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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie juin 2017~\decofourright\\  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (OCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est
correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question, suivi de la réponse choisie. Aucune
justification n'est demandée.

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point.}

\emph{Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Après une campagne de vaccination contre une maladie, on constate que le nombre de
malades a diminué de 25\,\% la première année et de 12\,\% la seconde.

Le pourcentage de baisse du nombre de malades à la fin de la deuxième année est
égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{40\,\%}& \textbf{b.~~} \psframebox{34\,\%}& \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 37\,\%}&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{66\,\%}
\end{tabularx}

{\footnotesize $(1-0.25)(1-0.12)-1=-0.34$}.
\medskip

\item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de raison 2 telle que $v_5 = 96$.
Alors $v_0$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$86$}& \textbf{b.~~}\psframebox{$3$}& \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $96\times 2^5$}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$32$}
\end{tabularx}

{\footnotesize  $v_5=v_0\times q^n$ donc $v_0=\frac{96}{2^5}$}.
\medskip

 \end{enumerate}

Pour les trois questions suivantes, on considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier
terme $u_0 = 3$ et de raison $2,4$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Alors $u_{20}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$62,4$}& \textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$108$}& \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $48$}&\textbf{d.~~}\psframebox{$51$}
\end{tabularx}

\footnotesize $u_{n}=u_0+nr$ donc $u_{20}=3+20\times \np{2.4}$.
\medskip

\item On utilise une feuille de calcul pour déterminer les termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E&F&G&H&I\\ \hline 
1&$n$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
2&$u_n$&3&5,4&&&&&& \\ \hline 
3&$S_n$ &3&8,4&&&	&			&	&\\ \hline 

\end{tabularx}
\medskip

Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C2 qui, recopiée vers la droite, permet de
calculer les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ?


\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=\$B\$2+2,4}& \textbf{b.~~}\psframebox{=B2+2,4} & \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ =\$B2+2,4}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=B2*2,4}
\end{tabularx}

{\footnotesize \textbf{a.} la suite a une valeur constante \np{5.4} (référence absolue) , de même pour \textbf{c.} car la colonne B est fixe (utilisation du \$ devant B).}

\medskip

\item On souhaite calculer la somme $S_7 =u_0 +u_1+\dots+u_7$ des 8 premiers termes de la suite
$\left(u_n\right)$.
Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer $S_7$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=B3+C3}& \textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=Somme(B2:C2)}& \textbf{c.~~} \psframebox{=C2+B3 } &\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=B2+C2}
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

{\footnotesize

Le tableau ci-dessous montre l'évolution du nombre de places disponibles en première
année d'IFSI (Institut de Formation en Soins Infirmiers) ainsi que le nombre de candidats
admis à l'issue des épreuves dans un département de France.

\medskip
\begin{center}

\begin{tabular}{|m{4.5cm}|*{6}{c|}}
\hline
Session& 2008& 2009& 2010& 2011& 2012 &2013\\\hline
Nombre de places disponibles &590& 607& 615& 617& 620& 614\\\hline
Nombre d'étudiants admis& 507& 521& 533& 536 &541& 542\\\hline
\end{tabular}

\end{center}
}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculons la proportion d'étudiants admis par rapport au nombre de places disponibles
pour la session 2013. 

Cette proportion est égale au quotient du nombre d'étudiants admis par le nombre de places disponibles.

$p=\dfrac{542}{614}\approx \np{0.88273}$. 

Ce résultat sous forme de pourcentage arrondi à 0,1\,\% est donc \np{88.3}\,\%.
\item Calculons le taux d'évolution du nombre d'étudiants admis en 1\iere{} année d'IFSI entre les
sessions des années 2008 et 2013.

Le taux d'évolution $T$ est défini par $T=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$

$T=\dfrac{542-507}{507}\approx\np{0.0690}$. Le taux d'évolution sous forme de pourcentage
arrondi à 0,1\,\% est de \np{6.9}\,\%

\item On souhaite prévoir le nombre d'étudiants admis pour la session 2018.

{\footnotesize
On s'appuie sur le tableau suivant :

\begin{center}


\begin{tabular}{|m{3.7cm}|*{6}{c|}}
\hline
Session							&2008	&2009	&2010	&2011	&2012 	&2013\\\hline
Rang de l'année $(x_i)$			&1		& 2		&3		&4 		&5		&6\\\hline
Nombre d'étudiants admis $(y_i)$&507	&521	&533	&536 	&541	&542\\\hline
\end{tabular}

\end{center}
}
	\begin{enumerate}
		\item  %Sur une feuille de papier millimétré, \textbf{à remettre avec la copie}, 
 Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté page \pageref{nuage} dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

\begin{itemize}
\item \np[cm]{1} pour une unité sur l'axe des abscisses. On commencera la graduation à $0$.
\item \np[cm]{2}  pour 10 étudiants sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation à $500$.
\end{itemize}

		\item Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère précédent.

 
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+6}{6}=\np{3.5} \quad \overline{y}_G=\frac{507+521+\dots+541+542}{6}=530\]
 
 G~(\np{3.5}~;~530)

		\item On admet que la droite $(D)$ passant par G et de coefficient directeur $6,8$ est une droite d'ajustement de ce nuage valable pour les prochaines années.

Montrons que la droite $(D)$ admet pour équation réduite : $y = 6,8x + 506,2$.

L'équation de la droite ayant pour coefficient directeur \np{6.8} est de la forme $y=\np{6.8}x+p$. Elle passe par G donc $530=\np{6.8}\times \np{3.5}+p$
 d'où $p=530-\np{6.8}\times \np{3.5} = \np{506.2}$.
 
 Nous trouvons bien l'équation cherchée.

		\item  La droite $(D)$ est tracée dans le repère précédent.
		\item À l'aide de cet ajustement, calculons le nombre prévisionnel d'étudiants admis en
2018. En 2018, $x=10$. Remplaçons $x$ par 10 dans l'équation de la droite.

$y = 6,8\times 11 + 506,2=\np{581}$

 Retrouvons le résultat par lecture graphique. Pour ce faire, nous lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 10. Avec la précision permise par le graphique, nous lisons environ 574, ce qui correspond bien au résultat précédent.% en laissant les traits de construction apparents.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
Chaque semaine, le réseau Sentinelles collecte auprès de ses médecins des informations
permettant notamment d'estimer le nombre de cas de certaines maladies (grippe,
varicelle, oreillons, etc.) sur une période donnée.

Ainsi, on a évalué, pendant 15 semaines, à partir de mi-novembre 2014, le nombre de
personnes présentant des syndromes grippaux.

La courbe figurant \textbf{en annexe} donne l'évolution du taux d'incidence de la grippe (nombre de cas grippaux observés pour \np{100000} habitants) pendant la période considérée.
}
\medskip

\textbf{\textsc{Partie} A: Première phase d'évolution}

\medskip
Pendant les 6 premières semaines d'observation, le taux d'incidence de la grippe est
modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~6]$ par : $f (t) =24\times 1,27^t$, où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'observation.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item  Le taux d'incidence de la grippe au bout de la 1\iere{} semaine d'observation est $f(1)$.
	
	$f(1)=24\times \np{1.27}^1=\np{30.48}$. 

%Donner la valeur exacte de ce taux d'incidence.
	\item On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par :

\mbox{ $g(t) = 1,27^t$}. 

Nous savons que si $a>1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction strictement croissante sur $\R$. Ici $a=\np{1.27}$,  c'est-à-dire un nombre strictement supérieur à 1 par conséquent la fonction $g\,:\, t\longmapsto \np{1.27}^t $ est une fonction strictement croissante sur [0~;~6].

	Il en résulte que la fonction $f$, étant le produit de la fonction $g$ par un réel strictement positif, est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~6].

%Indiquer, en justifiant, le sens de variation de la fonction $g$, puis celui de la fonction $f$, sur l'intervalle $[0~;~6]$.
	\item 
		\begin{enumerate}
			\item  Résolvons sur $\R$ l'inéquation : $24\times 1,27^t > 60,96$.
			
	$24\times 1,27^t > 60,96 \quad \np{1.27}^t> \dfrac{\np{60.96}}{24}\quad \np{1.27}^t>\np{2.54}\quad t\log \np{1.27}>\log \np{2.54}\quad t>\dfrac{\log \np{2.54}}{\log \np{1.27}}$ 

L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left]\dfrac{\log \np{2.54}}{\log \np{1.27}}~;~+\infty\right[$
			
{\footnotesize \textsc{Remarque}: nous avons bien $\np{2.54}=2\times \np{1.27}$ mais nous ne pouvons simplifier car $\log \np{2.54}=\log 2+\log \np{1.27}$.}			
			
			\item Déterminons au bout de combien de semaines écoulées le taux d'incidence de la grippe dépassera le double du taux d'incidence observé au bout de la première semaine. Le taux est alors de $2 \times f(1)$ soit \np{60.96}. En utilisant le résultat de la question précédente, une valeur approchée  de 	$\dfrac{\log \np{2.54}}{\log \np{1.27}}$ est \np{3.9}. Par conséquent au bout de quatre semaines, le taux d'incidence de la grippe dépassera le double du taux d'incidence observé au bout de la première semaine.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Partie} B : Deuxième phase d'évolution}

\medskip

Au-delà de la 6\ieme{} semaine d'observation, on modélise le taux d'incidence par la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]6~;~15]$ par : $h(t) = - 20t^2 + 480t - \np{2059,3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons à l'aide du graphique, au bout de combien de semaines écoulées le taux
d'incidence dépasse $500$ pour la première fois. Nous  traçons la droite d'équation $y=500$ et nous lisons l'abscisse du premier point d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de $h$. Avec la précision permise par le graphique, nous trouvons environ 8.%\emph{(On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture).}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminons $h'(t)$ où $h'$ est la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $]6~;~15]$.
		
$h'(t)=-20(2t)+480=-40t+480$
		\item Étudions le signe de $h'(t)$ en fonction de $t$ sur l'intervalle $]6~;~15]$.
		
Résolvons sur $\R,\quad -40t+480>0$.
		
$-40t+480>0 \iff -40t >-480 \iff t<12$. Il en résulte :

si $t\in]6~;~12[,\quad h'(t)>0$ et si $t\in ]12~;~15],\quad h'(t)<0$.
		
		\item Construisons le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]6~;~15]$.
		
Étudions d'abord le sens de variation de la fonction $h$.
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $]6~;~12[,\:h'(t)>0$ par conséquent $h$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]12~;~15],\:h'(t)<0$ par conséquent $h$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $h$ sur ]6 ; 15].
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$6$} \uput[u](4.5,2.45) {$12$}    \uput[u](7.73,2.45){$15$}
\uput[u](0.5,1.9){$h^{\prime}(t)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $h$}
 \uput[d](1.37,0.45){$\np{100.7}$}\uput[d](7.32,0.45){$\np{640.7}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{820.7}$}
\end{pspicture}
\end{center}		
	\end{enumerate}
\item Pendant la deuxième phase d'évolution,  le taux d'incidence de la grippe
est le plus élevé lorsque la fonction $h$ atteint un maximum soit pour $t=12$.  La valeur maximale atteinte est   \np{820.7}.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\textbf{À rendre avec la copie}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-1,-70)(16,950)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-30)(\n,900)}
\multido{\n=0+20}{46}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-0.5,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=0.75pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(16,900)
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{6}{1.27 x exp 24 mul}
 \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{6}{15}{x x 20 neg mul 480 add mul 2059.3 sub}
 \uput[dl](15,-50){\footnotesize Nombre de semaines écoulées}
\uput[r](0,930){\footnotesize Taux d'incidence de la grippe}
\uput[r](0,900){\footnotesize (nombre de cas pour \np{100 000} habitants)}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x x 20 neg mul 480 add mul 2059.3 sub}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 7.9956 def \Func)(!7.9956 /x 7.9956 def \Func)(7.9956,0)
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} question 3}

\begin{center}

\textbf{\large Nuage de points}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,0)(13,90)

\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,82)}
\multido{\n=0+1}{83}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=500,Dy=10]{->}(0,0)(12.7,85)
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,7)(2,21)(3,33)(4,36)(5,41)(6,42)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3.5,30)
\uput[ul](3.5,30){\textcolor{red}{$G$}}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 6.8 mul 6.2 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 11 def \Func)(!11 /x 11 def \Func)(11,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{11}{x 6.8  mul 6.2 add}
\uput[d](12,-2){Rang de l'année}
\uput[r](0,84){\footnotesize nombre d'étudiants admis }\uput[l](-0.2,82){\textcolor{violet}{$ 581$}}\uput[d](11,80){$(D)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{nuage}
\end{document}