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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie }}
\rfoot{\small{8 juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 8 juin 2012~\decofourright}}

\medskip

%L'ANNEXE  est à rendre avec la copie
% 
%L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
% 
%Une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat
 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.\\
%Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.\\ 
%Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.\\ 
%On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Une classe de terminale ST2S comprend 18 filles et 12 garçons.
% 
%Dans cette classe, 15 élèves, dont 8 filles, se sont présentés à un concours IFSI (instituts de formation aux soins infirmiers).
% 
%On choisit au hasard un élève de cette classe.
%
%Soit $A$ l'évènement \og cet élève est un garçon \fg.
% 
%Soit $B$ l'évènement \og cet élève s'est présenté à un concours IFSI \fg.
%
%\medskip
On peut dresser le tableau suivant concernant les $18 + 12 = 30$ élèves :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Filles&Gar\c{c}ons&Total\\ \hline
présentés au concours IFSI&8&7&15\\ \hline
non présentés&10&5&15\\ \hline
Total&18 &12& 30\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La valeur exacte de $p(A \cap B)$ est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $\dfrac{7}{12}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{7}{30}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{7}{15}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
7 gar\c{c}ons se sont présentés au concours, donc $p(A \cap B) = \dfrac{7}{30}$. Réponse \textbf{b.~~}
\item %La valeur exacte de $p_{A}(B)$ est :
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{7}{12}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{7}{30}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{7}{15}$\\ 
%\end{tabularx}
%\medskip
Sur les 2 gar\c{c}ons, 7 se sont présentés au concours, donc $p_{A}(B) = \dfrac{7}{12}$. Réponse \textbf{a.~~}
\item %Les évènements $A$ et $B$ : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}sont incompatibles&\textbf{b.~~} sont indépendants& \textbf{c.~~} ne sont ni incompatibles, ni indépendants.
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $p(A \cap B) = \dfrac{7}{30} \neq 0$ : les évènements $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.

D'autre part $p(A) \times p(B) = \dfrac{12}{30} \times \dfrac{15}{30} =  \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5} \neq p(A \cap B)$. Les évènements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants. Réponse \textbf{c.~~}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans les banques, le 1\up{er} août 2011, le taux de rémunération annuelle du livret A est passé à 2,25\,\%. 
%
%À cette date, on a placé une somme de 800~euros sur un livret A.
% 
%On s'intéresse à l'évolution de ce capital, en supposant que le taux de rémunération du livret A reste stable pour les dix années à venir.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La valeur du capital le 1\up{er} août 2012 sera de :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} 827~\euro&\textbf{b.~~}802,25~\euro&\textbf{c.~~}818~\euro.\\
%\end{tabularx}
%\medskip 
Au bout de un an le capital sera de $800 \times \left(1 + \frac{2,25}{100} \right) = 800 + 8 \times 2,25 = 800 + 18 = 818$~\euro. Réponse  \textbf{c.~~}
\item %On note $u_{0} = 800$ et $u_{n}$ le capital acquis le 1\up{er} août de l'année $2011 + n$.
 
%On a entré les données suivantes dans un tableur : 

%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B &C &D &E\\ \hline 
%1 &$n$ 	&$u_{n}$	&		&	& \\ \hline
%2 &0 	&800		&		&	& \\ \hline
%3 &1	&			&		&	& \\ \hline 
%4 &2 	&			&		&	& \\ \hline
%5 &3 	&			&		&	& \\ \hline
%6 &4 	&			&		&	& \\ \hline
%7 &5	&			&		&	& \\ \hline
%8 &6 	&			&		&	& \\ \hline
%9 &7 	&			&		&	& \\ \hline
%10&8 	&			&		&	& \\ \hline
%11&9 	&			&		&	& \\ \hline
%12&10 	&			&		&	& \\ \hline
%13& 	&			&		&	& \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

%La formule à saisir dans la cellule B3, qui permettra d'afficher les valeurs de $u_{n}$ par une recopie automatique vers le bas, est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $= 800 * \np{1,0225}$&\textbf{b.~~}$= \text{B}2 * \np{1,0225}$&\textbf{c.~~}$= \$\text{B}\$2 * \np{1,0225}$.\\
%\end{tabularx}
%\medskip  
Réponse \textbf{b.~~} 
\item %En considérant que le taux de rémunération reste constant jusqu'en 2020, la valeur du capital, arrondie au centime, le 1\up{er} août de l'année 2020 serait :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} 999,36~\euro&\textbf{b.~~}977,37~\euro&\textbf{c.~~}820,25~\euro.\\
%\end{tabularx}
%\medskip   
Au bout de 9 années le capital sera égal à :
 
$800 \times \left(1 + \frac{2,25}{100} \right)^9 \approx 977,37$~\euro. Réponse  \textbf{b.~~} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip 

%Le tableau suivant donne l'espérance de vie à la naissance des hommes et des femmes ; elle est exprimée en années.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année de naissance &Rang de l'année $x_{i}$ &Espérance de vie des femme $y_{i}$ &Espérance de vie des hommes $z_{i}$\\ \hline
%1990 &0 &81 &72,7\\ \hline 
%1994 &4 &81,8 &73,6 \\ \hline
%1996 &6 &82 &74,1\\ \hline 
%1998 &8 &82,4 &74,7\\ \hline 
%2000 &10 &82,8 &75,3\\ \hline 
%2006 &16 &84,1 &77,2\\ \hline 
%2009 &19 &84,5 &77,8\\ \hline 
%\multicolumn{4}{r}{\emph{Source: INSEE. Champ : France métropolitaine}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip

%Expliciter par une phrase ce que représente le nombre 75,3 dans le tableau ci-dessus. 
75,3 ans représente l'espérance de vie moyenne des hommes nés en 2000.
\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%On s'intéresse maintenant à la série des espérances de vie des femmes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %\emph{La feuille de papier millimétré fournie sera prise en format \og paysage\fg}   $\Longrightarrow$ \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(2,0.5)\psframe(0,-0.5)(2,0.5)\end{pspicture} 

%Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ où $x_{i}$ représente le rang de l'année et $y_{i}$ représente l'espérance de vie des femmes à la naissance.
 
%\begin{tabular}{l l}
%Unités graphiques :& 	1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses\\ 
%&2 cm représentent une année sur l'axe des ordonnées.\\
%\end{tabular}
% 
%On graduera l'axe des abscisses à partir de la valeur $0$ et l'axe des ordonnées à partir de la valeur $80$.
Graphique
\end{enumerate}
%\begin{figure}
\begin{center}
\begin{landscape}
\vspace*{2cm}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(29,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](0,0)(29,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Oy=80]{->}(0,0)(0,0)(29,7)
\psdots[dotscale=1.4](0,1)(4,1.8)(6,2)(8,2.4)(10,2.8)(16,4.1)(19,4.5)
\psdots[dotscale=1.4,linecolor=red](9,2.7)\uput[dr](9,2.7){\red G}
\psplot{0}{29}{0.2 x mul 0.9 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](25,0)(25,5.9)(0,5.9)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3,linecolor=blue](0,6.5)(28,6.5)(28,0)
\uput[l](0,6.5){\blue 86,5}
\end{pspicture}

\end{landscape}
\end{center}
%\end{figure}
\begin{enumerate}{\setcounter{enumi}{1}}
\item %On note G le point moyen du nuage.
 
%Calculer les coordonnées de G. On arrondira les résultats à $0,1$~près.
$x_{\text{G}} = \dfrac{0 + 4 + 6 + 8 + 10 + 16 + 19}{7} = \dfrac{63}{7} = 9$ ;

$y_{\text{G}} = \dfrac{81 + 81,8 + 82 + 82,4 + 82,8 + 84,1 + 84,5}{7} = \dfrac{578,6}{7} \approx 82,657 \approx 82,7$ à $0,1$~près. 
\item %Déterminer une équation de la droite $D$ de coefficient directeur $0,2$ et qui passe par G.
La droite $D$ a pour équation $y = 0,2x + b$.

G $ \in D \Rightarrow 82,7 = 0,2 \times 9 + b \iff b = 82,7 - 0,2 \times 9 = 82,7 - 1,8 = 80,9$.

Une équation de $D$ est donc : $y = 0,2x + 80,9$. 
\item %Placer G sur le graphique et tracer la droite $D$.
$D$ contient G et par exemple le point de coordonnées (0~;~80,9). Voir la figure.
 
%Dans cette question, on considère que la droite $D$ a pour équation $y = 0,2x + 80,9$.
 
%Elle réalise un bon ajustement du nuage de points. On suppose que cet ajustement reste valable au-delà de l'année 2009.
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement l'espérance de vie d'une femme née en 2015 en France métropolitaine.
2015 correspond à une abscisse de 25. On trace la droite d'équation $x = 25$ qui coupe $D$ en un point dont l'ordonnée est approximativement égale à $85,9$.
		\item %En utilisant cet ajustement, déterminer, par le calcul, l'année de naissance d'une femme qui pourra envisager une espérance de vie de 86 ans et demi.
On trace la droite d'équation $y = 86,5$ qui coupe la droite $D$ en un point dont l'abscisse est à peu près égale à $28$.

Par le calcul il faut résoudre l'équation :

$0,2x + 80,9 = 86,5$ soit $0,2x = 5,6$, soit $x = \dfrac{5,6}{0,2} = \dfrac{56}{2} = 28$.

 L'anné de naissance est donc 2018.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip
 
%\emph{Les parties de cet exercice sont indépendantes}
%
%\medskip
% 
%On injecte à une \textbf{femme malade} une dose de médicament.
% 
%La quantité de médicament (exprimée en cm$^3$) présente dans le sang de la malade, au bout du temps $t$ (exprimé en heures), est donnée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~8] par : 
%
%\[f(t) = 3 \times 0,86^t.\]
% 
%On donne en ANNEXE, à rendre avec la copie, un graphique sur lequel figure la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$, ainsi que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4. 
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(1)$. Retrouver cette valeur sur le graphique (on laissera apparents les traits de construction). Interpréter cette valeur.
$f(1) = 3 \times 0,86 = 2,58$.

Au bout d'une heure il reste 2,58~cm$^3$ de médicament dans le sang de cette malade.

Sur le graphique on trace la droite d'équation $x = 1$ qui coupe $\mathcal{C}$ en un point dont l'ordonnée est environ $2,6$. 
\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 1,5$. 
%\emph{On laissera apparents les traits de construction sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.}
La droite d'équation $y = 1,5$ coupe $\mathcal{C}$ en un point dont l'abscisse est environ $4,6$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la quantité de médicament restant dans le sang de la malade au bout de 8 heures. \emph{On arrondira ce résultat à $0,1$~près}.
On a $f(8) = 3 \times 0,86^8 \approx 0,897 \approx 0,9$~cm$^3$ à 0,1 près.

Au bout de 8 heures il reste dans le sang de cette malade environ  $0,9$~cm$^3$.
		\item %Quel pourcentage représente cette quantité par rapport à la quantité initialement injectée ?
Le pourcentage est égal à $\dfrac{0,9}{3} \times 100 = 30$. Il reste 30\,\% de médicament.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer, par le calcul, le temps nécessaire pour que la quantité de médicament dans le sang de la malade diminue de moitié. On donnera le résultat arrondi à 0,01~près, puis on convertira ce résultat en heures et minutes.
La moitié de 3 est égale à 1,5. Il faut donc résoudre l'équation :

$3 \times 0,86^t = 1,5$ ou $2 \times 0,86^t = 1$, soit

$0,86^t = 0,5$ ou $t \ln 0,86 = \ln 0,5$ par croissance du logarithme et enfin :

$t = \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,86} \approx 4,595 \approx 4,60$~(h).

Or  4,60 = 4~(h) + $0,60 \times 60$~(h) = 4~h 36~min.
 
%Quel résultat précédent retrouve-t-on ainsi ?
On retrouve, par le calcul,  le résultat de la qu'estion 2.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%\emph{Dans cette question, toute prise d'initiative, même non aboutie, sera valorisée.}
%
%\medskip 
%
%On rappelle que la fonction $f^{\prime}$ fonction dérivée de la fonction $f$, exprime la vitesse d'évolution de la quantité de médicament à un instant donné. Elle s'exprime en cm$^3$/h.
% 
%Quel élément du graphique apporte un renseignement sur la vitesse d'évolution de la quantité de médicament au bout de 4 heures ? Donner une valeur approchée de cette vitesse d'évolution. 
%
%\emph{On laissera apparents les traits de construction sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.}
%
%\medskip
On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point d'abscisse $t$ est égal à la vitesse d'évolution de la quantité de médicament au bout de $t$ heures.

Dans le triangle rouge on peut calculer la pente de la tangente : à peu près $\dfrac{1}{4}$, donc le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4 est égal à $- 0,25$ : la vitesse vitesse d'évolution de la quantité de médicament au bout de 4 heures est donc à peu près $- 0,25$~cm$^3$/h.

\bigskip

\textbf{Partie C}

%\medskip
%
%On injecte maintenant ce même médicament à un \textbf{homme malade}.
%  
%Sur l'intervalle [0~;~8] la fonction donnant la quantité de médicament (exprimée en cm$^3$) présente dans le sang du malade, après un temps $t$ (exprimé en heures), est du type : $g(t) = k \times a^t$. 
%
%On souhaite déterminer les valeurs des réels $k$ et $a$ en utilisant les données suivantes: 

\begin{enumerate}
\item %La quantité injectée au malade à l'instant $t = 0$ est de 5 cm$^3$. 

%En déduire la valeur du nombre réel $k$.
On a donc $g(0) = k \times a^0 = k = 5$~(cm$^3)$. Donc $g(t) = 5 \times a^t$. 
\item %Au bout d'une heure, la quantité de médicament présente dans le sang du malade s'élève à 4,45cm$^3$. En déduire la valeur du nombre réel $a$. 
On a $g(1) = 5 \times a^1 = 5a = 4,45$, soit $a = \dfrac{4,45}{5} = \dfrac{8,9}{10} = 0,89$.
%Conclure en donnant l'expression de $g(t)$.

Finalement la quantité de médicament présente au bout  du temps $t$ est chez cet homme : $g(t) =5 \times 0,89^t$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE \emph{à rendre avec la copie}}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.2,3.2) 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange](0,0)(8,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.2,3.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[r](0,3.15){$f(t)$} \uput[u](8.15,0){$t$}\uput[dl](0,0){O} 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{0.86 x exp 3 mul}
\psplot[linestyle=dashed,plotpoints=5000]{0}{8}{2.631 0.2475 x mul sub}
\psdots[dotscale=1.3](4,1.641)(0,3)(8,0.89765)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](0,1.5)(4.595,1.5)(4.595,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](1,0)(1,2.58)(0,2.58)
\pspolygon[linecolor=red](4,1.641)(0,1.641)(0,2.631)
\multido{\n=1.0+.1}{21}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}