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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{5 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 5 septembre 2013~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
{\footnotesize
\medskip
 
En cas de menace d'accouchement prématuré, on peut effectuer sur les femmes enceintes de 24 à 34 semaines d'aménorrhée un test de détection de la fibronectine f{\oe}tale. Ce test permet d'évaluer les risques d'un accouchement dans les 14 jours et d'adapter la prise en charge de la patiente.
 
Si le test est négatif, on peut envisager le retour à domicile de la patiente et s'il est positif, l'orienter vers une maternité adaptée à son état.

\medskip
 
Dans une maternité, 23\,\% des patientes testées ont eu un test positif. Parmi celles-ci, 33\,\% ont accouché dans les 14 jours après le test. Parmi les patientes ayant eu un test négatif, 98\,\% n'ont pas accouché au cours des 14 jours suivant le test.
 
On choisit au hasard une patiente, parmi les patientes testées dans cette maternité. On note :
 
$T$, l'évènement \og le test de la patiente est positif \fg{} ;
 
$\overline{T}$, l'évènement \og le test de la patiente est négatif \fg{} ;
 
$A$, l'évènement \og la patiente a accouché dans les 14 jours qui suivent le test\fg{} ;
 
$\overline{A}$, l'évènement \og la patiente n'a pas accouché dans les 14 jours qui suivent le test \fg.

\medskip
 
\emph{Dans les questions $1$ à $5$, les probabilités seront données sous forme décimale exacte.}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrivons les probabilités suivantes : 
\begin{itemize}
\item[\textbullet] $p(T)$, probabilité de l'évènement $T$ : $p(T)=\np{0,23}$ car 23\,\% des patientes testées ont eu un test positif.
 
\item[\textbullet] $P_{T}(A)$, probabilité de l'évènement $A$ sachant $T$ : $p_{T}(A)=\np{0,33}$ car parmi celles ayant un test positif, 33\,\% ont accouché dans les 14 jours après le test.
\end{itemize}
 \item Complétons l'arbre pondéré suivant: 

\begin{center}
\psset{labelsep=0.05pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{~\TR{~$T$~}\taput{\np{0,23}}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$A$}\taput{\np{0,33}}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{\np{0,67}}
 		}
	\pstree{~\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\np{0,77}}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$A$}\taput{\np{0,02}}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{A}$}\tbput{$0,98$}
 		}
}
\end{center}

\medskip

\item  La probabilité que la patiente ait un test négatif et accouche dans les 14 jours qui suivent le test est notée  $p(\overline{T}\cap A)$.
$p(\overline{T}\cap A)= p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(A)=\np{0,77}\times \np{0,02}=\np{0,0154}$

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité de l'évènement $T \cap A$. 
		
$p(T\cap A) = p(T)\times p_T(A) = \np{0,23}\times\np{0,33}=\np{0,0759}$
		\item Calculons la probabilité de l'évènement $A$. 
		
$p(A)=p(\overline{T}\cap A)+ p(T\cap A)=\np{0,0154}+\np{0,0759}=\np{0,0913}$.
\item La probabilité que son test ait été positif sachant  que la patiente choisie a accouché dans les 14 jours qui suivent le test est notée $p_{A}(T)$.

$p_{A}(T)=\dfrac{p(T\cap A)}{p(A)}=\dfrac{\np{0,0759}}{\np{0,0913}}\approx\np{0,83}$.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}
{\footnotesize
\medskip
 
Le tableau suivant est une feuille de tableur qui donne par région la puissance produite (en MW) par des éoliennes dans 15 régions de France entre le 1\up{er} janvier et le 1\up{er} octobre 2010. On souhaite renseigner la colonne C et indiquer la part de la puissance produite dans chaque région par rapport à la puissance totale durant la période observée. Les cellules de la colonne C sont au format pourcentage.}

\medskip
\begin{figure}
{\footnotesize 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|*{1}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 					&B 					&C\\ \hline 
1 	&Région 			&Puissance (en MW)	&Part de puissance (en \,\%)\\ \hline 
2 	&Champagne Ardenne 	&256				& \\ \hline 
3 	& Centre          	& 82				& \\ \hline 
4 	&Pays de la Loire 	&60					& \\ \hline 
5 	&Haute Normandie 	&51,2				& \\ \hline 
6 	&Midi-Pyrénées 		&44					& \\ \hline 
7 	&Picardie 			&39,1				& \\ \hline 
8 	&Bretagne 			&36,8				& \\ \hline 
9 	&Auvergne 			&16					& \\ \hline 
10 	&Basse-Normandie 	&16					& \\ \hline 
11 	&Bourgogne 			&12					& \\ \hline 
12 	&Lorraine 			&12					& \\ \hline 
13 	&Poitou Charentes	&8					& \\ \hline 
14 	&Rhône-Alpes 		&4,6				& \\ \hline 
15 	&Languedoc-Roussillon&3,7				& \\ \hline 
16	& Guadeloupe 		&1,38				& \\ \hline 
17 	&Total 				&642,78				& \\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : Syndicat des énergies renouvelables - France Energie Eolienne}}
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip 
}
\end{figure}
\begin{enumerate}
\item Calculons la part en pourcentage de la puissance produite en région Basse-Normandie par rapport à la puissance totale produite. Nous avons une production (en MW) de 16 sur un total de  \np{642,78}. $\dfrac{16}{\np{642,78}} \approx \np{0,024891}$. 

La part de la puissance produite par la Basse-Normandie par rapport à la puissance totale est d'environ \np{2,49}\,\%.
%On donnera le résultat arrondi au centième. 
\item Une formule qu'il faudrait entrer dans la cellule C2 pour obtenir par recopie vers le bas, les parts en pourcentage de la puissance produite par chaque région par rapport à la puissance totale est : 

=\$B2/\$B \$17 ou =B2/\$B\$17.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
En France, à la fin de l'année 2005, on comptait 940 éoliennes. Depuis, chaque année, $500$ éoliennes supplémentaires ont été installées. On note, pour tout entier naturel $n,\: u_{n}$ le nombre d'éoliennes présentes en France à la fin de l'année $(2005 + n)$. On a donc $u_{0} = 940$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sachant que chaque année le nombre d'éoliennes augmente de 500, la suite $\left(u_{n}\right)$ est, par définition, une suite arithmétique de premier terme $940$ et de raison $500$. 
\item Exprimons $u_{n}$ en fonction de $n$. 

Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est $u_n=u_0+nr$. $u_{n} = 940+500n$.

\item Déterminons, d'après ce modèle, combien d'éoliennes, il y aura en France à la fin de l'année 2013.

En 2013, $n = 8\quad u_8 = 940 + 8\times 500 = \np{4940}$. 
 
À la fin 2013 , il y aurait \np{4940} éoliennes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

On étudie l'évolution, en fonction du temps, d'une population de levures présentes dans un milieu liquide.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Entre $0$ et $300$ minutes, on admet que le nombre $N$ de levures de l'échantillon en fonction du temps $t$ (en minutes) est donné par : 

\[N(t) = 150 \times 1,01^t.\]
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre de levures à l'instant initial, c'est-à-dire lorsque $t=0$, est $t(0) = 150$. 
\item Déterminons le sens de variation de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~300] par 

$f(t) = 1,01^t$. 
Nous savons que si $a > 1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction croissante sur $\R$. Ici $a = \np{1,01}$,  c'est-à-dire un nombre strictement supérieur à 1 par conséquent la fonction $f$ est une fonction croissante sur [0~;~300].

On admet que la fonction $N$ a les mêmes variations sur l'intervalle [0~;~300] que la fonction $f$. 
\item  Complétons le tableau de valeurs suivant. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&10 &20 &30 &40 &50	&60 &70 &80 &90 &100\\ \hline
$N(t)$	&150&166&183&202&223&247&273&301&33	&367&406\\ \hline
\end{tabularx}
{\emph{\footnotesize  les résultats sont arrondis à l'unité}}

\medskip

\item Traçons dans un repère orthogonal,  la représentation graphique de la fonction $N$ sur l'intervalle [0~;~100].
 
 \begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(100,280)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+10}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(-5,-10)(105,271)
\uput[u](110,0){$t$ en min} \uput[ul](-2,0){150}\uput[dr](0,-4){0}
\uput[u](0,270){nombre de levures}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{100}{ 1.01 x exp 150 mul 150 sub}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{1.01 x exp 150 mul 150 sub}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 85.1527 def \Func)(!85.1527 /x 85.1527 def \Func)(85.1527,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
%On prendra 1~cm pour 10~minutes en abscisses et 1~cm pour 20~levures en ordonnées. On commencera à graduer l'axe des ordonnées à $150$. 
\item Déterminons graphiquement au bout de combien de temps le nombre de levures est égal à $350$. Pour ce faire, traçons la droite d'équation $y=350$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous lisons, avec la précision du graphique, environ 85. 

Au bout d'environ quatre-vingt cinq minutes, le nombre de levures est de trois cent cinquante.
\item Déterminons, par le calcul, au bout de combien de temps le nombre de levures devient supérieur à \np{1000}.% On arrondira le résultat à la minute. 

Pour ce faire résolvons $150 \times \np{1,01}^{t}\geqslant \np{1000}$. 

$\np{1,01}^{t}\geqslant\dfrac{\np{1000}}{150} \hfill \np{1,01}^{t}\geqslant \dfrac{20}{3}\hfill t \log \np{1,01}\geqslant \log \left(\dfrac{20}{3}\right) \hfill
t\geqslant \dfrac{\log \left(\dfrac{20}{3}\right)}{\log \np{1,01}}\hfill t\geqslant \np{190,658985}$

À partir de cent quatre-vingt-onze minutes, le nombre de cellules dépassera le millier.
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Au bout de 300 minutes le nombre de levures est stationnaire pendant $30$~minutes, puis il peut être modélisé par la fonction g définie sur l'intervalle [330~;~480] par
 
\[g(t) = \np{0,0056}t^2 - \np{6,1517}t+ \np{4389},\: t\: \text{étant exprimé en minutes}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  $g'$ étant la fonction dérivée de la fonction $g$, $g'(t)=\np{0,0056}(2t) - \np{6,1517}=\np{0,0112}t - \np{6,1517}$.
\item Étudions le signe de $g'(t)$.

Sur $\R, \ \np{0,0112}t - \np{6,1517}>0 \iff t>\dfrac{\np{6,1517}}{\np{0,0112}}  \iff t> \np{549.2589}$ 

Par conséquent, pour $t\in [330~;~480] \quad g't)<0$.

si pour tout $x\in I,  \:f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Il en résulte  que $g$ est strictement décroisssante sur [330~;~480].

Dressons le tableau de variation de la fonction $g$. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$330$} \uput[u](7.75,2.45){$480$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\uput[u](1.5,1.5){$\approx 2969$}\uput[d](7.2,0.55){$\approx 2726 $}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $g$}
\psline{->}(1.5,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  Le nombre de levures sur l'intervalle [330~;~480] décroît. 

$g(480) = \np{0,0056}(480)^2 - \np{6,1517}\times 480 + \np{4389}\approx \np{2726.424}$
 
Le nombre de levures, arrondi  à l'unité, au bout de 8 heures c'est-à-dire 480 minutes est d'environ \np{2726}.   
\end{enumerate}
\end{document}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45){$6$}\uput[u](7.75,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}\uput[u](6.6,2){$-$}
\uput[u](4.5,1.9){$0$} \uput[d](1.45,0.51){$-135$}\uput[u](4.5,1.5){$81$}\uput[d](7.2,0.55){$-175 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.1,1.6) \psline{->}(4.7,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}