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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S }
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie  juin 2009~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,7cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
% Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
%Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie. }

%\medskip

%Un dentiste analyse son fichier de clientèle et se rend compte que sur ses patients : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 60\:\% sont de sexe féminin ; 
%\item[$\bullet~$] 30\:\% sont mineurs (c'est-à-dire qu'ils sont âgés de moins de 18 ans) ; 
%\item[$\bullet~$] 16\:\% sont de sexe masculin et ont moins de 18 ans. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%\medskip

%II choisit au hasard la fiche de l'un de ses patients. On note : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[]  $F$ l'évènement : \og la fiche est celle d'une personne de sexe féminin \fg{} ; \item[] $\overline{F}$ l'évènement contraire de $F$ ; 
%\item[] $M$ l'évènement : \og la fiche est celle d'une personne mineure \fg{}  et  $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On pourra présenter les données dans un tableau. 

%\emph{Les résultats proposés ont été arrondis à $10^{-1}$ près.}

\begin{enumerate}
\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une fille de moins de 18 ans est : 
%	\begin{enumerate}
%	\item 0,16 
%	\item 0,30 
%	\item 0,14 
%	\end{enumerate}
On a $p(F)= 0,60$, donc $p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,6 = 0,40$ ;

De m\^eme $p(M) = 0,30$, donc $p\left(\overline{M}\right) = 1 - 0,3 = 0,70$ ;

Enfin $p\left(\overline{F} \cap M\right) = 0,16$.

On sait que $p(M) = p(F \cap M) + p\left(\overline{F} \cap M \right)$, donc $p(F \cap M) = p(M) - p\left(\overline{F} \cap M \right) = 0,30 - 0,16 = 0,14.$
\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une personne mineure, sachant qu'il s'agit d'une personne de sexe féminin est : 
%	\begin{enumerate}
%	\item 0,14 
%	\item 0,23 
%	\item 0,08 
%	\end{enumerate}
On a $p_{F}(M) = \dfrac{p(F \cap M}{p(F)} = \dfrac{0,14}{0,60} = \dfrac{7}{30} \approx 0,23$.
\item %$P_{\overline{F}}\left(\overline{M}\right) = \cdots$ 
%	\begin{enumerate}
%	\item 0,60 
%	\item 0,24
%	\item	0,70
%	\end{enumerate}	
On a $p(F) = p(F \cap M) + p\left(F \cap \overline{M} \right)$,  donc $p\left(F \cap \overline{M} \right) =  p(F) - p(F \cap M) =$

$ 0,60 - 0,14 = 0,46$.

Enfin $p\left(\overline{F} \right) = p\left(\overline{F} \cap M \right) + p\left(\overline{F} \cap \overline{M} \right)$, donc $p\left(\overline{F} \cap \overline{M} \right) = p\left(\overline{F} \right) - p\left(\overline{F} \cap M \right) =$

$ 0,40 - 0,16= 0,24$.

Donc $p_{\overline{F}}\left(\overline{M}\right) = \dfrac{p\left(\overline{F} \cap \overline{M} \right)}{p\left( \overline{F}\right)} =  \dfrac{0,24}{0,40} = \dfrac{24}{40} = \dfrac{6}{10} = 0,60$.
\item %La probabilité que la fiche soit celle d'une personne mineure ou de sexe féminin est : 	
%	\begin{enumerate}
%	\item 0,14 
%	\item 0,76 
%	\item 0,90
%	\end{enumerate}	 
Il faut calculer $p(M \cup F) = p(M) + p(F) - p(M \cap F) = 0,3 + 0,6 - 0,14 = 0,76$.
%\item On a tiré la fiche d'un  patient mineur. La probabilité que ce soit celle d'une personne de sexe féminin est : 
%	\begin{enumerate}
%	\item 0,47 
%	\item 0,23 
%	\item 0,14
%	\end{enumerate}
 
On cherche $p_{M}(F) = \dfrac{p(M \cap F}{p(M)} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15} \approx 0,47$.
\end{enumerate}

On a le tableau de répartition suivant :

\medskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\[\begin{tabularx}{0.53\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&$F$&$\overline{F}$&Total\\ \hline
$M$&14&16&30\\ \hline
$\overline{M}$&46&24&70\\ \hline
Total &60&40&\diagbox{100}{100}\\ \hline
\end{tabularx}\]

\medskip

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2 }\hfill 7 points}

\medskip

%Le tableau ci--dessous donne les effectifs des médecins au 31 décembre 1990 et au 31 décembre 2002 : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A&B&C&D&E\\ \hline
%1&Année &1990&2002&&\\ \hline
%2&&&&&\\ \hline
%3&Effectif des médecins&&&&\\ \hline
%4&Total &\nombre{177470}&\nombre{205185}&&\\ \hline
%5&dont : médecine générale&\nombre{93387}&\nombre{100541}&&\\ \hline
%6&\hspace{0.85cm} spécialités médicales&\nombre{48033}&\nombre{57127}&&\\ \hline
%7&\hspace{0.85cm} spécialités chirurgicales&\nombre{21393}&\nombre{24528}&&\\ \hline
%8&\hspace{0.85cm} psychiatrie&\nombre{11897}&\nombre{13727}&&\\ \hline
%9&\hspace{0.85cm} biologie médicale&\nombre{1950}&\nombre{3109}&&\\ \hline
%10&\hspace{0.85cm} santé publique et travail&\nombre{800}&\nombre{6153}&&\\ \hline
%11&&&&& \\ \hline  
%12&&&&& \\ \hline
%\multicolumn{6}{l}{\footnotesize Champ : France métropolitaine }\\ 
%\multicolumn{6}{l}{\footnotesize  Source : ministère de la Santé, de la  Jeunesse et des Sports}\\
%\end{tabularx}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %On voudrait connaître l'évolution, en pourcentage, de ces effectifs entre 1990 et 2002.
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est le taux d'évolution, donné en pourcentage, de l'effectif total des médecins, entre 1990 et 2002 ?
De 1990 à 2002, il y a eu une augmentation de $\dfrac{\nombre{205185} - \nombre{177470}}{\nombre{177470}} \times 100 \approx 15,6\:\%$.		 
%\emph{Le résultat sera donné à $0,1\:\%$ près.} 
	\item %Quelle formule doit-on entrer dans la cellule D4, puis recopier vers le bas, pour obtenir les taux d'évolution des effectifs des différentes catégories de médecins ? 
	La formule est \fbox{$=(C4-B4)/B4$}, en mettant la colonne en format pourcentage.
	\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans  l'évaluation.}
	 
%En supposant que l'effectif total des médecins augmente du même pourcentage chaque année entre 1990 et 2002, déterminer le taux d'évolution annuel de cet effectif.
Il faut trouver le nombre $t$ tel que $1,156 = (1 + t)^12$ soit $1,156^{1/12} = 1 + t$ et enfin 

$t = 1,156^{1/12} - 1 \approx \nombre{0,01215} \approx \nombre{0,0122}$

Le taux d'augmentation annuel est d'environ 1,22\:\%.
	\end{enumerate} 
\item %On sait qu'en moyenne, de 2002 à 2008, l'effectif total des médecins a augmenté de 0,7\:\% par an.
%On modélise cette évolution par une suite ; on désigne par $u_{n}$ l'effectif total des médecins pour l'année $(2002 + n)$. Ainsi $u_{0} = \nombre{205185}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur de $u_{1}$ (le résultat sera arrondi à l'unité).
		$u_{1} = \nombre{205185} \times 1,007 \approx \nombre{206621}$~ médecins. 
	\item %Justifier que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} = 1,007u_{n}$.
	On a $u_{n+1}= u_{n} \times (1 + 0,007) =  1,007u_{n}$.
	\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
$\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme \nombre{205185} et de raison $1,007$.

Donc $u_{n} = u_{0}\times 1,007^n = \nombre{205185} \times 1,007^n$ quel que soit le naturel $n$.	
%Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item %En supposant que cette modélisation reste valable jusqu'en 2010, à combien peut-on estimer le nombre total de médecins en 2010, arrondi à l'unité ?
2010 correspond à $n = 8$, donc $u_{8} =  \nombre{205185} \times 1,007^8 \approx \nombre{216961}.$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3 }\hfill 8 points}

\medskip

%Lors d'une épidémie observée sur une période de onze jours, un institut de veille sanitaire a modélisé le nombre de personnes malades. La durée, écoulée à partir du début de la période et exprimée en jours, est notée $t$. Le nombre de cas en fonction de la durée $t$ est donné en milliers, par la fonction $f$ de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~11], dont la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ est donnée en annexe. 

%Cette \textbf{annexe}, sur laquelle le candidat pourra faire figurer des traits de construction utiles au raisonnement. sera \textbf{rendue avec la copie}.

%\medskip
 
\textbf{Partie A : étude graphique}

\medskip
 
%\emph{Pour cette partie, on se réfèrera à la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère que la situation est grave lorsque le nombre de cas est d'au moins \nombre{150000}~malades. Pendant combien de jours complets cela arrive-t-il ?
La droite d'équation $y = 150$ coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont les bornes de l'intervalle  de jours o\`u la situation est grave.

On lit 4 et à peu près 10,2.

La situation est donc grave pendant un peu plus de 6 jours.
\item %La droite (OA) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$, où A est le point de coordonnées (10~;~112,5).
 
%Déterminer $f'(0)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
La droite (OA) a un coefficient directeur de $\dfrac{112,5}{10} = 11,25$ ; ce coefficent directeur est égal au nombre dérivé de la fonction $f$ pour $x = 0$, soit $f'(0) = 11,25$. 
\item %Le nombre $f'(t)$ représente la vitesse d'évolution de la maladie, $t$ jours après l'apparition des premiers cas.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement le nombre maximal de malades sur la période des 11 jours observés et le moment où il est atteint.
Graphiquement le maximum est à peu près égal à $f(7,5) = \nombre{253000}$~ malades et ceci se produit durant le 8\up{e} jour.		 
%Que peut-on dire alors de la vitesse d'évolution de la maladie ?
Le maximum correspond à un nombre dérivé nul, donc $f'(7,5) = 0$. La vitesse d'évolution est donc nulle au bout de 7 jours et demi. 
		\item %Déterminer graphiquement à quel moment de l'épidémie la maladie progresse le plus.
Le  moment de l'épidémie la maladie progresse le plus correspond au nombre dérivé maximal, donc à la tangente dont le coefficient directeur est le plus grand.
Ce point se situe entre le 3\up{e} et le 4\up{e} jour.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B : étude théorique}

\medskip
 
%La fonction $f$ évoquée dans la partie A est définie par: 

%\[f(t)= -t^3 + \dfrac{21}{2}t^2 + \dfrac{45}{4}t.\]

\begin{enumerate}
\item ~ %Recopier et compléter, à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1		&2		&3		&4		&5\\ \hline
$f(t)$	&0	&20,75	&56,5	&101,25	&149	&193,75\\ \hline \hline
$t$		&6	&7		&8		&9		&10		&11\\ \hline
$f(t)$	&229,5		&250,25	&250	&222,75	&162,5	&63,25\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Calculer $f'(t)$ et vérifier que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~11],
$f'(t) = - 3t^2 + \dfrac{21}{2}\times 2t + \dfrac{45}{4} = - 3\left(t^2 - 7t - \dfrac{15}{4} \right)$.

Étudions le trin\^ome $t^2 - 7t - \dfrac{15}{4} : \Delta  = 49  + 4 \times \dfrac{15}{4} = 64 = 8^2$.

Le trin\^ome a donc deux racines $t_{1} = \dfrac{7 + 8}{2} = \dfrac{15}{2}$ et $t_{2} = \dfrac{7 - 8}{2} = - \dfrac{1}{2}$.

On peut donc factoriser $f'(t) = -3 \left(t -  \dfrac{15}{2}\right)\left( t + \dfrac{1}{2} \right)$.  
%  $f'(t) = -3 \left(t + \dfrac{1}{2}\right)\left(t - \dfrac{15}{2}\right)$.
\item  %Étudier le signe de $f'(t)$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~11]. Cette réponse est-elle cohérente avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ? Expliquer.
Le trin\^ome est positif sauf entre les racines, donc $f'(t) < 0$ sauf entre les racines, donc $f'(t) > 0$ sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{15}{2}\right[$.

Conclusion : sur $\left[0~;~\dfrac{15}{2}\right[$ la fonction est croissante et sur $\left[\dfrac{15}{2}~;~11\right]$ elle est décroissante.

Ceci est cohérent avec l'allure de la courbe
\item   %Retrouver le résultat de la question 2. de la partie A.
$f'(t) = - 3\left(t^2 - 7t - \dfrac{15}{4} \right) \Rightarrow f'(0) = -3 \times \left(- \dfrac{15}{4} \right) = \dfrac{45}{4} = 11,25$.

\emph{Remarque} : on peut retrouver la valeur exacte du maximum : $f(7,5) = 253,125$ soit \nombre{253125} malades au maximum.

De m\^eme la d\'eriv\'ee est maximale pour $t=3,5$ et vaut \`a ce moment $f'(3,5) = 48$.  
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe (exercice 3)}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.018cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1.5,-50)(12.5,320)

\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-50)(\n,300)}
\multido{\n=-50+50}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(12.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=50]{->}(0,0)(-1.5,-50)(12.5,320)
\psplot{-1.5}{12.5}{11.25 x mul}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{11}{45 4 div x mul x dup mul 21 mul 2 div add x 3 exp sub}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](11.5,0){$t$ (en jours)}
\rput(1.75,320){nombre de jours en milliers}
\psline[linestyle=dashed](10,0)(10,112.5)(0,112.5)
\uput[l](0,112.5){112,5}\uput[ul](10,112.5){A}
\uput[u](3.4,120){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\psline[linewidth=1pt](0,150)(12,150)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{->}(4,150)(4,0)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed]{->}(10.153,150)(10.153,0)
\psline{->}(0,253.125)(7.5,253.125)(7.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

r\end{document}