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% Tapuscrit : Denis Vergès
%sujet aimablement fourni par Yves IV
%corrigé par Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Polynésie \hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{7 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Polynésie 7 juin 2016~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
La caisse nationale de l'assurance maladie des travailleurs salariés (CNAMTS) a étudié une population de personnes ayant eu recours à un soin médical suite à un accident de la vie courante.

Selon cette enquête :

\begin{itemize}
\item 61\,\% de ces accidents de la vie courante sont domestiques (survenus dans la maison ou son
environnement immédiat) ;
\item parmi les accidents domestiques, 9\,\% nécessitent de la rééducation;
\item parmi les accidents de la vie courante qui ne sont pas domestiques, 18\,\% nécessitent de la
rééducation.
\end{itemize}

\smallskip
 
On interroge au hasard une personne dans la population étudiée et on considère les évènements
suivants :
 
\begin{itemize}
\item $D$ : \og la personne a eu un accident domestique \fg{} ;
\item $R$ : \og la personne a eu un accident nécessitant de la rééducation \fg.
\end{itemize}

On note $\overline{D}$ l'évènement contraire de $D$ et $\overline{R}$ l'évènement contraire de $R$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la probabilité de l'évènement $D$, notée $p(D)$.

 $p(D)= \np{0.61}$ car 61\,\% de ces accidents de la vie courante sont domestiques.
\item La probabilité $p_{\overline{D}}(R)$, probabilité de l'évènement $R$ sachant $\overline{D}$ est \np{0.18} car parmi les accidents de la vie courante qui ne sont pas domestiques, 18\,\% nécessitent de la rééducation.
\item  L'arbre pondéré de probabilités qui décrit la situation est complété sur l'annexe.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité que la personne ait eu un accident domestique nécessitant de la
rééducation.  Cette probabilité est notée $p(D\cap R)$.

$p(D\cap R)= p(D)\times p_{D}(R)=\np{0.61}\times \np{0.09}\approx \np{0.055}$.

Elle est environ égale à $0,055$, valeur arrondie au millième.

		\item  $\overline{D} \cap R$ est  l'évènement : \og La personne a  eu un accident non-domestique nécessitant de la
rééducation \fg. Calculons la probabilité de cet évènement. 

$p(\overline{D}\cap R)= p(\overline{D})\times p_{\overline{D}}(R)=\np{0.39}\times \np{0.18}\approx \np{0.070}$.

Le résultat  est arrondi au millième.
		\item Suite à cette enquête, la CNAMTS estime que 12,5\,\% des accidents de la vie courante
nécessitent de la rééducation. %Justifier ce résultat.

Calculons la probabilité que les accidents de la vie courante aient nécessité une rééducation.

$p(R)= p(D\cap R)+p(\overline{D}\cap R)=\np{0.055}+\np{0.070}\approx \np{0.125}$.

L'estimation est donc bien de 12,5\,\%.
	\end{enumerate}
\item Calculons la probabilité $p_R\left(\overline{D}\right)$, probabilité de l'évènement $\overline{D}$ sachant $R$.

$p_R\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D}\cap R\right)}{p(R)}= \dfrac{\np{0.070}}{\np{0.125}}\approx \np{0.56}$.
 Le résultat est arrondi au centième.

 Nous pouvons en déduire que 56\,\% des accidents qui ne sont pas domestiques ont nécessité une rééducation.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau suivant donne l'évolution entre 2004 et 2011 de la dépense liée à la consommation de
médicaments en France, en milliards d'euros.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$ &0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
Dépense en milliards d'euros : $y_i$  (valeurs approchées à 0,1 milliard d'euros)
						&30,1 	&30,7 	&31,2 	&32,4 	&33,1 	&33,6 	&34 	&34,3\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : Drees, Comptes de la santé (base $2010$)}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sur une feuille de papier millimétré, à remettre avec la copie,
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
{\footnotesize 
\begin{itemize}
\item \np[cm]{1} pour une unité sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$.
\item \np[cm]{1} pour 0,5 milliard d'euros sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à
$30$ milliards d'euros.
\end{itemize}
}
\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[\overline{x}_G=\frac{0+1+2+\dots+7}{8}=\np{3.5} \quad \overline{y}_G=\frac{\np{30.1}+\np{30.7}+\dots+\np{34.3}}{8}=\np{32.425}\]
Le point G $\left( \np{3.5}~;~\np{32.425} \right)$ est placé dans le repère précédent.
\item On admet que la droite $(\Delta)$ d'équation $y = 0,64x + 30,185$ réalise un ajustement affine du nuage de points.  La droite $(\Delta)$  est tracée dans le repère. Précisons les points utilisés. Outre le point moyen, nous pouvons choisir le point de coordonnées (\np{0.5}~,~\np{30.5}).
\item En supposant que cet ajustement affine soit fiable jusqu'en 2016, estimons la dépense liée à la
consommation de médicaments en France en 2016.  Le rang de l'année 2016 est 12.  Remplaçons $x$ par cette valeur dans l'équation de ($\Delta$). 

$y=\np{0.64}\times 12+\np{30.185}=\np{37.865}$.

Selon ce modèle, une estimation de la dépense liée à la consommation de médicaments en France en 2016 est d'environ \np{37.9} milliards d'euros.

{\footnotesize \emph{remarque} En utilisant le graphique nous pourrions lire l'ordonnée du point de la droite d'abscisse  12}
%Préciser la démarche utilisée.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
En réalité, comme le montre le tableau ci-dessous extrait d'une feuille de calcul, la consommation
de médicaments a diminué en France après l'année 2011.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&\textbf{A}			&\textbf{B}	&\textbf{C}&\textbf{D}&\textbf{E}&\textbf{F}&\textbf{G}\\ \hline
1	&Année				&2011	&2012	&2013	&2014	&2015	&2016\\ \hline
2	&Rang de l'année $n$&0		&1		&		&		&		&\\ \hline
3	&Dépense en milliard d'euros (valeurs approchées à 0,1 milliard d'euros)
						&34,3	&33,9	&33,5	&		&		&\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Drees, Comptes de la santé (base $2010$)}}
\end{tabularx}
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item Calculons  le taux d'évolution de la consommation de médicaments en France entre 2004 et 2013.

 
Le taux $t$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$t=\dfrac{\np{33.5}-\np{30.1}}{\np{30.1}}\approx \np{0.112957}$.

Le taux d'augmentation de ces dépenses entre 2004 et 2013 est, arrondi à 0, 1\,\% près, d'environ \np{11.3}\,\%.
 %On donnera le résultat en pourcentage arrondi à 0,1\,\%.
\item On admet que depuis l'année 2011, la consommation de médicaments en France (en milliard d'euros) peut être modélisée par une suite arithmétique de terme général $u_n$ où $n$ désigne un
entier naturel et $u_n$ représente la consommation de médicaments à l'année $(2011 + n )$.
	\begin{enumerate}
		\item Donnons $u_0$ et $u_1$ les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$. $u_0=\np{34.3}$, valeur des dépenses en 2011 et $u_1=\np{33.9}$, valeur des dépenses en 2012.
		
La raison $r$ d'une suite arithmétique est la différence entre deux termes consécutifs. 

$r=u_1-u_0=\np{33.9}-\np{34.3}=-\np{0.4}$.
		\item Une formule que nous pouvons  saisir dans la cellule D3 puis recopier vers la droite pour obtenir les nombres recherchés sur la ligne 3 
		 est = C\$3 $-$0,4.
		\item Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est  $u_n=u_0+nr$. Par conséquent, $u_n=\np{34.3}-\np{0.4}n$.
		\item Donnons une estimation de la dépense de la consommation de médicaments en France en 2016.  Le rang de 2016 est 5. $u_5=\np{34.3}-\np{0.4}\times 5=\np{32.3}$.
		
Une estimation de la dépense de la consommation de médicaments en France en 2016, selon ce modèle, est de $32,3$ milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip
{\footnotesize
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Lors de sa première année de vie, un enfant a deux types d'anticorps dans le sang : les anticorps
transmis par la mère lors de la grossesse et les anticorps produits par l'enfant à partir de sa naissance. La somme des concentrations de ces deux anticorps est appelée \textbf{concentration globale}
en anticorps dans le sang. La concentration en anticorps dans le sang sera exprimée en grammes par litre (g/L).
}
\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip
{\footnotesize 
On a tracé en \textbf{annexe}, dans un repère orthogonal du plan :

\begin{itemize}
\item la courbe $C$ représentative de la fonction $f$ (en tiretés) correspondant à la concentration en
anticorps maternels ;
\item la courbe $C'$ représentative de la fonction $g$ (en trait plein) correspondant à la concentration globale en anticorps.
\end{itemize}
 
\emph{Pour chacune des questions suivantes, on répondra à l'aide du graphique et on laissera les traits de
construction apparents sur l'annexe à rendre avec la copie. On arrondira les réponses à l'unité.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item L'enfant retrouve la même concentration globale en anticorps qu'à la naissance  à 10 mois.  À la naissance, la concentration globale est de \np[g/\ell]{12}. En traçant la droite d'équation $y=12$, nous lisons l'abscisse de l'autre point d'intersection de cette droite avec $C'$.
\item  $f(3)\approx 5$ et $g(3)\approx 6$. Nous lisons les ordonnées des points d'abscisse 3, respectivement sur $C$ et $C'$.
La concentration en anticorps produits par l'enfant à l'âge de 3 mois est alors d'environ \np[g/\ell]{1} (6-5).
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Évolution de la concentration en anticorps transmis par la mère}

\medskip

On modélise la concentration en anticorps maternels dans le sang de l'enfant à l'aide de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

\[f(x) = 12 \times 0,75^x.\]

Le nombre $f(x)$ représente la concentration en anticorps maternels dans le sang en fonction de
l'âge $x$, exprimé en mois, de l'enfant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item {\footnotesize On admet que sur l'intervalle [0~;~12] la fonction $f$ admet le même sens de variation que la fonction $u$ définie par $u(x) = 0,75^x$.} 
Nous savons que si $0<a<1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction strictement décroissante sur $\R$. Ici $a=\np{0.75}$,  c'est-à-dire un nombre strictement inférieur à 1 par conséquent la fonction $x\longmapsto \np{0.75}^x $ est une fonction strictement décroissante sur [0~;~12].

Il en résulte que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~12].
%Déterminer, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12]. Interpréter ce résultat.

La concentration en anticorps maternels  dans le sang de l'enfant décroît en fonction de l'âge.
\item La concentration en anticorps maternels dans le sang de l'enfant à l'âge de 3 mois est $f(3)$.

$f(3)=12\times \np{0.75}^3= \np{5.06}$ au centième  près.

\item Résolvons l'inéquation $f(x) \leqslant 9$.

$12\times \np{0.75}^x \leqslant 9 \quad \np{0.75}^x \leqslant \np{0.75}^1$. Par conséquent, la fonction $f$ étant strictement décroissante sur [0~;~12] $x \geqslant 1$.  

L'ensemble solution de l'inéquation $f(x)\leqslant 9$  est [1~;~12].

À partir d'un mois la concentration en anticorps maternels dans le sang est inférieure à \np[g/\ell]{9}. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Évolution de la concentration globale en anticorps dans le sang}

\medskip

On modélise la concentration globale en anticorps dans le sang de l'enfant à l'aide de la fonction $g$
définie sur l'intervalle [0~;~12] par : 

\[g(x) = 0,28x^2 - 2,8x + 12.\]

Le nombre $g(x)$ représente la concentration globale en anticorps dans le sang en fonction de l'âge $x$, exprimé en mois, de l'enfant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle [0~;~12], $g'(x)=\np{0.28}(2x)-\np{2.8}=\np{0.56}x-\np{2.8}$.

\item Étudions le signe de la fonction $g'$. 

Sur $\R$, $\np{0.56}x -\np{2.8}>0 \iff x > 5$. Par conséquent si $x \in [0~;~5[, \  g'(x)< 0$ et si $x \in ]5~;~12],\ g'(x)>0$. 

Étudions le sens de variation de $g$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~5[,\:g'(x)<0$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]5~;~12],\:g'(x)>0$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Construisons  le tableau de variation de $g$ sur [0 ; 12].
 
\begin{center}\scalebox{1}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$5$} \uput[u](7.73,2.45){$12$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[u](1.37,1.45){$12$}\uput[u](7.32,1.45){$\np{18.72}$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.45)\psline{->}(5,0.45)(7.3,1.55)
\uput[d](4.5,0.45){$5$}
\end{pspicture}}
\end{center}

\item La fonction $g$ étant strictement décroissante sur [0~;~5[ et strictement croissante sur ]5~;~12], elle admet en 5 un minimum égal à 5.

Il en résulte qu'à l'âge de cinq mois la concentration globale en anticorps dans le sang est minimale.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\medskip
\textbf{À rendre avec la copie}
\medskip

\textbf{EXERCICE 1}

\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,nrot=:U,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~}\naput{0,61}}
	{\TR{$R$}\naput{\np{0.09}}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{\np{0.91}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~}\nbput{\np{0.39}}}
	{\TR{$R$}\naput{\np{0.18}}
	\TR{$\overline{R}$}\nbput{\np{0.82}}
	}
}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 3}

\medskip

Évolution de la concentration en anticorps dans le sang du nourrisson

\medskip

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(13,20)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(13,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(13,20)
\uput[r](0,19.5){concentration (en g/L)}
\uput[d](11.5,-0.5){âge (en mois)}
\uput[u](12.8,0){$x$}\uput[l](0,19.5){$y$}
\uput[u](11.5,0.6){$C$}\uput[u](11.5,18){\blue $C'$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.001}{12}{0.75 x exp 12 mul}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x dup mul 0.28 mul 2.8 x mul sub 12 add}
 \psset{arrowscale=2}
 \def\Func {0.75  x exp 12 mul }
 \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 3 def \Func)(!3 /x 3 def \Func)(3,0)
 \def\Funct {x dup mul 0.28 mul 2.8 x mul sub 12 add}
 \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 3 def \Funct)(!3 /x 3 def \Funct)(3,0)
  \end{pspicture}
\end{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(14.75,8.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(14.5,8.2)
\multido{\n=0.0+0.5}{29}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,8)}
 \multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(14,\n)}
 \uput[u](14.5,0){\footnotesize Rang de l'année}\uput[r](-0.3,8.25){\footnotesize Dépense en milliards }
 \psdots(0,0.1)(1,0.7)(2,1.2)(3,2.4)(4,3.1)(5,3.6)(6,4)(7,4.3)
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3.5,2.425)
 \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.15}{x 0.64  mul 0.185 add}
 \uput[dl](11,7.3){$(\Delta)$}
 \psset{arrowscale=2}
 \def\Func {x 0.64 mul 0.185 add}
 \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 12 def \Func)(!12 /x 12 def \Func)(12,0)
 \uput[l](0,7.865){\scriptsize \textcolor{violet}{$\approx\np{37.9}$}}
 \uput[r](3.5,2.425){\textcolor{red}{$G$}}
\end{pspicture}

\end{document}