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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S  Polynésie  juin 2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

{\footnotesize
%\begin{center} 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
%\end{center}
}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une
absence de réponse.

\medskip

Un test contre une maladie animale a été élaboré par une entreprise pharmaceutique. Pour connaître sa
fiabilité, une population comportant des animaux malades et des animaux sains est testée.

\smallskip

On sait que la proportion d'animaux malades dans la population testée est de 75\,\% ;

 parmi les animaux malades, 95\,\% ont un test positif ;
 
 parmi les animaux sains, 89\,\% ont un test négatif.

\medskip

On choisit au hasard un animal de la population testée. On note :

 $M$ l'événement : \og l'animal est malade \fg{} ;
 
 $P$ l'événement : \og le test est positif \fg{} ; 

 L'évènement contraire d'un évènement $E$ est noté $\overline{E}$ .

\medskip

\emph{Pour répondre aux questions, le candidat pourra s'aider d'un arbre pondéré.}
}

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\taput{\np{0.75}}}
	{\TR{$P$}\taput{\np{0.95}}
	\TR{$\overline{P}$}\tbput{\np{0.05}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{\np{0.25}}}
	{\TR{$P$}\taput{\np{0.11}}
	\TR{$\overline{P}$}\tbput{\np{0.89}}
	}
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité que l'animal choisi soit sain est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\ovalbox{\textbf{a.}~~ \np{0.25}}  &	\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{b.}~~ \np{0.11}} &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{c.}~~ \np{0.0375}}& \psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{d.}~~ \np{0.7125}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité que, parmi les animaux sains, le test soit positif est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{a.}~~ 0,0275  }&	\ovalbox{\textbf{b.}~~0,11}  &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{c.}~~ 0,2225  }& \psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{d.}~~ 0,05}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item La probabilité de l'évènement $\overline{P}$ sachant $M$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{a.}~~ 0,75 } &	\ovalbox{\textbf{b.}~~ 0,05} &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{c.}~~ 0,0375} &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{ \textbf{d.}~~ 0,94}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  La probabilité de l'évènement $P \cap M$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{a.}~~  0,95}  &	\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{b.}~~ 0,75}  &\ovalbox{\textbf{c.}~~ 0,7125} & \psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{d.}~~ 0,1045}\\
\end{tabularx}

\medskip

\item La probabilité de l'évènement $P$ est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{a.}~~  0,75} &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{	\textbf{b.}~~ 0,95} &\psCancel[linewidth=0.3pt,cancelType=s]{\textbf{c.}~~ 1,06 }& \ovalbox{\textbf{d.}~~ 0,74}\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

 \vspace{0.5cm}
{\footnotesize

Une élève de première ST2S, a choisi comme thème, pour son dossier d'activités interdisciplinaires, le
saturnisme chez les enfants en France. Le saturnisme est une maladie qui correspond à une
intoxication aiguë ou chronique par le plomb.

Suite à ses recherches, elle a trouvé des statistiques indiquant le nombre d'enfants de 0 à 6 ans ayant
un taux de plomb dans le sang anormalement élevé sur la période 2005 -- 2009 en France. Ce nombre
est appelé nombre de plombémies.

Le tableau suivant est extrait d'une feuille de tableur que l'élève a produite. La colonne C est au
format Pourcentage.
}
\renewcommand\arraystretch{1.95}
{\small
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor[gray]{0.9}}c |*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.9}& \textbf{A}& \textbf{B}& {\textbf{C}}\\\hline
\textbf{1} 			& Année  du prélèvement sanguin	& Nombre de plombémies & Taux d'évolution en \% entre deux années consécutives\\\hline
\textbf{2} 			& 2005		&\np{9029}			&\cellcolor[gray]{0.5}\\\hline
\textbf{3} 			&2006		&\np{7871} 		&\\\hline
\textbf{4} 			&2007		&\np{7470} 		&\\\hline
\textbf{5}			&2008		&\np{7393}		&\\\hline
\textbf{6}			&2009		&\np{6559}		&\\\hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : Système national de surveillance des plombémies de l'enfant}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une formule que l'on peut  rentrer dans la cellule C3 qui, recopiée vers le bas, donne le taux
d'évolution du nombre de plombémies entre deux années consécutives est: 

=(B3-B2)/B2 \hspace{1 em} ou \hspace{1 em} =\$B3-\$B2)/\$B2.
\item Calculons le taux d'évolution entre l'année 2008 et l'année 2009. $t=\dfrac{\np{6559}-\np{7393}}{\np{7393}}\approx -\np{0.1128}$.

 Le taux d'évolution entre l'année 2008 et l'année 2009, en pourcentage arrondi à 0,1\,\% près est \np{11.3}\,\%.
\item Calculons le nombre total $S$ de plombémies dénombrées entre 2005 à 2009, ces années  étant incluses.

$S=\np{9029}+\np{7871}+\np{7470}+\np{7393}+\np{6559}=\np{38322}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
L'élève souhaite estimer le nombre de plombémies pour l'année 2010. Pour cela, elle considère que le
nombre de plombémies baisse de 11\,\% par année à partir de 2005.

Elle modélise alors cette évolution par une suite géométrique de terme général $u_n$ où $n$ désigne un
entier naturel et $u_n$ représente le nombre de plombémies de l'année (2005 + $n$).

On a alors $u_0 = \np{9029}$.
}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
	\item Montrons que la raison de cette suite est égale à 0,89.
	
À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient multiplicateur de  $1+t$. 

Pour une baisse de 11\,\%  c'est-à-dire pour $t=-\np{0.11}$, le coefficient multiplicateur est donc $1-\np{0.11}=\np{0.89}$.

 La suite étant géométrique, un terme se déduit du précédent  en le multipliant par  la raison.

 La raison est donc  \np{0.89}.
	\item  $u_1=\np{9029}\times \np{0.89}\approx\np{8036}$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Exprimons $u_n$ en fonction de $n$.
 Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$. $u_n=\np{9029}\times(\np{0.89})^n$.
	\item Le nombre de plombémies que l'élève peut estimer pour l'année 2010 est $u_5$. 

$u_5=\np{9029}\times (\np{0.89})^5\approx\np{5042}$ à une unité près.
	\end{enumerate}
\item  La somme des $n+$1 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ ($q \not=1$) est :
\[u_0+u_1+u_2+\dots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
	\begin{enumerate}
	\item Calculons, pour les années 2005 à 2009 incluses, le nombre total $T$ de plombémies que l'élève peut
	obtenir avec sa modélisation.
	
$T = u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=\np{9029}\times \dfrac{1-\np{0.89}^5}{1-\np{0.89}}\approx \np{36247}$.

	\item  L'élève considère que sa modélisation est acceptable si l'écart entre $T$ et $S$ n'excède pas 7\,\% de $S$. Calculons $\dfrac{T-S}{S}$. 

$\dfrac{T-S}{S}=\dfrac{\np{36247}-\np{38322}}{\np{38322}}\approx \np{- 0.054}$. Puisque cet écart est inférieur à 7\,\% de S, sa modélisation est acceptable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
%\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Un médicament est administré en intraveineuse. Un laboratoire étudie le processus d'absorption de ce
médicament par l'organisme pendant les 12 heures qui suivent l'injection.

La quantité de produit présent dans le sang est exprimée en cm$^3$. Le temps $t$ est exprimé en heures. La
quantité de produit présent dans le sang, en fonction du temps $t$, est donnée par $f(t)= 4\times 0,85^{t}$ où $t$
désigne un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;12~].
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer la quantité de produit présent dans le sang à l'instant $t= 0$ c'est-à-dire calculons $f(0)$. $f(0)=4$.
\item On admet que la fonction $f$ a les mêmes variations sur l'intervalle [0~;~12] que la fonction $g$ définie
sur l'intervalle [0~;~12] par $g (t )= 0,85^t$.

Si $0<a <1$ nous savons que la fonction $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement décroissante  sur $\R$. Par conséquent la fonction $f$ est strictement décroissante  sur  $[0~;~12]$.

 Dressons le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~12].
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2)
\psframe(6,2)
%\psline(0,2.5)(8,2.5)
 \psline(1,0)(1,2) \psline(0,1.5)(6,1.5) 
\uput[u](0.5,1.45){$t$}  \uput[u](1.3,1.45){$0$} \uput[u](5.65,1.45) {$12$}    
\rput(0.5,1.15){\scriptsize Variation}\rput(0.4,0.65){ \scriptsize de $f$}
 \rput(1.32,1.3){$4$}\rput(5.65,0.25){$\np{0.57}$}
\psline{->}(1.5,1.28)(5.37,0.25)

\end{pspicture}
\end{center}

\item Résolvons l'équation $f (t)=1$.

$4\times(\np{0.85})^t=1  \quad \np{0.85}^t=\dfrac{1}{4}\quad \np{0.85}^t=\np{0.25}\quad t\log (\np{0.85})=\log(\np{0.25})\quad t=\dfrac{\log \np{0.25}}{\log \np{0.85}}\approx \np{8.5}$

La solution de l'équation $f(t)=1$ est $\dfrac{\log \np{0.25}}{\log\np{ 0.85}}$ soit à $10^{-1}$ près \np{8.5}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(12.7,5.2)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.5,linewidth=1pt]{->}(0,0)(12.5,5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=0.5,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
 \multido{\n=0+0.5}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,5)}
 \multido{\n=0+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12.5,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{12}{0.85 x  exp 4 mul}
\psset{arrowscale=2}
\def\F{0.85 x exp 4 mul}
 \rput(0.15,5){$y$}
 \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=-<,linecolor=green,linewidth=0.5pt]{<-}(!0 /x 7 def \F)(!7 /x 7 def \F)(7,0)
 \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,linecolor=red,linewidth=0.5pt]{->}(!0 /x 1.77015 def \F)(!1.77015 /x 1.77015 def \F)(1.77015,0)
 \psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,linecolor=cyan,linewidth=0.5pt]{->}(!0 /x 8.53005 def \F)(!8.53005 /x 8.53005 def \F)(8.53005,0)
 
 \rput(12.57,-0.1){$t$}\rput(-0.5,1.3){\textcolor{green}{$\approx 1,3$}}\rput(1.74,-0.10){\scriptsize\textcolor{red}{$\approx 1,75$}}\rput(8.53,-0.15){\scriptsize \textcolor{cyan}{$\approx 8,5$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer graphiquement la quantité de produit présent dans le sang au bout de 7 heures, lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 7. Nous trouvons environ 1,3.
\item Déterminons graphiquement au bout de combien de temps la quantité de produit présent dans le sang
aura diminué de 25\,\%.  Il reste donc 3~cm$^3$ de produit dans le sang.

 L'abscisse du point d'ordonnée 3 vaut  environ 1,75.
 
  Au bout d'environ 1 heure trois-quarts, la quantité de produit aura diminué de 25\`\%.
\item Le laboratoire indique que le médicament n'est plus efficace lorsque la quantité de produit présent
dans le sang est inférieure à 1 cm$^3$. Déterminons graphiquement la durée d'efficacité de ce médicament.

 L'abscisse du point  d'ordonnée 1 est environ 8,5.  Par conséquent, il a fallu 8 heures et demie pour que la quantité ne soit plus que de 1 cm$^3$.  
\end{enumerate}

\end{document}