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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S La Réunion  juin 2009~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

%\emph{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
%
%\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

%Un laboratoire pharmaceutique souhaite tester le temps de réaction d'un nouvel antibiotique contre le bacille de Koch responsable des tuberculoses. Pour cela, on dispose d'une culture de $10^{10}$ bactéries dans laquelle on introduit l'antibiotique. On remarque que le nombre de bactéries est divisé par quatre toutes les heures.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On a créé la feuille de calcul suivante donnant le nombre de bactéries en fonction du temps $n$ en  heures. 
%
%\medskip

%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%		&A 	&B \\ \hline 
%	1 	&Nombre d'heures $n$& Nombre de bactéries \\ \hline 
%2 	&0	& \np{10000000000}\\ \hline 
%3 	&1	& \\ \hline 
%4 	&2	& \\ \hline 
%5	&3	& \\ \hline 
%6 	&4	& \\ \hline 
%7 	&5	& \\ \hline 
%8 	&6	& \\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule va-t-on entrer dans la cellule B3, pour calculer le nombre de bactéries au bout d'une heure, de sorte qu'en recopiant cette formule vers le bas on puisse compléter les lignes suivantes ?
Formule : \fbox{~=B2/4~} 
\item %On a recopié la formule ci-dessus jusqu'en B18. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle formule se trouve en B18 ?
Formule en B18 : \fbox{~B17/4~} 
	\item %Que représente concrètement la valeur calculée dans cette cellule ?
En B18 il y a le nombre de bactéries au bout de 16 heures. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On note $u_{0}$ le nombre de bactéries au moment de l'introduction de l'antibiotique. Soit $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$, la suite représentant le nombre de bactéries, contenues dans la culture, $n$ heures après l'introduction de l'antibiotique.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$·
On sait que $u_{n+1} = \dfrac{u_{n}}{4} = \dfrac{1}{4}u_{n} = 0,25u_{n}$. 
\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $0,25$.
L'égalité précédente montre que la suite  $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $0,25$ et de premier terme $u_{0} = \np{10000000000}$.
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0}\times q^n = 10^{10} \times 0,25^n$. 
\item %Calculer au bout de combien d'heures le nombre de bactéries deviendra inférieur à 100.
Il faut résoudre l'inéquation :

$u_{n} < 100$ soit $10^{10} \times 0,25^n < 100$ ou encore $0,25^n < 10^{-8}$ et en prenant le logarithme décimal des deux membres $n\log 0,25 < -8\log 10$ et enfin $n > \dfrac{-8\log 10}{\log 0,25}$ (car $\log 0,25 < 0$).

Or $\dfrac{-8\log 10}{\log 0,25} \approx 13,2$.

Il faut donc attendre la 14\up{e} heure pour que le le nombre de bactéries soit inférieur à 100.
\end{enumerate} 

\vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip

%En 2007, une enquête est réalisée sur le lien de cause à effet entre l'état tabagique de la mère pendant la grossesse et les troubles respiratoires de l'enfant. Cette enquête est réalisée sur un échantillon de \np{1500} enfants de 10~ans. Chaque enfant est classé dans un des trois groupes suivants : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] les asthmatiques, 
%\item[$\bullet~$] ceux présentant des troubles asthmatiformes (considérés comme non-asthmatiques), 
%\item[$\bullet~$] ceux sans trouble.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Le recueil des données étant réalisé sous couvert de l'anonymat auprès de professionnels médicaux, \np{1500}~fiches de renseignements anonymes ont ainsi été créées. Ces fiches indiquent que : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] \np{1223}~enfants n'ont aucun trouble. 
%\item[$\bullet~$] 4,8\:\% des enfants sont asthmatiques ; 
%
%75\:\% d'entre eux ont une mère ayant fumé pendant la grossesse. 
%\item[$\bullet~$] 16\:\% des mères ont fumé pendant la grossesse. 
%\item[$\bullet~$] 40\:\% des enfants ayant des allergies asthmatiformes ont une mère n'ayant pas fumé pendant la grossesse.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%Les résultats seront arrondis au millième. 
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard une fiche de renseignement d'un enfant. On admet que chacun de ces choix est équiprobable. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité que l'enfant soit asthmatique et ait une mère fumeuse.
Le nombre d'enfants asthmatiques ayant une mère fumeuse est égal à :

$\np{1500}\times 0,048 \times 0,75 = 54$.

La probabilité est donc égale à $\dfrac{54}{\np{1500}} = \dfrac{18}{500} = \dfrac{3,6}{100} = 0,036$. 
		\item  %Calculer la probabilité que l'enfant soit asthmatique sachant que sa mère est fumeuse.
On a $p_{\text{mère fumeuse}}(\text{enfant asthmatique}) = \dfrac{p(\text{enfant asthmatique et mère fumeuse})}{p(\text{mère fumeuse})} = \dfrac{0,036}{0,16} = \dfrac{3,6}{16} = 0,225$. 
	\end{enumerate}
\item %Compléter le tableau à double entrée de l'annexe.
Voir à la fin. 
\item %Soient T et F les évènements respectivement définis par \og la fiche indique que l'enfant présente des troubles asthmatiformes \fg{} et \og la fiche indique que la mère a fumé pendant la grossesse \fg. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité des évènements T et F.
On a $p(\text{T}) = \dfrac{205}{\np{1500}} \approx 0,137$.

$p(\text{F}) = \dfrac{240}{\np{1500}} = 0,16$. 
		\item %Définir par une phrase l'évènement T ~$\cap$~F puis calculer sa probabilité.
T ~$\cap$~F : \og l'enfant présente des troubles asthmatiformes \textbf{et} sa mère a fumé pendant la grossesse \fg.

$p(\text{T} \cap \text{F}) = \dfrac{123}{\np{1500}} = \dfrac{41}{500} \dfrac{8,2}{100} = 0,082$.  
	\end{enumerate}
\item %On choisit au hasard une fiche parmi celles indiquant que la mère a fumé pendant la grossesse. 

%Calculer la probabilité que l'enfant n'ait aucun trouble.
Sur les 240 fiches indiquant que la mère a fumé pendant la grossesse 63 ne présentent aucun trouble.

La probabilité est donc égale à : $\dfrac{63}{240} = \dfrac{21}{80} = \np{0,2625} \approx 0,263$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 
\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

%La trypsine est une enzyme digestive du suc pancréatique qui a pour but de digérer les protéines. Elle est synthétisée sous forme de trypsinogène puis stockée dans les vésicules enzymatiques des cellules acineuses, d'où elle est excrétée au moment de la digestion. 
%
%\medskip
%
%Le but de cet exercice est de rechercher pour quelle valeur du pH du duodénum l'action de la trypsine est la plus efficace. 

\medskip

%Soit $f$ la fonction, définie et dérivable sur [6~;~9J, d'expression 
%
%\[f(x) = 0, 37x^3 - 9, 35x^2 + 76, 51x - 200,95\]
% 
%La fonction $f$ mesure l'efficacité de la trypsine lors de la digestion pour différentes valeurs $x$ du pH.
% 
%Soit $f'$ sa fonction dérivée. 
\begin{enumerate}
\item  ~%Voici la représentation graphique de la fonction $f'$ : 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(10.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-2.5)(10.5,6)
\uput[u](10.5,0){$x$ (pH)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{6}{9}{1.11 x dup mul mul 18.7 x mul sub 76.51 add}
\end{pspicture}

\medskip

%À l'aide du graphique, dresser le tableau de signes de la fonction $f'$, sur l'intervalle [6~;~9].
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,1.5)
\psframe(6,1.5) \psline(0,1)(6,1) \psline(2,0)(2,1.5)
\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.1,1){$6$}\uput[u](4,1){$7$}\uput[u](5.9,1){$9$}
\rput(1,0.5){signe de $f'$}\rput(3,0.5){+}\rput(4,0.5){$0$}\rput(5,0.5){$-$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer l'expression de $f'$ et vérifier que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [6~;~9],
%		\[ f'(x) = (x - 7)(1,11x - 10,93) \]
Sur l'intervalle [6~ ;~9], la fonction $f$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 3 \times 0,37x^2 - 2 \times 9,35x + 76,51 = 1,11x^2 - 18,7x + 76,51$.

Or si on développe :

$(x - 7)(1,11x - 10,93) = 1,11x^2 - 10,93x - 7,77x + 7 \times 10,93 =  1,11x^2 - 18,7x + 76,51 = f'(x)$.

On a donc : $f'(x) = (x - 7)(1,11x - 10,93)$.		
	\item %Retrouver par le calcul les résultats de la question 1.
On a donc $f'(x) = 0$ si $x - 7 = 0$ ou si $1,11x - 10,93 = 0$ soit si $x = 7$ ou si $x = \dfrac{10,93}{1,11} \approx 9,85$. On peut donc dresser le tableau de signes de $f'$ sur l'intervalle [6~;~9] :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3.5)
\psframe(6,3.5) \psline(0,1)(6,1)\psline(0,2)(6,2)\psline(0,3)(6,3) \psline(2,0)(2,3.5)
\uput[u](1,3){$x$}\uput[u](2.1,3){$6$}\uput[u](4,3){$7$}\uput[u](5.9,3){$9$}
\rput(1,2.5){$x - 7$}\rput(3,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5,2.5){$+$}
\rput(1,1.5){$1,11x - 10,93$} \rput(3,1.5){$-$}\rput(5,1.5){$-$}
\rput(1,0.5){signe de $f'$}\rput(3,0.5){+}\rput(4,0.5){$0$}\rput(5,0.5){$-$}
\end{pspicture}
\end{center} 
 
	\end{enumerate}
\item %Dresser le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [6~;~9].
D'après la question précédente $f$ est croissante sur [6~;~7] et décroissante sur [7~;~9]. D'où le tableau :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psframe(8,2.5) \psline(0,2)(8,2)\psline(2,0)(2,2.5)
\uput[u](1,2){$x$}\uput[u](2.1,2){6} \uput[u](5,2){7}\uput[u](8.9,2){9}
\psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5)\psline(5.5,1.5)(7.5,0.5)
\rput(1,1){$f(x)$} 
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Quel doit être le pH du duodénum pour que la réaction protéinique soit la plus efficace possible ?
La valeur du pH la plus élevée est obtenue pour $x = 7$, soit $f(7) = 0,37 \times 7^3 - 9,35 \times 7^2 + 76,51 \times 7 - 200,925 = 3,38$. 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe (exercice 1) à rendre avec la copie }

\vspace{3cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4.cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
	&Mère fumeuse pendant la grossesse &Mère non fumeuse pendant la grossesse &
Total\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Enfants asthmatiques\\ \end{tabular}&54&18& 72\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Enfants présentant un\\ trouble asthmatiforme\\ \end{tabular} &123 &82&205\\ \hline
\begin{tabular}{l}Enfant ne présentant au-\\cun trouble\\ \end{tabular} &63&\np{1160}&\np{1223}\\ \hline 
\begin{tabular}{l}Total\\ \end{tabular}& 240&\np{1260} &\np{1500} \\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\end{document}