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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat  ST2S  Métropole 16 juin 2017~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(8 points)}

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize 
La corpulence est mesurée à partir de l'indice de masse corporelle (IMC) qui est égal au
rapport entre la masse (en kilogramme) et le carré de la taille (en mètre). Les individus dont
l'IMC est supérieur à 30 sont considérés comme obèses.

On a réalisé en 2006 une étude à l'aide de questionnaires sur une population d'individus âgés
de 21 à 59 ans.
}
\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des femmes interrogées.

On note $E$ l'évènement : \og le questionnaire choisi correspond à une personne ayant un
emploi \fg{}.

On note $O$ l'évènement : \og le questionnaire choisi correspond à une personne considérée comme obèse \fg.

Selon les données de 2006, on sait que :

\begin{itemize}
\item[---] l'effectif total des femmes interrogées est de \np{2685}, dont \np{1920} ont un emploi ;
\item[---] 10,6\,\% des femmes interrogées sont considérées comme obèses ;
\item[---] parmi les femmes considérées comme non obèses, 72,7\,\% ont un emploi.
\end{itemize}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{On arrondira les résultats à l'entier le plus proche}.
\begin{enumerate}
\item  Puisque 10,6\,\% des femmes interrogées sont considérées comme obèses, le nombre total de femmes considérées comme obèses est égal à $\np{2685}\times \np{0.106}= \np{284.61}$ soit, arrondi à l'unité, 285.

Le nombre  de femmes considérées comme non obèses est alors de $\np{2685}-285=\np{2400}$. 

Puisque parmi celles-ci 72,7\,\% ont un emploi 
le nombre de femmes considérées comme non obèses et ayant un emploi est égal à $\np{2400}\times \np{0.727}=\np{1744.8}$ soit, arrondi à l'unité,  \np{1745}.
\item Nous avons complété le tableau donné en \textbf{\textsc{ANNEXE} 1, à rendre avec la copie}.
\end{enumerate}
\item %\emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au millième}.
L'univers est l'ensemble des \np{2685} questionnaires.

 Le tirage ayant lieu au hasard, la loi de probabilité mise sur cet univers est la loi équiprobable.
 
 Par conséquent $A$ étant un événement de cet univers, $p(A)=\dfrac{\text{nombre d'éléments de A} }{\text{nombre d'éléments de l'univers}}$
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité de l'évènement $E$. $p(E)=\dfrac{\np{1920}}{\np{2685}}\approx \np{0.715}$
\item Donnons la probabilité de l'évènement $O$. Par hypothèse, nous avons $p(O)=\np{0.106}$.
\item L'évènement $E \cap O$ est l'évènement : \og le questionnaire choisi correspond à une femme considérée comme obèse et ayant un emploi\fg.
 
Calculons la probabilité de cet évènement. $p(E\cap O)=\dfrac{175}{\np{2685}}\approx \np{0.065}$
\item Deux évènements sont indépendants si $p(E\cap O)=p(E)\times p(O)$.

$p(E\cap O)=\np{0.065}\quad p(E)\times p(O)=\np{0.715}\times \np{0.106}\approx \np{0.076}$.

Les évènements $E$ et $0$ ne sont pas indépendants.

\end{enumerate}
\item \emph{Étude de l'influence de la corpulence sur le taux d'emploi des femmes en 2006 (les
probabilités seront arrondies au millième)}.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le questionnaire choisi corresponde à une femme ayant un
emploi sachant qu'elle est considérée comme obèse est notée $p_{O}(E)$. 

$p_{O}(E)=\dfrac{p(E\cap O)}{p(O)}=\dfrac{\np{0.065}}{\np{0.106}}\approx \np{0.613}$.
\item D'après l'énoncé  la probabilité $P_{\overline{O}}(E) = 0,727$.


\item En comparant les résultats précédents, nous pouvons dire que  la
corpulence influe sur le taux d'emploi des femmes en 2006 puisque les femmes obèses ont une probabilité moindre d'avoir un emploi.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

{\footnotesize

Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des hommes interrogés.

On reprend les mêmes notations pour les évènements que dans la partie A, c'est-à-dire :

$E$ désigne l'évènement : \og le questionnaire choisi correspond à une personne ayant un
emploi \fg.

$O$ désigne l'évènement : \og le questionnaire choisi correspond à une personne considérée
comme obèse\fg.

On admet que les probabilités associées à cette expérience aléatoire sont représentées à l'aide
de l'arbre de probabilité suivant:

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$O$~}\taput{0,095}}
	  { 
		  \TR{$E$}\taput{0,839}
		  \TR{$\overline{E}$}\tbput{\np{0.161}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{O}$~}\tbput{0,905}}
	  {
		  \TR{$E$}\taput{0,83}
		  \TR{$\overline{E}$}\tbput{\np{0.17}}
	  }
}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  Par lecture de l'arbre,  la probabilité qu'un homme ait un emploi sachant qu'il est
considéré comme non obèse est \np{0.83}. Nous lisons le nombre situé sur la branche reliant $\overline{O}$ à $E$.
\item {\footnotesize Le rapport d'étude conclut qu'il n'y a pas d'influence de la corpulence sur le taux
d'emploi des hommes en 2006.} 

De même nous lisons que la probabilité qu'un homme ait un emploi sachant qu'il est
considéré comme  obèse est \np{0.839}.

 Les probabilités étant proches, nous pouvons considérer  qu'il n'y a pas d'influence de la corpulence sur le taux
d'emploi des hommes en 2006. 
%Comment peut-on le justifier à l'aide de l'arbre précédent ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(7 points)}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Une municipalité a ouvert au public, en novembre 2016, un parc composé d'un étang, d'un
arboretum et d'une maison de la nature permettant d'accueillir des expositions de
sensibilisation à la protection de l'environnement.

Pour des raisons de sécurité, la mairie devra affecter à ce parc un agent supplémentaire si le
nombre de visiteurs dépasse \np{2500} personnes par mois.
}
\medskip

\textbf{Partie A : ajustement affine}

\medskip
{\footnotesize
Afin d'anticiper le recrutement de l'agent supplémentaire, la municipalité a étudié la
fréquentation du parc depuis son ouverture. Ces données sont regroupées dans le tableau
suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|m{2.9cm}|*{7}{>{\footnotesize  \centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\multirow{2}{2cm}{Mois} & Novembre & Décembre  & Janvier & Février  &Mars & Avril & Mai \\   
&2016&2016&2017&2017&2017&2017&2017\\\hline
Rang du mois ($x_i$) &0 &1& 2& 3 &4 &5& 6\\\hline
Nombre de visiteurs par mois ($y_i$)&\np{1200}& \np{1233}& \np{1316}& \np{1360}& \np{1448}& \np{1457}& \np{1520}\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\textbf{Le nuage de points correspondant est donné en \textsc{Annexe} 2, à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} 2}.

Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
\[\overline{x}_G=\frac{0+1+\dots+6}{7}=3 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{1200}+\np{1233}+\dots+\np{1457}+\np{1520}}{7}=\np{1362}\]
 
G~(3~;~\np{1362})

\item On fait l'hypothèse que le nombre de visiteurs par mois de ce parc est correctement
modélisé à l'aide de la droite d'ajustement $D$ d'équation: $y = 54x + \np{1200}$,
$x$ représentant le rang du mois depuis l'ouverture.
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est tracée dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} 2}. Pour la
construction, nous pouvons utiliser les points de coordonnées $(0~;\np{~1200})$ et $(10~;\np{~1740})$.
		\item En supposant cet ajustement fiable jusqu'en 2020, déterminons la date (mois, année) à partir de laquelle la municipalité devra affecter un agent supplémentaire à ce parc.

Pour ce faire résolvons $54x+\np{1200}>\np{2500}$.

$54x+\np{1200}>\np{2500}\quad 54x>\np{2500}-\np{1200}\quad 54x>\np{1300}\quad x> \dfrac{\np{1300}}{54}\quad x>\np{24.074}$.

Il faudrait 25 mois,  ce qui donnerait décembre 2018, pour affecter un agent supplémentaire.

{\footnotesize \textsc{Remarque} Nous aurions pu utiliser le graphique de l'annexe 2 pour lire la date pour laquelle l'ordonnée d'un point de la droite est supérieure à \np{2500}.
Nous aurions lu approximativement 24 et nous aurions conclu à novembre 2018.

 Par le calcul, nous constatons qu'en novembre 2018, selon ce modèle, le nombre de visiteurs est de \np{2496}.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude de l'impact d'une campagne de communication à l'aide d'une suite}

\medskip

La municipalité met en place une campagne de communication et prévoit que le nombre de
visiteurs du parc augmentera de 5\,\% chaque mois à partir de mai 2017.

On modélise dans cette partie le nombre mensuel de visiteurs du parc à l'aide d'une suite
$\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0$ représente le nombre de visiteurs en mai 2017 ($u_0 = \np{1520}$), $u_1$ représente le nombre de visiteurs en juin 2017, etc.

Afin d'étudier l'évolution de la fréquentation du parc, la municipalité utilise la feuille de
calcul automatisé suivante :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.87cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
&\centering{A}& B& C& D &E& F& G& H\\\hline
\multirow{2}{0.2cm}{1}& \multirow{2}{1.6cm}{Mois}&{\small Mai}& {\small Juin}&{\small Juillet}& {\small Août}& {\small Sept.}&{\small Octobre}& {\small Nov.}\\
&&2017& 2017 &2017 &2017& 2017& 2017& 2017\\\hline
2&Estimation du nombre de visiteurs par mois, $u_n$&1520&&&&&&\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une formule que nous pouvons entrer dans la cellule C2 de sorte que, recopiée vers la droite sur la plage C2 : H2, elle permette d'afficher les estimations du nombre de visiteurs par mois est  :\hspace{1em}=B\$2 $\times$ \np{1.05}.
\item \emph{Utilisation de la suite } $\left(u_n\right)$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons une estimation du nombre de visiteurs en juin 2017. Calculons $u_1$.
		
À une augmentation de 5\,\%, correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{5}{100}$ soit \np{1.05}.

 $u_1=\np{1520}\times \np{1.05}=\np{1596}$.
		\item  La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.05} et de premier terme $u_0=\np{1520}$. %Donner la valeur de sa raison.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$.

 Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1520}\times\left(\np{1.05}\right)^n$  .
		\item Déterminons  une estimation du nombre de visiteurs dans ce parc en octobre 2017. 

Nous avons alors $n=5$, $u_5=\np{1520}\times\left(\np{1.05}\right)^5 \approx\np{1939.948}$ soit, arrondi à l'unité, \np{1940}.
	\end{enumerate}
\item Résolvons dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation: $\np{1520} \times 1,05^{x} \geqslant \np{2500}$.

\begin{align*}
\np{1520} \times 1,05^{x} &\geqslant \np{2500}\\
 1,05^{x} &\geqslant \frac{\np{2500}}{\np{1520}}\\
1,05^{x} &\geqslant \frac{125}{76}\\
\log\left(1,05^{x} \right)&\geqslant \log\left(\frac{125}{76}\right)\\
 x \log 1,05 &\geqslant \log \left(\frac{125}{76}\right)\\
 x  &\geqslant \frac{\log \left(\frac{125}{76}\right)}{\log 1,05}\\
\end{align*}

L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left[\dfrac{\log  \left(\frac{125}{76}\right)}{\log \np{1.05}}~;~+\infty\right[$ soit approximativement $[\np{10.198}~;~+\infty[$.

\item La mairie  devra recruter un agent supplémentaire pour ce parc, suite à la campagne de communication, en avril 2018. La fréquentation à cette date est $u_{11}$
soit environ \np{2600} personnes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0; 8] par :

\[f(x) = 0,5x^3 - 12x^2 + 65,625x + 20.\]

\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~8] 

$f'(x) = \np{0.5}(3x^2)-12(2x)+\np{65.625} = \np{1.5}x^2-24x+\np{65.625}$.
\item On admet que: $f'(x) = (x - 3,5)(1,5x - 18,75)$ pour tout nombre réel $x$ de
l'intervalle [0~;~8].

Complétons le tableau de signes suivant, afin d'étudier le signe de $f' (x)$ pour $x$ appartenant à  [0~;~8]. %après l'avoir recopié sur la copie,

Sur $\R,\  x-\np{3.5}>0 \iff  x>\np{3.5}$

Sur $\R,\  \np{1.5}x-\np{18.75}>0 \iff  x>\np{12.5}$ par conséquent pour tout $x \in [0~;~8],\   \np{1.5}x-\np{18.75}<0$

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|m{2.5cm}c m{2.5cm}|}
\hline
$x$& 0& \np{3.5}& \hfill 8\\\hline
$x-3,5$& \centering $-$& 0 & \hspace{2.2em} +\\\hline
$1,5x -18,75$&\centering $-$&& \hspace{2.3em}$-$\\\hline
$f'(x) = (x - 3,5)(1,5x - 18,75)$&\centering $+$&0& \hspace{2.3em}$-$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip
\item Construisons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~8]$.
		
Étudions d'abord le sens de variation de la fonction $f$.
		
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~\np{3.5}[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]\np{3.5}~;~8],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur [0 ; 8].
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$\np{3.5}$}    \uput[u](7.73,2.45){$8$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$20$}\uput[d](7.32,0.45){$33$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$\np{124.125}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0; 8].

\emph{\footnotesize On fera apparaître les valeurs de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle ainsi qu'aux
éventuels changements de variation.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip
{\footnotesize
L'OMS a fixé à 50 milligrammes par litre (mg/L) la concentration limite de nitrates dans l'eau
destinée à la consommation, considérant qu'au-delà il y a des risques pour la santé.

Suite à un incident industriel, une importante quantité de nitrates a été déversée dans un cours
d'eau sur lequel se situe un point de captage pour l'alimentation d'une ville.

Un expert indépendant est alors consulté afin de prévoir l'évolution du taux de nitrates dans
ce cours d'eau au niveau du point de captage pendant les 8 jours suivant l'incident.

L'expert décide de modéliser le taux de nitrates, $x$ jours après le début de l'incident, à l'aide
de la fonction $f$ étudiée en \textbf{partie A}.
}
\begin{enumerate}
\item  D'après ce modèle,  le taux maximal de nitrates atteint pendant la phase de
surveillance de 8 jours est de \np[mg/L]{124.125}, maximum atteint par la fonction $f$ pour $x=\np{3.5}$. 
\item En cas d'incident, un décret impose de fermer le point de captage pendant 8 jours.

D'après le modèle choisi par l'expert,  au terme des 8 jours après le début de l'incident, la concentration des nitrates  est dans les conditions
fixées par l'OMS puisqu'il y aura alors une concentration de \np[mg/L]{33}. Ceci est inférieur à \np[mg/L]{50}.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\textsc{Annexes} à rendre avec la copie}
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Annexe} 1}~: Corpulence et taux d'emploi des femmes en 2006.

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
&Obèse&Non obèse&Total\\
\hline
Ayant un emploi&\textcolor{violet}{175}&\textcolor{violet}{\np{1745}}&\textcolor{violet}{\np{1920}}\\\hline
N'ayant pas un emploi&\textcolor{violet}{110}&\textcolor{violet}{655}&\textcolor{violet}{765}\\\hline
Total&285&\textcolor{violet}{\np{2400}}&\np{2685}\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Annexe} 2}

\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.008cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-100)(30,1700)
 \multido{\n=0+1}{29}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1670)}
 \multido{\n=0+50}{34}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(28.5,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Oy=1000,Dy=100,]{->}(0,0)(29.1,1650)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
 \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,200)(1,233)(2,316)(3,360)(4,448)(5,457)(6,520)
 \uput[u](2,1640){\footnotesize Nombre de visiteurs par mois}
\uput[d](28,- 50){\footnotesize Rang du mois}
 
  \uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}}
 \psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x 54 mul 200 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0)
 \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{27}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}