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%tapuscrit corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Métropole 19 juin 2013~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{QCM}

{\footnotesize 
\emph{Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.}

\emph{Le candidat notera sur sa copie, le numéro de la réponse de  chaque question suivi de la lettre correspondante à la réponse
  choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte ajoute un point, une réponse fausse ou  l'absence de réponse n'enlève aucun point.}
}
\vspace{0.5cm}

L'évolution de l'endettement d'une entreprise est donnée par le tableau ci-desssous, extrait d'une feuille de calcul.

 \begin{center}
  \begin{tabular}{|*{8}{>{$}c<{$}|}}
    \hline
    & \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} & \text{F}
    & \text{G} \\
    \hline
    1 & \text{Année} & 2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015 & 2016 \\
    \hline
    2 & \text{Endettement en milliers d'euros} & 400 & 410 & & & & \\
    \hline
    3 & \multicolumn{1}{m{5cm}}{\hfill Pourcentage d'évolution
      entre \hfill ~ \par \hfill 
        deux années consécutives \hfill~} 
    & \multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c}{}  &  & & & & \\
    \hline
  \end{tabular}\end{center}
 

\begin{enumerate}
\item Le pourcentage d'augmentation de l'endettement de l'entreprise
  entre les années 2011 et 2012 est :
  
   \medskip
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{a.}~~ \np{0.25}\,\%}  &\ovalbox{\textbf{b.}~~ \np{2.5}\,\%}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~\np{10.25}\,\% }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~ \np{0.025}\,\%}
\end{tabularx}

\medskip

\emph{À partir de l'année 2012, on admet que l'endettement de   l'entreprise diminuera chaque année de 5\,\%.}
\item La formule à saisir dans la cellule \verb+D2+, qui recopiée vers  la droite, permettra d'afficher les valeurs en milliers d'euros de
  l'endettement de l'entreprise pendant les années qui suivent 2012  est :
  
  \medskip
  
   \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=410*0,95 } &\textbf{b.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C2*0,05} &\ovalbox{\textbf{c.}~~ =C2*0,95  }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~ =\$C\$2*0,95}  \\
\end{tabularx}

 \medskip
 
\item On désigne par $n$ un entier naturel. On note $u_n$  l'endettement de l'année $2012 +n$, ainsi $u_0 = 410$.

 L'endettement  de l'entreprise en milliers d'euros pendant l'année 2020 est:
 
 \medskip
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~  \ovalbox{$u_8 = 410 \times 0,95^8$ }&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$u_8 = 410 \times 0,95^9$} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~ $u_9 = 410 \times 0,95^8$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~$u_9 = 410 \times 0,95^9$ }\\
\end{tabularx}

 \medskip
 
\item On cherche à partir de quelle année l'endettement de l'entreprise aura diminué de moitié.

 Pour cela l'inéquation à résoudre s'écrit $410 \times 0,95^n \leqslant 205$, où $n$ désigne un  entier naturel. Les solutions de cette inéquation sont les entiers   $n$ tels que : 
  
 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ n \leqslant \frac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$ } &\ovalbox{\textbf{b.}~~ $ n \geqslant \frac{\log(0,5)}{\log(0,95)}$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~$ n \geqslant \log \left(\frac{0,5}{0,95}\right)$ }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{d.}~~$ n \leqslant \log \left(\frac{0,5}{0,95}\right)$} \\
\end{tabularx}

 
\item Dans le tableau les cellules \verb+C3+ à \verb+G3+ sont en  pourcentages. La formule à saisir dans la cellule \verb+C3+, qui
  recopiée vers la droite, permet d'afficher le pourcentage  d'évolution de l'endettement de l'entreprise entre deux années
  consécutives est :
  
  \medskip
  
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~=\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{(\$C2-\$B2)/\$B2  } &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{b.}~~=C2-B2/B2 }&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\textbf{c.}~~=C2/B2} &\ovalbox{\textbf{d.}~~=(C2-B2)/B2 }\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill }

\medskip

{\footnotesize
Fin 2010, \np{1200000} personnes âgées dépendantes ont bénéficié de l'Allocation Personnalisée d'Autonomie (APA), soit à domicile, soit en
établissement.

Ces personnes sont classées dans quatre Groupes Iso-Ressources (GIR) en fonction des différents stades de pertes d'autonomie.

Les résultats, exprimés en milliers de personnes, d'une enquête réalisée en 2010 auprès des conseils généraux ont permis de construire
le tableau suivant.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{1.5cm}|}\hline
&\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA à domicile (\emph{en
    milliers})&\footnotesize Nombres de personnes bénéficiant de l'APA en établissement (\emph{en
    milliers})&Total (\emph{en milliers}) \\ \hline
Nombre de personnes en GIR1 (\emph{en milliers}) & 19 	& 86 	& 105\\ \hline
Nombre de personnes en GIR2 (\emph{en milliers}) & 131 	& 191 	& 322\\ \hline
Nombre de personnes en GIR3 (\emph{en milliers}) & 159 	& 79 	& 238\\ \hline
Nombre de personnes en GIR4 (\emph{en milliers}) & 425 	& 110 	& 535\\ \hline
Total (\emph{en milliers}) 						 & 734 	& 466 	&\np{1200} \\ \hline
\multicolumn{4}{m{13cm}}{\footnotesize Source : Enquête trimestrielle en 2010 auprès des conseils
 généraux par la Direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques du Ministère de la santé.}
\end{tabularx}
\end{center}}
\begin{enumerate}
\item Justifions, par un calcul approprié, chacune des affirmations  suivantes dans lesquelles les résultats ont été arrondis à l'unité.
  \begin{enumerate}
  \item Le pourcentage des personnes de l'étude qui vivent à domicile est égal à 61\,\%.

Nous calculons la proportion de personnes vivant à domicile par rapport à la population étudiée : 

$\frac{734}{\np{1200}}\approx \np{0.612}$ soit en pourcentage environ 61\,\%.
  \item 3\,\% des personnes de l'étude vivant à domicile sont classées en GIR1.
  
 Nous calculons la proportion de personnes classées GIR1 parmi les personnes vivant à domicile :
 
$\frac{19}{734}\approx \np{0.259}$ soit environ 3\,\%.
  \end{enumerate}
\emph{Pour chacune des questions suivantes, on donnera les résultats  sous forme décimale, arrondie au centième.}
\item On choisit au hasard le dossier d'une personne agée dépendante   bénéficiant de l'APA.

  On considère les événements suivants :
  \begin{description}
  \item[$G$ :] \og Le dossier est celui d'une personne classée en GIR1\fg.
  \item[$E$ :] \og Le dossier est celui d'une personne vivant en établissement\fg.
  \end{description}
  
  L'univers est l'ensemble  des personnes âgées dépendantes et la loi mise sur cet univers  est l'équiprobabilité. La probabilité d'un événement A est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$
  \begin{enumerate}
  \item Calculons la probabilité des événements $G$ et $E$.
 \begin{description}
\item[]Il y  a,  en milliers, 105 personnes en GRI1 d'où 
$P(G)= \frac{105}{\np{1200}} \approx 0,09$. 
\item Il y a, en milliers, 466 personnes en établissement d'où
$P(E) = \frac{466}{\np{1200}} \approx 0,39$.
 \end{description} 
\item %Définir par une phrase chacun des événements suivants $G \cap E$ et $G \cup E$ puis calculer leur probabilité.

\begin{description}
\item[] $G \cap E$ est l'événement : \og le dossier est celui d'une personne classée en GIR1 et vivant en établissement\fg{};

  $P(G \cap E) = \frac{86}{1200} \approx 0,07$.
\item[]   $G \cup E$ est l'événement: \og le dossier est celui d'une personne classée en GIR1 ou vivant en établissement\fg{};
   
  $P(G \cup E) = P(E) +P(G) - P(G \cap E) = 0,09 + 0,039 - 0,07=\np{0.41}$.
 \end{description}
  \item Sachant que le dossier choisi est celui d'une personne classée en GIR4, calculons la probabilité $p$ que cette personne vive à domicile.
  Il y a 425 milliers de personnes vivant à domicile parmi les personnes classées GRI4.
  
 $p = \frac{425}{535}      \approx 0,81$.
  \item Calculons $P_E(G)$.$P_E(G) = \dfrac{P(E \cap G)}{P(E)} =  \dfrac{\np{0.07}}{\np{0.39}}\approx  0,18$. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill }

\medskip
{\footnotesize
Pour traiter un patient, un médecin procède à l'injection intramusculaire d'une dose d'une substance médicamenteuse au temps
$t=0$ ($t$ est exprimé en heures).

Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé.

Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif 
dans le sang est supérieur ou égale 25 mg.L$^{-1}$

(25 milligrammes par litre). 

La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg.L$^{-1}$ pour éviter les effets
secondaires.
}

\textbf{Étude graphique}

{\footnotesize
La courbe donnée en annexe représente la concentration en mg.L$^{-1}$ du produit actif dans le sang du
malade en fonction du temps écoulé depuis l'injection du médicament.

À l'aide de cette courbe répondre, avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de
constructions utiles.
}
\begin{enumerate}
\item Déterminons la concentration du produit actif pour $t = 5$. Pour ce faire, lisons l'ordonnée du point d'abscisse 5 appartenant à la courbe, nous lisons 5.( traits en bleu)

Au bout de 5 heures la concentration du produit actif  est de 5 mg.L$^{-1}$
\item Le médecin a respecté la dose à ne pas dépasser car le maximum de la fonction est très inférieure à la dose maximale 40 mg.L$^{-1}$.
\item Déterminons les temps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actif est de 15 mg.L$^{-1}$. 

Pour ce faire, traçons la droite  d'équation $y=15$ et lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous lisons environ 0,5  soit  30 minutes ou  4,1 soit  4 heures 6 minutes. (traits en cyan)
\item Déterminons la durée pendant laquelle le médicament  est resté efficace. Traçons la droite  d'équation $y=25$. Les abscisses des points d'intersection de cette droite et de la courbe  sont 1 et 3,2. Entre ces valeurs la courbe est au-dessus de cette droite. La durée est la différence  entre ces deux abscisses ; la durée est donc 2,2 soit 2~heures et 12 minutes. (traits en rouge)
\item Le médicament est complétement éliminé lorsque la courbe recoupe l'axe des abscisses c'est-à-dire pour $t=6$. Le médicament est entièrement éliminé au bout de 6 heures.
\end{enumerate}


    
\textbf{Étude numérique}

On admet que la concentration, exprimée en mg.L$^{-1}$, du produit actif dans le sang du malade
est donnée en fonction du temps $t$, exprimé en heures, par la
fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleA$ par :
\[
f(t) =t^3 - 12t^2 + 36t.
\]
\begin{enumerate}
\item  Complétons le tableau de valeurs numériques suivant :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|*{8}{X|}}\hline
$t$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline
$f(t)$ & 0&25 &32 & 27& 16& 5& 0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur  l'intervalle $\intervalleA$. 
  
 $f'(t)=3t^2-12(2t)+36=3t^2-24t+36$.
  \item Vérifions que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle     $\intervalleA$, on a : $f'(t) = (t-6)(3t-6)$.
  
  $(t-6)(3t-6)=3t^2-6t-18t+36=3t^2-24t+36=f'(t)$
  \item Résolvons l'équation $f'(t) = 0$ sur l'intervalle $\intervalleA$.
  
  Résolvons   $(t-6)(3t-6)=0$ 
  
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs le soit.

$t-6=0$ ou $3t-6=0$ \hspace{3em}$t=6$ ou $t=2$

Les solutions de l'équation $f'(t)=0$ sont 6 ou 2.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Étudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $\intervalleA$.
  
  Sur $\R,\ t-2>0 \iff t>2, \quad t-6<0 \iff t<6$
  
  Par conséquent sur  $\intervalleA$,  le signe de  $f'(t)$ est le signe de  $-(t-2)$. 
  
  Si $t\in[0~;~2[,\ f'(t)>0$  et si $ t\in]2~;~6[,\ f'(t)<0$
  
  \item Si pour tout $x \in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~2[, \: f'(t)>0$ par conséquent  $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \  f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $]2~;~6[, \:  f'(t)<0$ par conséquent  $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons maintenant le tableau de variations de la fonction $f$ sur  l'intervalle $\intervalleA$.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$2$}    \uput[u](7.73,2.45){$6$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}\rput(7.73,2.2){0}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[dl](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$32$}
\end{pspicture}
\end{center}

 La fonction admet un maximum en 2 et celui-ci vaut 32, par conséquent la concentration maximale du produit actif dans le sang du malade est 32 mg.L$^{-1}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\textsc{\large Annexe}\\ à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\vspace{0.5cm}

 \psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,algebraic=true}   
\begin{pspicture}(-1,-1)(7.5,55)
    \psaxes[Dx=1,Dy=5]{->}(7.3,52)
    \multido{\n=0.5+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,50)}
     \multido{\n=0.1+0.1}{70}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,50)}
    \multido{\n=5+5}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(7,\n)}
     \multido{\n=0+1}{50}{\psline[linewidth=0.05pt,linecolor=orange](0,\n,)(7,\n)}
       \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.95pt,plotpoints=800]{0}{6}{x^3-12*x^2+36*x}
       \psCoordinates[arrows=->,linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Add,dotangle=45,dotscale=2](*5 {x^3-12*x^2+36*x})
\psCoordinates[arrows=<-,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*0.49496 {x^3-12*x^2+36*x})
\psCoordinates[arrows=<-,linecolor=cyan,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Mul,dotscale=3](*4.08338 {x^3-12*x^2+36*x})
\psCoordinates[arrows=<-,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Bar,dotangle=45,dotscale=4](*1 {x^3-12*x^2+36*x})
\psCoordinates[arrows=<-,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=0.5pt, dotstyle=Bar,dotangle=135,dotscale=4](*3.2087 {x^3-12*x^2+36*x})
\rput(7,1){\footnotesize temps en heures}
\rput(1,53){\footnotesize Concentration en milligrammes par litre (mg.L$^{-1}$)}
\rput(0.5,-0.7){\tiny \textcolor{cyan}{$\approx \np{0.5}$}}\rput(4.08,-0.7){\tiny \textcolor{cyan}{$\approx \np{4.1}$}}
\rput(3.2,-0.7){\tiny \textcolor{red}{$\approx \np{3.2}$}}
\psline[linecolor=green,linewidth=0.5pt](0,40)(7,40)
\rput(3.5,40.2){\scriptsize \textcolor{green}{ valeur limite}}
  \end{pspicture}

\end{document}





