\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp,enumitem}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{lscape}
% Tapuscrit : Denis Vergès
% Correction :Jean-Claude Souque
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Polynésie 16 juin 2014~\decofourright }}
  \end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

On présente dans un tableau, extrait d’une feuille de calcul, le nombre de cartes SIM (carte
électronique permettant d’utiliser un réseau de téléphonie mobile avec un téléphone mobile) en
service en France métropolitaine.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{gray!30}}c|m{2.329cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{gray!30}&\centering\textbf{A}& \textbf{B}& \textbf{C}& \textbf{D}& \textbf{E}&\textbf{ F}&\textbf{ G} & \textbf{H}\\
\hline
1&& \hspace{1em}{\footnotesize Juin} \phantom{x} 2010&{{\footnotesize Décembre}} 2010& \hspace{1em}{\footnotesize Juin} \phantom{x} 2011&{\footnotesize Décembre} 2011&\hspace{1em}{\footnotesize Juin} \phantom{x} 2012&{{\footnotesize Décembre}} 2012&\hspace{1em}{\footnotesize Juin} \phantom{x} 2013\\\hline
 2&\begin{minipage}{2.3cm}
 {\footnotesize Nombre de cartes SIM en France métropolitaine(en millions)}\end{minipage}&62,1 &65 &66 &68,6& &73,1 &74,8\\\hline
 3&{\footnotesize Taux d’évolution semestriel} &\cellcolor{lightgray!50}&4,7\,\%& &3,9\,\%& 4,8\,\%&&\\\hline
\end{tabularx}
\vspace{-2.5ex}
\begin{flushright}\emph{Source : ARCEP}\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Calculons le nombre de cartes SIM, arrondi au dixième de million, en service en France
métropolitaine en juin 2012.

Entre décembre 2011 et juin 2012, le taux d'évolution est de \np{4.8}\,\% ce qui signifie que le nombre de décembre a été multiplié par  $\np{1.048}$.

$\np{68.6}\times \np{1.048}= \np{71.8928}$

Le nombre de cartes SIM, arrondi au dixième de million, en service en France métropolitaine en juin 2012 est d'environ \np{71.9} millions.
\item Calculons le taux d’évolution, arrondi à 0,1\,\%, du nombre de cartes SIM en service en France
métropolitaine entre décembre 2012 et juin 2013.
Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$t=\dfrac{\np{74.8}-\np{73.1}}{\np{73.1}}\approx \np{0.02356}$

Le taux d’évolution, arrondi à 0,1\,\%, du nombre de cartes SIM en service en France
métropolitaine entre décembre 2012 et juin 2013 est d'environ \np{2.4}\,\%.
\item  Les cellules de C3 à H3 sont au format pourcentage avec une seule décimale.

Une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d’obtenir
les taux d’évolution semestriels dans la plage de cellules C3 : H3 est : \psframebox{=(C\$2-B\$2)/B\$2}
\end{enumerate}
\item {\footnotesize On suppose qu’à partir de juin 2013 le nombre de cartes SIM en service en France
métropolitaine augmente chaque semestre de 3\,\%.

On note $u_n$ le nombre de cartes SIM en service en France métropolitaine, exprimé en millions, à
la fin du n-ième semestre après juin 2013. On définit ainsi la suite $\left(u_n\right)$  avec $u_0=74,8$ et $u_1$ est
le nombre de cartes SIM en service en France métropolitaine en décembre 2013.}
\begin{enumerate}
\item   La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique  car chaque élément se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre, le coefficient multiplicateur associé à une évolution de 3\,\% c'est-à-dire \np{1.03}.

 Par conséquent, la raison est  \np{1.03}.
\item 
Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. $u_{n}=\np{74.8}\times(\np{1.03})^n$.
\item Calculons $u_4$. $u_4=\np{74.8}\times(\np{1.03})^4\approx \np{84.2}$. %Donner son arrondi au dixième de million et interpréter le résultat.
Ce résultat correspond au nombre  de cartes SIM, arrondi au dixième de million, en service en France métropolitaine en juin 2015.
\item Résolvons l’inéquation : $74,8 \times 1,03^n \geqslant 100$.

\[
\begin{array}{rl c}
74,8 \times 1,03^n &\geqslant 100 &\\
\np{1.03}^n &\geqslant \dfrac{100}{\np{74.8}}&\\
 \np{1.03}^n &\geqslant \np{1.33689}&\\
 \log \np{1.03}^n&\geqslant \log \np{1.33689}&\text{\footnotesize $\log$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$}\\
n\log \np{1.03}&\geqslant \log \np{1.33689}&\\
n&\geqslant \dfrac{\log \np{1.33689}}{\log \np{1.03}}&\\
n&\geqslant \np{9.822}&\\
\end{array}
\]
L'ensemble des solutions de cette inéquation est l'ensemble des entiers naturels supérieurs à 10.

 Cela signifie que selon ce modèle, le nombre de cartes SIM, en service en France métropolitaine dépassera les cent millions 10 semestres après  juin 2013 c'est-à-dire en juin 2018.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip
\begin{center}
\emph {Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

Les résultats d’une étude concernant le nombre de personnes d’une commune ayant attrapé
la grippe entre 2007 et 2012 sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.89cm}|*{6}{c|}}
\hline
Année& 2007 &2008& 2009& 2010& 2011& 2012\\\hline
Rang de l’année $(x_i)$ & 1& 2& 3& 4 &5& 6\\\hline
{\small Nombre de personnes
ayant attrapé la grippe $(y_i)$}& 618& 601 &605& 600& 597& 591\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Le nuage de points associé aux données du tableau précédent de coordonnées $(x_i~;~y_i)$ est représenté dans le repère donné \textbf{en annexe}.
\item Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.

\[
\overline{x_G}=\frac{1+2+\dots+5+6}{6}=\np{3.5} \qquad \overline{y_G}=\frac{\np{618}+\np{601}+\dots+\np{591}}{6}=\np{602}\]

G $\left(\np{3.5}~;~602 \right)$ est placé  sur le graphique.
\end{enumerate}
\item On considère la droite (D) d’équation : $y =-4,3x + 617,05$. On admet que la droite (D) réalise
un ajustement affine du nuage de points, valable jusqu’en 2015.
\begin{enumerate}
\item  Le point G appartient à la droite (D) si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse \np{3.5}.

$y= - 4,3 \times \np{3.5} + 617,05 = 602$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à (D).
\item La droite (D) est tracée dans le repère précédent.
\item Déterminons graphiquement puis par le calcul une prévision du nombre de personnes qui
auront la grippe en 2015.% Pour la lecture graphique, on laissera apparent les traits de construction.

En 2015, le rang de l'année est 9, lisons l'ordonnée du point de(D) d'abscisse 9.

 Avec la précision permise par le graphique, nous lisons \np{578.4}.
 
Par le calcul $y=-4,3\times 9 + 617,05=578,35$.

Par conséquent, une estimation du nombre de personnes malades de la grippe en 2015 serait de \np{578}. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B }
\medskip

En 2013, dans le lycée de cette commune, on a compté 240 élèves absents pour raison médicale
parmi lesquels il y a 108 filles.

On sait que 25\,\% de ces filles ont été absentes à cause de la grippe et que 12,5 \,\% des élèves absents
pour raison médicale sont des garçons atteints de la grippe.
\begin{enumerate}
\item  En annexe, on a commencé à remplir un tableau résumant la situation décrite et dans lequel
figure une donnée dans la case grisée.
		\begin{enumerate}
		\item Le nombre \og 30\fg{} indiqué dans cette case grisée est le nombre de garçons absents à cause de la grippe.
		\item Nous savons que 12,5 \,\% des élèves absents pour raison médicale sont des garçons atteints de la grippe.
$240\times \dfrac{\np{12.5}}{100} = 30$
%Indiquer le calcul effectué pour obtenir ce nombre à partir des données de l’exercice.
		\item  le tableau de \textbf{l’annexe} a été complété  .
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
On choisit au hasard un élève absent pour raison médicale.

On considère les évènements suivants :

$F$ : \og l’élève choisi est une fille\fg{};

$M$ : \og l’élève choisi a été absent à cause de la grippe\fg.

L'univers est l'ensemble des élèves absents pour raison médicale et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 

La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$

Le nombre d'éléments de l'univers est 240.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Calculons la probabilité de l’évènement $F$. Il y a $108$ filles absentes pour raison médicale d'où $p(F)=\dfrac{108}{240}=\dfrac{9}{20}=\np{0.45}$.
\item \begin{enumerate}
\item    $F \cap M$ est l’évènement: \og la personne choisie est une fille  absente à cause de la grippe\fg.
\item Vingt sept filles ont été absentes à cause de la grippe. $p(F \cap M) =\dfrac{27}{240}=\dfrac{9}{80}=\np{0.1125}$.
\end{enumerate}
\item Cinquante sept élèves ont été absents à cause de la grippe. $p(M)=\dfrac{57}{240}=\dfrac{19}{80}=\np{0.2375}$.

 La probabilité de choisir un élève absent à cause de la grippe est celle annoncée.
\item La probabilité de choisir une fille sachant que l’absence est due à la grippe est notée $p_{M}(F)$.

$p_{M}(F)=\dfrac{p(F\cap M)}{p(M)}=\dfrac{\frac{27}{240}}{\frac{57}{240}}=\dfrac{27}{57}=\dfrac{9}{19}\approx \np{0.474}$.

{\footnotesize Nous aurions pu calculer le quotient de \np{0.1125} par \np{0.2375}.}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}
\medskip

{\footnotesize Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n’est
demandée.

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour une absence de réponse ou
pour une réponse inexacte.}}
\begin{enumerate}
\item  La fonction $g$ est définie sur l’intervalle [0~;~100] par : $g(x)= 4\times 0,7^{x+1}$ . On a alors :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s]{$g(2) = 2,96$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s]{$g(2) =21,952$} &\textbf{c.~~}\psframebox{$g(2) =1,372$ }&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s]{ $g(2) = 8,84$}.
\end{tabularx}

\medskip

\item La fonction $h$ est définie sur l’intervalle [0~;~5] par : $h(x) = x^3 - 6x^2 -15x + 3$. La fonction $h$ est
dérivable sur l’intervalle [0~;~5] et on note $h'$ sa fonction dérivée. On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox{$h '(x) =(3x +3)(x - 5)$} &\psCancel[cancelType=s]{\textbf{b.~~}$h'(x) = 3x^2 - 6x + 3$} \\
\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s]{$h'(x) = 3x^2 -12x + 3 $} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s]{$h'(x) = -15x -15$}.
\end{tabularx}
{\footnotesize $h'(x)=3x^2-6\times (2x)-15$.}
\medskip
 
\item  La fonction $m$ est définie sur [1~;~9]. On suppose que $m$ est dérivable sur l’intervalle [1~;~9] et on
note $m'$ sa fonction dérivée avec : $m'(x) = -2x + 6$ . On en déduit que :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s]{La fonction $m$ est décroissante sur [1~;~9]} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s]{La fonction $m$ est croissante sur [1~;~9]} \\
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s]{La fonction $m$ est décroissante sur [1~;~3]}&\textbf{d.~~} \psframebox{La fonction $m$ est croissante sur [1~;~3]}
\end{tabularx}

{\footnotesize $-2x+6>0 \iff x <3$.}
\medskip


\item  On donne les représentations graphiques de quatre fonctions définies sur l’intervalle [0~;~4]. On
suppose que chacune de ces fonctions est dérivable sur l’intervalle [0~;~4]. Laquelle admet la
droite d’équation $y = 2x + 1$ comme tangente en un point de sa courbe représentative ?

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X m{3cm} X}
\psset{unit=0.75cm,labelsep=2pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(5.5,5.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptscriptstyle,ticksize=3pt]{->}(0,0)(0,0)(5.5,5.5)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,5.5)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.4pt,plotpoints=800]{0}{4}{ x 2 exp neg x 4 mul add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=0.3pt,plotpoints=800]{0}{2.2}{x 2 mul 1 add}
\uput[ul](-0.6,5.5){\textbf{a.}}
\end{pspicture}&~&\psset{unit=0.75cm,labelsep=2pt}
\psCancel[cancelType=s]{\begin{pspicture}(-0.5,-1)(5.5,5.5)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptscriptstyle,ticksize=3pt]{->}(0,0)(0,0)(5.5,5.5)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,5.5)}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=0.4pt](0,4)(1,3.2)(2,2.556)(3,2.05)(4,1.6)
\uput[ul](-0.6,5.5){\textbf{b.}}
\end{pspicture}}\\
\psset{unit=0.75cm,labelsep=2pt}
\psCancel[cancelType=s]{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,6)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptscriptstyle,ticksize=3pt]{->}(0,0)(0,0)(5.5,5.5)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,5.5)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.4pt,plotpoints=800]{0}{4}{ x 2 exp  0.25 mul neg  4 add}
\uput[ul](-0.6,5.5){\textbf{c.}}
\end{pspicture}}&~&\psset{unit=0.75cm,labelsep=2pt}
\psCancel[cancelType=s]{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,6)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptscriptstyle,ticksize=3pt]{->}(0,0)(0,0)(5.5,5.5)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](-0.5,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=gray](\n,-0.5)(\n,5.5)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.4pt,plotpoints=800]{0}{4}{ x 2 exp 0.25 mul }
\uput[ul](-0.6,5.5){\textbf{d.}}
\end{pspicture}}
\end{tabularx}
\end{center}

Les réponses \textbf{b.} ou pour \textbf{c.} sont éliminées car les fonctions sont décroissantes sur cet intervalle, par conséquent le nombre dérivé est négatif en tout point de cet intervalle. 

La réponse \textbf{d.} est éliminée  car l'ordonnée à l'origine ne peut être 1.

Il ne reste que \textbf{a.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\textbf{EXERCICE 2}

\textbf{Partie A}
\end{center}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(11.15,65)

\multido{\n=0+5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,65)}
\psaxes[Ox=0,Oy=570,Dx=1,Dy=5,ticks=all,ysubticks=5]{->}(0,0)(0,0)(11,65)
\psaxes[Ox=0,Oy=570,Dx=1,Dy=5,ticks=all,ysubticks=5](0,0)(0,0)(11,65)
\uput[d](10.1,-2.5){Rang de l'année}
\uput[ur](0,65){Nombre de personnes ayant attrapé la grippe}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,48)(2,31)(3,35)(4,30)(5,27)(6,21)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.94,dotangle=45](3.5,32)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{10.5}{47.05 x 4.3 mul sub}
\uput[u] (3.5,32){G}\psset{arrowscale=2}
\def\Func{47.05 x 4.3 mul sub}
\psline[linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 9 def \Func)(!9 /x 9 def \Func)(9,0)
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&\footnotesize Nombre d'élèves absents à cause de la grippe	&\footnotesize Nombre d'élèves absents pour une raison médicale autre que la grippe&Total\\\hline
\footnotesize Nombres de filles absentes pour raison médicale &27						&81		&10	8\\\hline
\footnotesize Nombre de garçons absents pour raison médicale 	&\cellcolor{gray!20}30	&102	&132\\\hline
 Total&57&183&240\\\hline
\end{tabularx}
\end{document}