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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre  2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 4 septembre 2018~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Le service social d'une ville souhaite mener une étude sur les modes de garde choisis par
les familles pour leurs enfants de moins de 3 ans. Une famille est composée des enfants
et de leurs parents, vivant en couple ou pas.

\smallskip

Un questionnaire a été rempli par un échantillon de \np{1000}~familles ayant au moins un
enfant de moins de $3$~ans.

\smallskip

L'examen des réponses apportées par ces familles à ce questionnaire donne les
informations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$70$\,\% des parents vivent en couple et $60$\,\% de ces couples ont choisi de garder eux-mêmes leurs enfants durant la semaine.
\item[$\bullet~~$]Parmi les parents ne vivant pas en couple, $30$\,\% d'entre eux ont choisi de garder eux-mêmes leurs enfants durant la semaine.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit au hasard un questionnaire. Chaque questionnaire a la même probabilité d'être
choisi.

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

Si $F$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ]$C$ : \og Le questionnaire est celui d'une famille dont les parents vivent en couple \fg{} ;
\item[ ]$G$ : \og Le questionnaire est celui d'une famille dont les parents gardent eux-mêmes leurs enfants durant la semaine\fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les données fournies par l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le questionnaire soit celui d'une famille dont les parents ne vivent pas en couple est \np{0.3} car $70$\,\% des parents vivent en couple d'où $1-\np{0.7}=\np{0.3}$;
		\item La probabilité $P_C(G)$ est \np{0.6} car $60$\,\% de ces couples ont choisi de garder eux-mêmes leurs enfants durant la semaine;
la probabilité $P_{\overline{C}}(G)$ est \np{0.3} car parmi les parents ne vivant pas en couple, $30$\,\% d'entre eux ont choisi de garder eux-mêmes leurs enfants durant la semaine. 

$P_C(G)$ est la probabilité que les parents gardent leur enfant durant la semaine sachant qu'ils vivent en couple
et $P_{\overline{C}}(G)$ est la probabilité que les parents gardent leur enfant durant la semaine sachant qu'ils ne vivent pas en couple.
	\end{enumerate}
\item  Complétons  l'arbre pondéré de probabilités ci-dessous :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~}\taput{\np{0.7}}}
	{\TR{$G$}\taput{\np{0.6}}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\np{0.4}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$~}\tbput{\np{0.3}}}
	{\TR{$G$}\taput{\np{0.3}}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\np{0.7}}
	}
}
\end{center}
\item  Calculons la probabilité de l'évènement $C \cap G$.

$P(C\cap G)=P(C)\times P_C(G)=\np{0.7}\times \np{0.6}=\np{0.42}$
\item  Montrons que $P(G) = 0,51$.

$P(G)=P(C)\times P_C(G)+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(G)=\np{0.42}+\np{0.3}\times \np{0.3}=\np{0.51}$.

Nous obtenons bien le résultat attendu.
\item  Le questionnaire choisi est celui de parents gardant eux-mêmes leurs enfants durant la semaine. Calculons  la probabilité que ces parents vivent en couple.
 Cette probabilité est notée $P_G(C)$.
 
 $P_{G}(C)=\dfrac{P(C\cap G)}{P(G)}=\dfrac{\np{0.42}}{\np{0.51}}\approx\np{0.82}$ arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Marion est salariée dans le même laboratoire pharmaceutique depuis quinze ans. Elle
souhaite étudier l'évolution de son salaire, qui dépend de ses années d'ancienneté, de la
politique salariale de l'entreprise, des augmentations occasionnelles, etc.

Afin d'estimer son salaire en 2020, Marion a reporté dans la feuille de tableur ci-dessous
les montants de son salaire mensuel moyen entre 2010 et 2017.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.6cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A 							&B 		&C 		&D 		&E 		&F 		&G 		&H 	&I\\ \hline
1& Année 					&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 &2017\\ \hline
2& Rang de l'année $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
3&Salaire mensuel moyen
(en \euro) $\left(y_i\right)$& \np{1650} &\np{1725} &\np{1740} &\np{1756} &\np{1825} &\np{1850} &\np{1950} &\np{1960}\\ \hline
4& Taux d'évolution (en \%)&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}& 4,5\,\%	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les cellules de la plage B3 : I3 sont au format \og Nombre \fg, arrondi à l'unité, et celles de la plage C4 : I4 sont au format \og Pourcentage \fg, arrondi à 0,1\,\%.
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons, en pourcentage, le taux d'augmentation du salaire moyen entre 2011 et 2012.
 
Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{1740}-\np{1725}}{\np{1725}}\approx \np{0.008696}$.

En pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, le taux d'augmentation du salaire moyen entre 2011 et 2012 est  de \np{0.9}\,\%.

		\item La ligne 4 du tableau indique les taux d'évolution du salaire mensuel moyen, d'une année sur l'autre. Une formule, entrée dans la cellule C4, puis recopiée vers la droite, qui permet d'obtenir les taux d'évolution voulus dans les cellules de la plage C4 : I4 est = (C\$3-B\$3)/B\$3.
	\end{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution global du salaire mensuel moyen entre 2010 et 2017.

$T=\dfrac{\np{1960}-\np{1650}}{\np{1650}}\approx \np{0.1878}$.
Le taux d'évolution global du salaire mensuel moyen entre 2010 et 2017, en pourcentage, arrondi à 0,1\,\% est de \np{18.8}\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
On envisage de modéliser par un ajustement affine l'évolution du salaire mensuel moyen.

Sur l'annexe 1, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, le
nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} 1}.
 
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+7+8}{8}=\np{4.5} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{1650}+\np{1725}+\dots+\np{1950}+\np{1960}}{8}=\np{1807}\]
 
 G~(\np{4.5}~;~\np{1807})

\item  On considère la droite $D$ d'équation $y = 44x + \np{1609}$. On admet que cette droite réalise un ajustement affine de cette série, valable jusqu'en 2030.
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $D$ est tracée dans le repère de \textbf{l'annexe 1}. Les coordonnées des points utilisés sont (0~;~\np{1609}),(10~;~\np{2049}).
		\item Déterminons graphiquement, en quelle année Marion pourrait atteindre un salaire mensuel moyen de \np{2200}~\euro. 
		
Traçons la droite d'équation $y=\np{2200}$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec $D$.

 Nous lisons $x\approx \np{13.5}$. Aux environs de 2023, Marion pourrait atteindre un salaire mensuel de \np{2200}\,\euro.
		\item  Selon ce modèle, calculons une estimation du salaire mensuel moyen de Marion en 2020. 
En 2020, le rang de l'année est 11. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de $D$ nous obtenons 
$y=44\times 11+\np{1609}=\np{2093}$.
		
		Selon ce modèle,  une estimation du salaire mensuel moyen en 2020 serait de \np{2093}\,\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 9 points}

\medskip
{\footnotesize
L'empreinte carbone est un indicateur des émissions de gaz à effet de serre qui intègre les émissions directes des ménages français (logements et voitures), les émissions de la
production nationale (hors exportations), et celles associées aux produits importés.

\smallskip

Le tableau ci-dessous indique les émissions de CO$_2$ de la France selon l'empreinte
carbone entre 1995 et 2015. Les émissions sont exprimées en million de tonnes
équivalent CO$_2$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année}& \textbf{1995} &\textbf{2000} &\textbf{2005} &\textbf{2010} &\textbf{2015}
\\ \hline
Rang de l'année $\left(x_i\right)$& 0 &5 &10 &15 &20\\ \hline
Émission de CO$_2$ $\left(y_i\right)$& 477 &534 &592 &573 &532\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source: SOeS d'après Citepa, Eurostat, Insee, Douanes, AIE, $2016$}}
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Sur l'annexe 2}, à rendre avec la copie, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique.

À l'issue de la conférence sur le climat en 2016, la France s'est engagée, d'ici 2030, à
réduire ses émissions de CO$_2$ de 40\,\%, par rapport à leur niveau en 1990, estimé à
$468$ millions de tonnes équivalent CO$_2$.

Le but de l'exercice est de prévoir la quantité de CO$_2$ émise en 2030 à partir de deux
modélisations différentes.
}
\smallskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On propose de modéliser l'évolution des émissions de CO$_2$ par la fonction $f$ définie sur
l'intervalle [0~;~39] par : 

\[f(x) = - 0,8x^2 + 19,2x + 470.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item La fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~39] est définie par 

$f'(x)=-\np{0.8}(2x)+\np{19.2}=-\np{1.6}x+\np{19.2}$.
\item Étudions le signe de la fonction $f'$ 

Sur $\R,\ -\np{1.6}x+\np{19.2}>0$ est équivalent à  $x<12$. Il en résulte  : 

Si $x\in[0~;~12[, \ f'(x)>0$ et si $x\in]12~;~39], \ f'(x)<0$.

Étudions maintenant le sens de variation de $f$ :

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[0~;~12[, \:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $]12~;~39],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~39].

$f(0)=-\np{0.8}0^2+\np{19.2}\times 0^2+470=470$ 

$f(12)=-\np{0.8}\times 12^2+\np{19.2}\times 12+470=\np{585.2}$ 

$f(39)=-\np{0.8}\times 39^2+\np{19.2}\times 39+470=2$

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.5)
\psframe(9.2,3)
\psline(0,1.5)(9.2,1.5)\psline(0,2.5)(9.2,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](6.4,2.5){$12$}\uput[u](9,2.5){$39$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variation de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$} %\uput[u](9.1,1.75){$2$}
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[ul](4.2,0.){\small $470$} \uput[d](6.4,1.5) {$\np{585.2}$}
\uput[u](9,0){$2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau de valeurs est complété \textbf{sur l'annexe 2}. %Les résultats seront arrondis à l'unité.
		\item En utilisant le tableau de valeurs précédent,  la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~39] dans le repère orthogonal est tracée sur l'annexe 2.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminons d'abord le seuil d'émissions en millions de tonnes équivalent  CO$_2$ à atteindre en 2030.

$468\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=\np{280.8}$.

 D'après ce premier modèle, l'engagement de la France sera tenu en 2030, le rang de l'année est 35.

 Calculons $f(35)$. 
 $f(35)=-\np{0.8}\times 35^2+\np{19.2}\times 35+470=162$. Selon ce modèle, la production serait de  162 millions de tonnes équivalent CO$_2$, 
valeur bien inférieure à la valeur de l'engagement \np{280.2}. Comme la fonction est décroissante sur l'intervalle ]12~;~39], l'engagement serait tenu en 2030. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On fait l'hypothèse qu'à partir de 2015, les émissions de CO$_2$ baissent annuellement
de 3\,\%. On modélise alors les émissions de CO$_2$ à l'aide d'une suite numérique 
$\left(u_n\right)$.

Pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ est égal aux émissions de CO$_2$, en million de tonnes équivalent CO$_2$, durant l'année $(2015 + n)$. Ainsi, $u_0 = 532$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À une baisse de 3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\dfrac{3}{100}$ soit 0,97.

  $u_1 =532\times \np{0.97}= 516,04$.
		\item Multipliant un terme par le même nombre \np{0.97} pour obtenir le terme suivant, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=532$ et de raison \np{0.97}. %Préciser son premier terme et sa raison.
		\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est

 $u_n=u_0\times (q)^n$ pour tout entier $n$.  $u_n=532\times \left(\np{0.97}\right)^n$.
	\end{enumerate}
\item D'après ce second modèle, l'engagement de la France ne sera pas tenu en 2030.  En effet, en 2030 le rang de l'année est 15. Calculons $u_{15}$.
$u_{15}=532\times \left(\np{0.97}\right)^{15}\approx \np{336.8896}$

 or $\np{336.89}>\np{280.8}$.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}

\vspace{0.5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-1,-40)(14,700)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1600,Dy=1000]{->}(0,0)(0,0)(14,700)
\multido{\n=1600+50,\na=0+50}{15}{\uput[l](0,\na){\np{\n}}}
\psdots[dotscale=1.4,linecolor=blue](1,50)(2,125)(3,140)(4,156)(5,225)(6,250)(7,350)(8,360)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](4.5,207)
\uput[ul](4.5,207){\textcolor{red}{$G$}}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 44 mul 9 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{\Func}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 13.4318 def \Func)(!13.4318 /x 13.4318 def \Func)(13.4318,0)
\uput[r](0,720){Salaire moyen (en euro)}
\uput[d](12,-40){Rang de l'année}

\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 2}

\vspace{0.5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{0.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A : 3. a.}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0		&5		&10		&15		&20		&25		&30		&35		&39\\ \hline
$f(x)$	&470	&546	&582	&578	&534	&450	&326	&162	&2\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(-3,-30)(45,700)
\multido{\n=0+1}{46}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+20}{36}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(45,\n)}
\multido{\n=0+100}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(45,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(45,700)
\uput[d](39,-30){Rang de l'année}
\uput[r](0,720){Quantité de CO$_2$ émise (en millions de tonnes)}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=blue](0,477)(5,534)(10,592)(15,573)(20,532)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=cyan,dotangle=45](25,450)(30,326)(35,162)(39,2)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{39}{x x 0.8 neg mul  19.2 add mul 470 add}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x x 0.8 neg mul  19.2 add mul 470 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 35 def \Func)(!35 /x 35 def \Func)(35,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}