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%tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 13 septembre 2012 \decofourright}}

\medskip
{\scriptsize 
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
 
Une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat.
 }
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 8 points}

\medskip

{\scriptsize
Une population homogène de bactéries, placée dans un milieu liquide stable donné, se multiplie par divisions successives. On s'intéresse à l'évolution en fonction du temps de la densité bactérienne, c'est-à-dire du nombre de bactéries par unité de volume.

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Une série de cinq mesures expérimentales a donné les résultats suivants :}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Temps en heures : $x_{i}$					& 0		& 0,5 	&1 	&1,5 	&2\\ \hline 
Densité en millions de bactéries : $y_{i}$	&2,8 	&4,1 	&8,2&14,4 	&27,3\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de la série statistique, a été construit page~ \pageref{moindre} dans un repère orthogonal d'origine O, dans lequel 5~cm représentent une~heure en abscisses et 1~cm représente 2~millions de bactéries en ordonnées. 
\item On appelle G le point moyen du nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
		
\[\overline{x}_G=\frac{0+\np{0.5}+1+\np{1.5}+2}{5}=1 \qquad \overline{y}_G=\frac{\np{2.8}+\np{4.1}+\np{8.2}+\np{14.4}+\np{27.3}}{5}=\np{11.36}.\]

G $\left( \np{1}~;~\np{11.36} \right)$ est placé  sur le graphique. 
		\item Déterminons une équation de la droite (OG). Passant par l'origine, elle a une équation de  la forme $y=mx$ où $m=\dfrac{\np{11.36}}{1}$. L'équation de (OG) est $y=\np{11.36}x$.
		\item Cette droite est tracée dans le repère précédent.
	\end{enumerate}		 
\item La droite (OG) constitue un premier ajustement du nuage.
 
Pour prévoir la densité bactérienne au bout de 3 heures, remplaçons $x$ par 3 dans l'équation de la droite. 

$y=\np{11.36}\times 3=\np{34.08}$. Nous pouvons estimer la densité bactérienne à \np{34.1} millions.
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f (x) = \dfrac{5}{2} \times 3,2^x$. 
\begin{enumerate}
\item On admet que, sur l'intervalle [0~;~2], la fonction $f$ a le même sens de variation que la fonction $g$ définie par : $g(x) = 3,2^x$.

 Si $a>1$ nous savons que la fonction $x\mapsto a^x$ est une fonction strictement croissante  sur $\R$. Par conséquent la fonction $f$ est strictement croissante  sur  $[0~;~2]$.
\item Complétons le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		& 0	&0,5 	&1 	&1,5 	&2 \\ \hline
$f(x)$	&	\np{2.5}&4,5	&8	&\np{14.3}		&\np{25.6}\\ \hline
\end{tabularx}
{\scriptsize les résultats sont arrondis au dixième}. 

\medskip
 
\item  Dans le même repère que celui utilisé à la question 1. de la \textbf{partie A}, page~\pageref{moindre},  la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] a été tracée. 
\item La courbe représentative de la fonction $f$ constitue un deuxième ajustement du nuage de points étudié dans la \textbf{partie A}. 

En utilisant ce deuxième ajustement, déterminons par le calcul, la densité bactérienne prévisible au bout de 3 heures. 

En supposant que la fonction $f$ soit prolongée de la même manière au moins jusqu'à 3, nous aurions alors $f(3)=\dfrac{5}{2} \times 3,2^3 \approx \np{81.9}$.
  
\item Ce résultat  est nettement plus élevé que celui obtenu à la partie A.

Au vu des premiers termes où la courbe est plus proche des mesures, l'ajustement le plus pertinent pour la situation donnée serait le deuxième.  
\end{enumerate} 

%\bigskip
\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip
 {\scriptsize
On veut vérifier l'efficacité d'un vaccin sur une population donnée. On dispose des données suivantes :
 \begin{itemize}
\item un quart de la population a été vacciné contre la maladie ;
 \item au cours d'une épidémie, on constate que parmi les individus vaccinés, seuls 10\,\% sont malades et parmi les individus non vaccinés, trois individus sur cinq ne sont pas malades.
\end{itemize}
\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans cette population.

\medskip
 
On note:
 
$V$ l'événement \: \og la personne est vaccinée contre la maladie \fg{} et $\overline{V}$ l'événement contraire de $V$ ;

$M$ l'événement \:\og la personne est malade \fg{} et $\overline{M}$ l'événement contraire de $M$.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Complétons l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation étudiée. 

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V$~}\taput{\np{0.25}}}
	  { 
		  \TR{$M$}\taput{\np{0.1}}
		  \TR{$\overline{M}$}\tbput{\np{0.9}}   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{V}$~}\tbput{\np{0.75}}}
	  {
		  \TR{$M$}\taput{\np{0.4}}
		  \TR{$\overline{M}$} \tbput{\np{0.6}}
	  }	
}
\end{center}

\item  $P(V)=\np{0.25}$ car un quart de la population a été vacciné contre la maladie. 

 $P_{V}(M)=\np{0.1}$ car parmi les individus vaccinés, seuls 10\,\% sont malades. 
\item  $P(V \cap M)=p(V)\times p_V(M)=\np{0.25}\times \np{0.1}=\np{0.025}$.

  $P\left(\overline{V}\cap M\right)=p(\overline{V})\times p_{\overline{V}}(M)=\np{0.75}\times \np{0.4}=\np{0.3}$.
  
 La probabilité qu'une personne de la population soit malade vaut $0,325$. 

En effet  $p(M)=p(V\cap M)+ p\left(\overline{V}\cap M\right)=\np{0.025}+\np{0.3}=\np{0.325}$
\item  $P_{\overline{V}}(M)=\np{0.4}$ et $P_{V}(M)=\np{0.1}$, nous pouvons dire que ce  vaccin a une certaine efficacité.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip
{\scriptsize
\emph{Pour chacune des questions de ce questionnaire à choix multiples, une seule des quatre propositions est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\
\textbf{Ne rien inscrire sur le sujet.}\\ 
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.}

\medskip
 
L'iode 131 est un produit radioactif. La masse de tout échantillon d'iode 131 diminue régulièrement de 8,3\,\% par jour par désintégration. On dispose d'un échantillon de masse initiale $M_{0} = 100$~g. On note $M_{n}$ la masse de cet échantillon au bout de $n$ jours.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Arrondie au dixième, la masse $M_{2}$ de l'échantillon au bout de 2 jours est :
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt] {68,9} g
		\item  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{83,4} g 
		\item  \ovalbox{84,1 g } \hspace{2cm} $100\times \np{0.917}^2$
		\item  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{98,3} g 
	\end{enumerate}
\item La suite des nombres $M_{n}$ est une suite :
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{arithmétique de raison 0,917 }
		\item \ovalbox{géométrique de raison 0,917 }\hspace{2cm} un terme se déduit  du précédent  en le multipliant par  \np{0.917}.
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{arithmétique de raison 0,083} 
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{géométrique de raison 0,083}
	\end{enumerate} 
\item L'expression de $M_{n}$ en fonction de $n$ est:
	\begin{enumerate}
		\item  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$M_{n} = 100 + n \times 0,917$ }
		\item  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$M_{n} = 100 \times 0,083^n$} 
		\item  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$M_{n} = 100 + 0,917^n$ }
		\item  \ovalbox{$M_{n} = 100 \times 0,917^n$}
	\end{enumerate}		 
\item On veut calculer les masses successives de l'échantillon à l'aide d'un tableur.

\parbox{0.5\linewidth}{ La formule à écrire en B3 pour obtenir, en la recopiant vers le bas, les termes $M_{n}$ de la suite dans la colonne B, est :
	\begin{enumerate}
		\item \ovalbox{\og= B2 $\star 0,917$ \fg} 
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\og= $100\star 0,917\hat{\phantom{-}}$ A2 \fg }
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\og= $100\star 0,917\hat{\phantom{-}}$B2 \fg }
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\og= A2 $\star 0,917$ \fg}
	\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&Rang du jour : $n$&$M_{n}$\\ \hline
2&0&100\\ \hline
3&1&\\ \hline
4&2&\\ \hline
5&3&\\ \hline
6&4&\\ \hline
\end{tabularx}}
			 
\item Les solutions de l'inéquation $M_{n} < 10$ sont les entiers $n$ tels que :  
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$n > \log\:\dfrac{100}{917}$ }
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$n < \dfrac{- 1}{\log 0,917}$} 
		\item \ovalbox{$n > \dfrac{- 1}{\log 0,917}$ }
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$n > \dfrac{100}{917}$}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=4cm, yunit=0.4cm,comma=true,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.3)(3,30)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=0.5,Dy=2,linewidth=1.25pt]{->}(3,30)

\multido{\n=0+0.1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,30)}
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(3,\n)}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,2.8)(0.5,4.1)(1,8.2)(1.5,14.4)(2,27.3)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{2.65}{x 11.36  mul}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](1,11.36)
\uput[ul](1,11.36){G}\uput[dl](0,0){O}
\rput(0.25,30.5){\footnotesize Densité en millions de bactéries}
\rput(2.75,0.5){\footnotesize temps en heures}
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=0.7pt,plotpoints=1000]{0}{2}{3.2 x exp 2.5 mul}
\end{pspicture}
\label{moindre}
\end{center}
\end{document}