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%Corrigé : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie~\decofourright\\[5pt] septembre 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

Un nutritionniste consulte les fiches de ses patients de l'année 2018 qui suivent tous un
régime avec ou sans gluten.
\begin{center}
\emph{Les deux parties du problème sont indépendantes}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nutritionniste fait les trois constats suivants:

\begin{itemize}
\item parmi ses patients, il compte $312$ femmes ce qui représente $60$\,\% de sa patientèle ;
\item $25$\,\% de ses patients suivent un régime sans gluten;
\item parmi ses patients suivant un régime avec gluten, $70$\,\% sont des femmes.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que le nombre total de ses patients s'élève à $520$.
				
		Soit $x$ le nombre de ses patients, nous avons alors $x\times \dfrac{60}{100}=312$ ou $0,6x=312$. Il en  résulte  $x=520$.
		\item Le nombre de patients suivant un régime sans gluten est alors $520\times \dfrac{25}{100}=130$.
		\item  Le tableau d'effectifs  est complété sur celui donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans les questions suivantes, on exprimera les proportions en pourcentage, et on
arrondira les résultats à }0,1\,\%.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la proportion d'hommes suivant un régime avec gluten dans l'ensemble de
la patientèle. Il y a 117 hommes suivant un régime avec gluten  parmi une population de 520 personnes donc $\dfrac{117}{520}=\np{0.225}$.

La proportion d'hommes suivant un régime avec gluten dans l'ensemble de la patientèle  est de \np{22.5}\,\%
		\item Calculons  la proportion de femmes parmi les patients suivant un régime sans gluten. 
Il y a 39 femmes suivant un régime sans gluten  parmi une population de 130 personnes  suivant un régime sans gluten donc $\dfrac{39}{130}= \dfrac{13 \times 3}{13 \times 10} = \dfrac{3}{10}  = \np{0.3}$.

La proportion de femmes parmi les patients suivant un régime sans gluten est de 30\,\%.
		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le nutritionniste isole les fiches de ses patients seniors (plus de $60$ ans). Parmi eux,
certains, souffrant de troubles cardio-vasculaires, doivent suivre un régime sans sel.

Il remarque que :

\begin{itemize}
\item parmi ses 200 patients seniors, 96 sont des hommes et 104 sont des femmes;
\item parmi les hommes seniors, 60 suivent un régime sans sel;
\item parmi les femmes seniors, 26 suivent un régime sans sel.
\end{itemize}

Le nutritionniste choisit une fiche au hasard parmi celles des patients seniors. Chaque
fiche a la même probabilité d'être choisie.

Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

Si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée
$P_B(A)$.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item $H$ : \og la fiche est celle d'un homme \fg ;
\item $F$ : \og la fiche est celle d'une femme \fg.
\item $R$ : \og la fiche est celle d'un patient senior suivant un régime sans sel \fg.
\end{itemize}

\smallskip

\emph{Dans les questions suivantes, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'univers est l'ensemble des 200 personnes et la probabilité mise sur cet univers est l'équiprobabilité. La probabilité d'un événement élémentaire A est {\footnotesize $\dfrac{\text{nombre d'éléments de  A}}{\text{nombre d'éléments de l'univers}}$}. 
		
  $P(H) = \dfrac{96}{200}= 0,48$.
		\item   l'arbre pondéré de probabilités est complété ci-dessous.
		
\begin{center}
		\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=1.5pt,labelsep=0.05pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~~} \taput{0,48}}
	{\TR{$R$~~}\taput{\np{0.625}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.375}}
    }
\pstree{\TR{$F$~~} \tbput{\np{0.52}}}
	{\TR{$R$}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.75}}
	}
}
\end{center}
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item L'évènement $H \cap R$ est l'événement : \og La fiche est celle d'un homme devant suivre un régime sans sel\fg. 
$P(H \cap R)=P(H)\times P_{H}(R)=\np{0.48}\times \np{0.625}=\np{0.3}$.
		\item Montrons que la probabilité de l'évènement $R$ est égale à $0,43$.
		
		$H$ et $F$ forment une partition de l'univers.
		
$P(R)=P(H\cap R)+P(F\cap R)=P(H)\times P_{H}(R)+ P(F)\times P_{F}(R).$

$P(R)=\np{0.48}\times \np{0.625}+\np{0.52}\times \np{0.25}=\np{0.43}$. 

Nous trouvons bien la probabilité cherchée. 
		
	\item  Montrons que les évènements $R$ et $H$ ne sont pas indépendants.
	
	Les événements $R$ et $H$ sont indépendants si $P(R\cap H)=P(R)\times P(H)$.
	
	$P(R\cap H)=\np{0.30}$.  $P(H)\times P(R)=\np{0.48}\times\np{0.43}=\np{0.2064}$.
	
	$P(R\cap H)\not=P(R)\times P(H)$, les événements $R$ et $H$ ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est
correcte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.\\
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de
réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur
l'intervalle $[-2~;~3]$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2.

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-3.2)(5.1,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.5,-3.2)(5.1,3)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{3}{x 3 exp 2 div x dup mul sub 1.5 x mul sub 2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{5}{0.5 x mul 2 sub}
\uput[ul](4.5,0.25){$T$} \uput[l](2.9,1.8){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'image de 0 par la fonction $f$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$1$} &\textbf{c.~~}\psframebox{$2$ }&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $2,58$}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Par la fonction $f$, le réel 1 admet :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{un antécédent} &\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{deux antécédents}\\
\textbf{c.~~} \psframebox{trois antécédents} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{aucun antécédent}.
\end{tabularx}
\end{center}
\item  L'inéquation $f(x) \leqslant 2$ a pour ensemble de solutions:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$[-2~;~-1]$}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ [-1~;~0]} &\textbf{c.~~}\psframebox{ $[-2~;~-1]\cup [0~;~3]$ }&\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\{-1~;~0,3\}$}.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~3]$. Alors  :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(2) = -1$}&\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(2) = -2$} &\textbf{c.~~}\psframebox{ $f'(2) = 0,5$} &\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(2) = 4$}.
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2~;~3]$ par: $f(x) = 0,5x^3 - x^2 - 1,5x + 2$. Alors:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}\psframebox{$f'(-2) = 8,5$}&\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(-2) = 9$} &\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $f'(-2) = -3$}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $f'(-2) = 2$}.
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Au sein d'une entreprise de préparation de colis, un médecin du travail répertorie les
maladies et accidents professionnels des salariés survenus depuis 2012.

\medskip

\emph{Les deux parties du problème sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A : maladies et accidents professionnels}

\medskip

En regroupant les maladies et accidents professionnels par année, il obtient le tableau
suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 			&2012 		&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang 			$\left(x_i\right)$&0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5 	&6\\ \hline
Nombre de maladies
 et accidents 	
 $\left(y_i\right)$	& 243 		&257 	&264 	&277 	&296 	&302 &314\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{En annexe}, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées
$\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère précédent.
 
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{0+1+\dots+6}{7}=3 \quad ;\quad \overline{y}_G=\frac{243+257+\dots+314}{7}=279\]
 
 G~(3~;~279)

\item On considère la droite $D$ d'équation : $y = 12x + 243$. 

On admet que cette droite réalise un ajustement affine de cette série valable jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $D$  est tracée dans le repère \textbf{en annexe}. Pour la tracer, nous avons choisi les points  de coordonnées $(0~;~243)$ et
$(10~;~363)$
		\item  Selon ce modèle, donnons  une estimation du nombre de maladies et accidents professionnels en 2022. En 2022 $x=10$. En remplaçant $x$ par $10$ dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=12\times 10+243=363$. Nous pouvons donc estimer, selon ce modèle, le nombre de maladies et accidents professionnels en 2022 à 363.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : améliorations des conditions de travail}

\medskip
{\footnotesize
En fin d'année 2018, la direction a décidé de faire appel à un ergonome, expert en
conditions de travail. Celui-ci étudie l'organisation de l'entreprise, les cadences de travail
et la façon de travailler des salariés. 

Il recommande la mise en place de nouveaux rythmes de travail, des investissements dans des machines pour le transport de charges lourdes et propose un ensemble de bonnes pratiques à respecter. Ces consignes sont mises en application à partir du mois de janvier 2019.

En janvier 2019, on a comptabilisé $26$ maladies et accidents professionnels dans
l'entreprise.

L'ergonome estime que le nombre de maladies et d'accidents professionnels diminuera
chaque mois de 6\,\% à partir de février 2019.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de $-\np{0.06}$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.06}$ soit \np{0.94}.

$26\times \np{0.94} \approx 24$.
Une estimation du  nombre de maladies et d'accidents professionnels attendus par l'ergonome
en février 2019 est de 24.% Arrondir le résultat à l'unité.
\item  L'ergonome propose d'estimer le nombre de maladies et d'accidents professionnels
dans les mois à venir à l'aide d'un tableur. Il a commencé à remplir le tableau ci-dessous.
Les cellules de la ligne~3 sont au format nombre arrondi à l'unité.

\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.9cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
& \centering A &B &C &D &E &F &G &H\\ \hline
1 &Mois &Janvier 2019 &Février 2019 &Mars 2019&Avril 2019&Mai 2019&Juin 2019&Juillet 2019\\ \hline
2 &Rang du mois &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline
3 &Nombre de maladies et d'accidents professionnels&26&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
}
\end{center}

Une formule entrée dans la cellule C3, puis recopiée vers la droite, qui permet d'obtenir
le nombre de maladies et d'accidents professionnels dans l'entreprise dans les mois à
venir est  =B\$3*0,94.
\item  On modélise le nombre de maladies et d'accidents professionnels ayant lieu le $n$-ième
mois après janvier 2019 par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = 26$.
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.94} et de premier terme 26 car chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre.% Quelle est sa raison ?
		\item
Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :

$u_n=u_0\times (q)^n$.  Pour tout entier $n,\ u_n=26\times \left(\np{0.94}\right)^n$.

		\item Calculons le nombre de maladies et d'accidents professionnels prévisibles en juillet 2019. 
		
		En juillet 2019, $n=6$, $u_6=26\times (\np{0.94})^6 \approx \np{17.937}$.
Le nombre de maladies et d'accidents professionnels prévisibles en juillet 2019 est, selon ce modèle, de 18.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons dans $\R$ l'inéquation : $26 \times 0,94^x \leqslant 12$.
		\begin{align*}
		26 \times 0,94^x &\leqslant 12\\
	0,94^x &\leqslant \dfrac{6}{13}\\
\log 0,94^x&\leqslant \log \dfrac{6}{13}\\
x\log 0,94&\leqslant \log\dfrac{6}{13}\\
x&\geqslant\dfrac{\log\frac{6}{13}}{\log \np{0.94}}\\
\end{align*}
Or $\dfrac{\log\frac{6}{13}}{\log \np{0.94}}\approx\np{12.4959}$

L'ensemble des solutions de l'inéquation dans $\R$ est $\left[\dfrac{\log\frac{6}{13}}{\log \np{0.94}}~;~+\infty\right[$
       	\item L'ergonome estime que descendre à $12$ maladies et accidents professionnels par
mois est un bon objectif. 
		
Durant le treizième mois, donc à partir de février 2020  cet objectif sera atteint conformément au modèle. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Nombre de patients &Femmes &Hommes &Total\\ \hline
qui suivent un régime avec gluten&273&117&390\\ \hline
qui suivent un régime sans gluten&39&91&130\\ \hline
Total &312&208& 520\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1.2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-8)(11,140)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=240,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(11,140)
\multido{\n=0.0+0.2}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0.0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0+2}{71}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(11,\n)}
\multido{\n=0+10}{15}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(11,\n)}
\uput[r](0,143){Nombre de maladies et d'accidents}
\uput[d](9.85,-4){Rang du mois}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=blue](0,3)(1,17)(2,24)(3,37)(4,56)(5,62)(6,74)
\psdot[dotstyle=square,dotscale=1.9,fillcolor=red, dotangle=45](3,39)
\def\Func{x 12 mul 3 add}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.85pt,linecolor=blue]{0}{10.8}{\Func}
\uput[ul](3,39){\textcolor{red}{G}}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}