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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Métropole 16 juin 2016~\decofourright\\ }}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(7 points)}

\medskip

{\footnotesize
L'embolie pulmonaire correspond à l'obstruction d'une artère pulmonaire par un caillot
circulant dans le sang.

Un test sanguin fondé sur le dosage de certaines molécules, les D-dimères, permet d'éclairer le
diagnostic lorsqu'une embolie pulmonaire est suspectée.

Pour étudier l'efficacité de ce test sanguin, on a réalisé une étude sur un groupe de \np{1000} patients
dont il ressort que :

\begin{itemize}
\item[\textbullet] 364 patients ont un test sanguin négatif et, parmi eux, 4 sont néanmoins atteints d'une embolie pulmonaire.
\item[\textbullet] 800 patients ne sont pas atteints d'une embolie pulmonaire.
\end{itemize}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau est complété  sur celui donné en \textbf{annexe 1 page \pageref{rep}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}.
\item On choisit le dossier médical d'un patient au hasard parmi les \np{1000} patients ayant été testés.

Chaque dossier a la même probabilité d'être choisi.

On considère les évènements suivants:

$T$ : \og Le test sanguin du patient est positif \fg{} et $\overline{T}$ son évènement contraire;

$M $ : \og Le patient est atteint d'une embolie pulmonaire\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.

La loi mise sur cet univers, l'ensemble des patients, est l'équiprobabilité.

La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A) = \dfrac{\text{\footnotesize nombre d'éléments de }A}{\text{\footnotesize nombre d'éléments de l'univers}}$.
 
 
	\begin{enumerate}
		\item Il y a $636$ personnes ayant un test positif donc la probabilité que le test sanguin du patient soit positif est $\dfrac{636}{\np{1000}} = \np{0.636}$.
		\item  $P(M) = \np{0.2}$ et $P_M(T) = \dfrac{196}{200} = \np{0.98}$.
		\item  $M \cap T$ est  l'évènement : \og le patient est atteint d'une embolie pulmonaire et son test est positif \fg. Il y a 196 personnes atteintes d'embolie pulmonaire ayant un test positif par conséquent sa probabilité est $0,196$.
	\end{enumerate}
\item On donne les définitions suivantes:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
& \multicolumn{1}{c|}{Définition}\\\hline
Valeur prédictive positive&Probabilité d'avoir une embolie pulmonaire sachant que le test sanguin est positif.\\\hline
Valeur prédictive négative& Probabilité de ne pas avoir une embolie pulmonaire sachant que le test
 sanguin est négatif.\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item   $P_T(M) =\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)} = \dfrac{\np{0.196}}{\np{0.636}}\approx 0,308$. %On donnera une valeur approchée, arrondie au millième.

Le résultat  signifie que, parmi ceux ayant un test positif, \np{30.8}\,\% sont atteint d'embolie pulmonaire.%obtenu en termes de valeur prédictive.
		\item  La valeur prédictive négative de ce test sanguin  est $p_{\overline {T}}\left(\overline {M}\right)$. 

$p_{\overline {T}}\left(\overline {M}\right) = \dfrac{360}{364} \approx 0,989$.

		\item En examinant les deux résultats précédents,  ce test sanguin
pour le diagnostic de l'embolie pulmonaire n'est pas utile car seulement 30,8\,\% des personnes ayant un test positif sont  malades et \np{1.1}\,\% des ceux qui  ont un test négatif sont pourtant  malades.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(8 points)}

\medskip

On étudie la durée d'allaitement maternel d'un groupe de \np{1000} nourrissons nés le même jour.
À la fin de chaque semaine après la naissance, on compte le nombre de nourrissons encore
allaités maternellement.

\smallskip
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
\smallskip

\textbf{Partie A}

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne semaine après semaine le nombre
de nourrissons encore allaités maternellement.

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.35cm}|*8{c|}}\hline
\rowcolor{lightgray} 	&\centering A& B& C	&D	&E	&F	&G	&H	&I\\\hline
1&\begin{minipage}{4.25cm}Nombre de semaines depuis la naissance
\end{minipage}			&1			&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\\hline
2&\begin{minipage}{4.25cm}Nombre de nourrissons encore allaités maternellement
\end{minipage}			&595		&572&551&534&505&485&472&453\\\hline
3&Pourcentage d'évolution&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}			&$-3,9\,\%$&	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution $t$  est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.		
		$t=\dfrac{\np{551}-\np{572}}{\np{572}}\approx-\np{0.0367}$.

Le pourcentage d'évolution, arrondi à $0,1$\,\%, entre la deuxième et la troisième semaine, du
nombre de nourrissons encore allaités maternellement est $-\np{3.7}\,\%$.
\item \emph{Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.}

Une formule à saisir dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer
le pourcentage d'évolution entre deux semaines consécutives du nombre de nourrissons allaités
maternellement est =(C\$2$-$B\$2)/B\$2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~100]$ par:

\[f(x) = 620 \times 0,96^x.\]

\begin{enumerate}
\item  On admettra que la fonction $f$ a les mêmes variations que la fonction $g$ définie sur
l'intervalle $[0~;~100]$ par $g(x) = 0,96^x$.

Nous savons que si $0<a<1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction strictement décroissante sur $\R$. Ici $a=\np{0.96}$,  c'est-à-dire un nombre strictement inférieur à 1 par conséquent la fonction $x\longmapsto \np{0.96}^x $ est une fonction strictement décroissante sur [0~;~100].

	Il en résulte que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~100].


%Déterminer, en justifiant, le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~100]$.
\item  Le tableau de valeurs, correspondant à la fonction $f$ est  complétée  dans \textbf{l'annexe 3 donné page
\pageref{courbe}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}.\emph{ Les résultats sont arrondis à l'unité.}
\item La représentation graphique de la fonction $f$ est tracée   dans le repère fourni dans
\textbf{l'annexe 3 page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}}.

\item \begin{enumerate}
\item  Résolvons graphiquement l'inéquation $f(x) \leqslant 250$. %\emph{Tracer les pointillés nécessaires et donner une valeur approchée du résultat avec la précision permise par le graphique.}
Nous traçons la droite d'équation $y=250$ et  lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Avec la précision permise par le graphique nous lisons environ \np{2.2}. Par conséquent l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle $]\np{2.2}~;~100]$.
\item Retrouvons le résultat précédent par le calcul. Pour ce faire, résolvons $620\times \np{0.96}^x \leqslant 250$
\begin{align*}
620\times \np{0.96}^x &\leqslant 250\\
 \np{0.96}^x &\leqslant \dfrac{250}{620}\\
\log\np{0.96}^x &\leqslant \log\dfrac{25}{62}\\
x\log\np{0.96} &\leqslant \log\dfrac{25}{62}\\
x &\geqslant \dfrac{\log\dfrac{25}{62}}{\log\np{0.96}}& \text{car } \log 0,96 <0\\
\end{align*}
En appelant $\alpha$ ce nombre  $\dfrac{\log\dfrac{25}{62}}{\log\np{0.96}},\quad \alpha\approx \np{22.2492}$. L'ensemble solution de l'inéquation est $[\alpha~;~100]$.

\item On modélise, à l'aide de la fonction $f$, le nombre de nourrissons allaités
maternellement. Ainsi, $f(x)$ donne une estimation du nombre de nourrissons encore
allaités maternellement, $x$ semaines après leur naissance.

Selon ce modèle,  le nombre de semaines à partir duquel moins d'un quart des
nourrissons seront encore allaités maternellement est d'environ 23 semaines.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip  
Dans cette partie, on modélise, à l'aide d'une suite géométrique, le nombre de nourrissons
allaités maternellement. On suppose que ce nombre diminue de 4\,\% chaque semaine.

Pour tout entier $n$ strictement positif, on note $U_n$ une estimation du nombre de nourrissons
encore allaités maternellement $n$ semaines après leur naissance.

Ainsi $U_1 = 595$.

\begin{enumerate}

\item À un taux d'évolution de $-\np{0.04}$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.04}$ soit \np{0.96}. Passant d'un terme au suivant en multipliant par ce même nombre, la raison de la suite géométrique $\left(U_n\right)$ est 0,96.
\item Le terme général d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_1$ est $u_n=u_1q^{n-1}$

Pour tout entier $n \geqslant 1$,  $U_n=595\times (\np{0.96})^{n-1}$.
\item Selon ce modèle, une estimation du  nombre de nourrissons encore allaités
maternellement 24 semaines (soit environ 6 mois) après leur naissance est $u_{24}$. $u_{24}=595\times (\np{0.96})^{23}\approx 233$ à l'unité près.
Une estimation du nombre de nourrissons allaités maternellement 24 semaines après la naissance est d'environ 233.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}
{\footnotesize
\emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}. Pour chaque question, quatre
affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.}

\emph{Le candidat complétera le tableau de réponses fourni en \textbf{annexe $2$ page \pageref{rep}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}, en précisant la lettre de la réponse choisie pour chaque question.}

\emph{Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève
aucun point.}

\textbf{Dans chaque partie, les questions peuvent être traitées de façon indépendante.}
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne, pour chacune des années de 2007 à 2014, la proportion de
Finlandais âgés de 25 à 64 ans qui ont terminé au moins le second cycle du secondaire.

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabular}{|m{5cm}|*8{c|}}\hline
\centering Année 		&2007	& 2008	& 2009	& 2010	& 2011 	&2012	& 2013	& 2014\\\hline
Rang de l'année $(x_i)$	& 0 	&1 		&2		& 3		& 4		& 5 	&6		& 7\\\hline
\begin{minipage}{4.9cm}Proportion (en\,\%) de
Finlandais âgés de 25 à 64 ans
ayant terminé au moins le 
second cycle du secondaire $(y_i)$\end{minipage}& 80,5 &81,1& 82 &83& 83,7& 84,8& 85,9& 86,5\\\hline
\multicolumn{9}{r}{(Source: Eurostat)}
\end{tabular}

On considère le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le point moyen, G, de ce nuage de points a pour coordonnées, arrondies au dixième:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~} $(4~;~\np{95.4})$&\textbf{b.~~} $(4~;~\np{83.4})$&\textbf{c.~~} $(\np{3.5}~;~\np{83.4})$&\textbf{d.~~}  $(\np{3.5}~;~\np{95.4})$\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}
{\footnotesize Le point moyen est le point de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$, $\overline{x}=\frac{8\times (0+7)}{2 \times 8}=\np{3.5}$.

La moyenne étant une valeur comprise entre la plus grande et la plus petite  la réponse d ne convient pas donc réponse c}


\item On admet que la droite ($\Delta$) d'équation $y = 0,89x + 80,3$ réalise un bon ajustement affine
du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu'en 2025.

Selon cet ajustement, on peut estimer que la proportion de Finlandais âgés de 25 à 64 ans
ayant terminé au moins le second cycle du secondaire sera en 2020 de :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $90,98\,\%$&\textbf{b.~~} $98,1\,\%$&\textbf{c.~~} $92,76\,\%$&\textbf{d.~~}  $91,87\,\%$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

{\footnotesize  en 2020 $n=13$ $y=\np{0.89}\times 13+\np{80.3}=\np{91.87}$ réponse d}

\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~8]$ dont la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ est donné dans le repère orthonormal ci-dessous.La droite(T) est tangente à la courbe au point A d'abscisse 2.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-5)(9,6)
\psaxes[linewidth=1.05pt]{->}(0,0)(-5.5,-5)(9,6)
\multido{\n=-5.5+0.5}{30}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,6)}
\multido{\n=-5+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-5.5,\n)(9,\n)}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,-2)(-4,-0.7)(-3,0)(-2,1.7)(-1,3)(0,2)(2,0)(3,-1.5)(4,-2)(5,0)(7,2)(8,4)
\uput[dl](0,6.05){$y$}
\uput[d](9,0.05){$x$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](2,0){A}\uput[ur](8,3){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed] (-1,6)(4.5,-5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](-5,-2)(-3,0)(-1,3)(0,2)(2,0)(4,-2)(5,0)(7,2)(8,4)
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 2 est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $-2$&\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~} $-4$&\textbf{d.~~}  $4$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
{\footnotesize $f'(2) =\dfrac{4-0}{0-2}=-2$, réponse a}


\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On a 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}} \hline
\textbf{a.~~} $f'$ positive sur $[-3~;~2]$&\textbf{b.~~} $f'$ négative sur $[2~;~5]$\\\hline
\textbf{c.~~} $f'$ négative sur $[-1~;~4]$&\textbf{d.~~}  $f'$ positive sur $[-1~;~2]$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
{\footnotesize $f$ est strictement décroissante sur $[-1~;~4]$ par conséquent la dérivée est négative sur cet intervalle, réponse c}


\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{X|}} \hline
\textbf{a.~~}  $[0~;~4]$&\textbf{b.~~} $[-3~;~2]\cup [5~;~8]$\\\hline
\textbf{c.~~}  $[0~;~8]$&\textbf{d.~~}   $[-5~;~-1]\cup [4~;~8]$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
{\footnotesize La courbe est située au dessus de l'axe des abscisses sur $[-3~;~2]\cup[5~;~8]$, réponse b}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 1 (\textsc{Exercice 1})}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&Patient atteint d'une embolie pulmonaire 	&Patient non atteint d'une embolie pulmonaire&  Total\\\hline
Test positif										&196						&440		&636\\\hline
Test négatif 	& 4									&360						&364\\\hline 
Total 			&200								&800						&\np{1000}\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 2 (\textsc{Exercice 3})}

\medskip
\begin{center}
\emph{Recopier la lettre de la réponse choisie pour chaque question.}
\end{center}

\textbf{Partie A :}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|}}\hline 
Question &1&2\\\hline
Réponse&C&D\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Partie B :}

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{>{\centering \arraybackslash}m{3cm}|}}
\hline 
Question &1&2&3\\\hline
Réponse&A&C&B\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{rep}
\newpage 

\begin{center}
\textbf{annexe à remettre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 3 (\textsc{Exercice 2})}

\begin{center}
\emph{Valeurs approchées, arrondies  à l'unité}

\medskip
\begin{tabular}{|c|*{9}{p{0.85cm}|}}\hline
$x$						&0	&5	&10	&20	&30	&40	&60	&80	&100\\\hline
$f(x)=620\times 0,96^x$	&620	&506	&412	&274	&182	&121	&54	&24	&10\\\hline
\end{tabular}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.02}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(110,750)
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(109,700)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{100}{0.96 x exp 620 mul}
\def\Func {0.96 x exp 620 mul}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 22.2492 def \Func)(!22.2492 /x 22.2492 def \Func)(22.2492,0)
\uput[l](0,250){\textcolor{violet}{$250$}}\uput[d](22.2492,0.15){\scriptsize\textcolor{violet}{$\approx \np{22.2}$}}

\end{pspicture}
\end{center} 
\label{courbe}
\end{document}