Le point moyen est le point  G de coordonnées $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[\overline{x}_G = \frac{0+5+\dots+35}{8}=\np{17.5} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{74.1}+\np{75.3}+\dots+\np{81.7}+\np{82.7}}{8}=\np{78.4375}\]
 
 G~(\np{17.5}~;~\np{78.4}) en arrondissant au dixième.
\item Le point G est placé dans le repère précédent.
		\end{enumerate}
\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite D d'équation $y = 0,25x + 74,1$.

{\footnotesize\emph{Remarque} À la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement  est $y = 0,248x + 74,092$, donc l'arrondi du coefficient directeur est 0,25 et non 0,24. C'est ce qui est utilisé ci-dessous} 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est tracée dans le repère donné \textbf{en annexe}. Pour la
construction, nous avons utilisé les points de coordonnées $(0~;\np{~74.1})$ et $(35~;~\np{82.9})$.
	\end{enumerate}

Pour les deux questions suivantes il semblerait logique d'utiliser la droite et donc de faire une résolution graphique ; nous donnons les deux méthodes.
	
	\begin{enumerate}[resume]	
		\item ~
		
\emph{Par le calcul} : à l'aide de cet ajustement, une estimation de l'espérance de vie en France en 2020 est de \np{84.1} ans. En effet, en 2020, le rang de l'année est 40. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de la droite nous obtenons 

		$\np{0.25}\times 40+\np{74.1}=\np{84.1}$.
		
\emph{Avec la droite (D)} : on lit approximativement sur la figure 84.
		\item Sur la base de ce modèle, déterminons l'année où l'espérance de vie en France dépassera 83 ans.
		
\emph{Par le calcul} : pour ce faire résolvons $\np{0.25}x + \np{74,1}\geqslant 83$. Nous obtenons 

$\np{0.25}x  \geqslant 83 - 74,1$ ou $x \geqslant\dfrac{83 - \np{74.1}}{\np{0.24}}$ d'où $x \geqslant \np{35.6}$.
		
Sur la base de ce modèle, l'année où l'espérance de vie en France dépassera 83 ans est 2016 (1980+36).

\emph{Avec la droite (D)} : on trace la droite horizontale d'équation $y = 83$ qui coupe la droite (D) en un point d'abscisse approximative 35,9. Il faut attendre 2016. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\vspace{0.5cm}

Un médicament antalgique est administré par voix orale. La concentration du produit actif
dans le sang est modélisée par une fonction $f$ qui, au temps écoulé $x$ en heure (h),
associe la concentration $f(x)$ en milligramme par litre de sang (mg/$\ell$).

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip
La fonction $f$ est représentée par la courbe ci-dessous:

\psset{xunit=2.cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(7,36)
\multido{\n=0+0.25}{25}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,34)}
\multido{\n=0+1}{35}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(6.2,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=5]{->}(0,0)(6.5,35)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{6}{x x x 12 sub mul 36 add mul}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x x x 12 sub mul 36 add mul}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 2 def \Func)(!2 /x 2 def \Func)(2,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 5 def \Func)(!5 /x 5 def \Func)(5,0)
\end{pspicture}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item  Au bout de  deux heures la concentration du produit semble maximale. Nous lisons l'abscisse du sommet de la courbe. Avec la précision permise par le dessin, nous lisons 2.  Cette concentration maximale à \np[mg/\ell]{1}  près est d'environ \np[mg/\ell]{32}. Nous lisons l'ordonnée du sommet.
\item On admet que le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est
supérieure à \np[mg/\ell]{5}. D'après le graphique, au bout de  cinq heures il faudrait
administrer à nouveau le médicament pour maintenir son effet.  Nous lisons la seconde abscisse du point d'intersection de la courbe avec la droite d'équation $y=5$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0;6] par: $f(x) = x^3 -12x^2 +36x$.

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;6].
		\begin{enumerate}
		\item Calculons $f'(x)$. $f'(x)=3x^2-12(2x)+36=3x^2-24x+36$.
		\item $(3x -6)(x -6)=3x^2-18x-6x+36=3x^2-24x+36=f'(x)$.
		\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item  Étudions le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0;6].
		
		Sur $\R$,\quad $3x-6>0$ est équivalent à $x>2$ et $x-6>0$ à $x>6$. Par conséquent 
		\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|*{5}{c}|}\hline
$x$&0&&2&&6\\\hline
signe de $3x-6$&&$-$&0&+&\\
\hline
signe de $x-6$&&$-$&&$-$&0\\\hline
signe de $f'(x)$&&+&0&$-$&0\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item  Étudions la variation de $f$ sur [0~;~6]
		
Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[0~;~2[ \:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $]2~;~6[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0;6]

$f(0)=0^3-12\times 0^2+36\times 0=0$ 

$f(2)=2^3-12\times 2^2+36\times 2=8-48+72=32$ 

$f(6)=6^3-12\times 6^2+36\times 6=216-432+216=0$

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.5)
%\psgrid
\psframe(9.2,3)
\psline(0,1.5)(9.2,1.5)\psline(0,2.5)(9.2,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](6.4,2.5){$2$}\uput[u](9,2.5){$6$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](9.1,1.5)(9.1,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$} \uput[u](9.1,1.75){$0$}
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[ul](4,0.){\small $0$} \uput[d](6.4,1.5) {$32$}
\uput[u](9,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
		\end{enumerate}
\item La réponse à la question \textbf{1.} de la partie \textbf{A} est bien confirmée. La concentration est bien maximale, valant $\np[mg/\ell]{32}$, au bout de deux heures.
\item L'affirmation \og Au bout de 5 heures, la concentration dans le sang du produit actif est
inférieure à 20\,\% de sa valeur maximale\fg est vraie. En effet
la concentration dans le sang au bout de cinq heures est $f(5)$.

 $f(5)=5\quad \dfrac{20}{100}\times 32=\np{6.4}\quad 5<\np{6.4}$.
 

 
 L'affirmation est vraie.

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1}
\end{center}
\vspace{0.5cm}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
L'élève est& un garçon& une fille &Total\\\hline
fumeur&96&184&280\\\hline
non-fumeur&224 &296 &520\\\hline
Total&\cellcolor{lightgray}{ 320}&480 &800\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=0.325cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(0,0)(41,12)
\multido{\n=0+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(41,\n)}
\multido{\n=0+1}{41}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,11.4)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,11.4)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=gray](0,\n)(41,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Oy=73]{->}(0,0)(41,11.5)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,1.1)(5,2.3)(10,3.6)(15,4.8)(20,6.4)(25,7.2)(30,8.7)(35,9.7)
\uput[r](0,11.6){\textbf{Espérance de vie (en année)}}
\uput[dr](32,-0.5){\textbf{Rang de l'année}}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{41}{x 0.248222 mul 1.091667 add}
\psdot[linecolor=red,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](17.5,5.4375)
\uput[ul](17.5,5.4375){\textcolor{red}{$G$}}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 0.248222 mul 1.091667 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 35.9 def \Func)(!35.9 /x 35.9 def \Func)(35.9,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(40,0)(40,11.02)(0,11.02)
\end{pspicture}
\end{document}