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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2016}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S    Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[4pt]8 septembre 2016}}

\vspace{0,3cm}
 
une calculatrice est autorisée %conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Les périodes hivernales sont propices au développement de deux maladies: la gastro-entérite
et la grippe saisonnière.

Dans un lycée, le personnel de santé chargé du suivi médical des élèves a effectué un
recensement dont il ressort que:
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 12\,\% des élèves du lycée ont contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016;
\item [$\bullet$] parmi ces élèves, 25\,\% ont aussi contracté une gastro-entérite;
\item [$\bullet$] parmi les élèves n'ayant pas contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016,
17\,\% ont néanmoins contracté une gastro-entérite.
\end{itemize}
On choisit au hasard la fiche de suivi médical d'un élève de ce lycée, chaque fiche ayant la
même probabilité d'être choisie. On considère les événements suivants:
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $S$: \og l'élève a contracté la grippe saisonnière durant l'hiver 2015-2016\fg et $\overline{S}$, son
événement contraire ;
\item [$\bullet$] $E$: \og l'élève a contracté une gastro-entérite durant l'hiver 2015-2016 \fg et $\overline{E}$, son
événement contraire.
\end{itemize}

\smallskip

On donne l'arbre de probabilité suivant, partiellement complété, qui pourra être utilisé dans tout
l'exercice. (Il n'est pas demandé de le reproduire sur la copie).

\bigskip

\begin{center}
\psset{labelsep=0.01pt,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~}\taput{0,12}}
	{
	\TR{$E$}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{\np{0.75}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~}\tbput{\np{0.88}}}
	{\TR{$E$}\taput{\np{0.17}}
	\TR{$\overline{E}$}\tbput{\np{0.83}}
	}
}
\end{center} 

\bigskip

\emph{Les deux parties suivantes peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
}
\textbf{Partie A : Questionnaire à choix multiples (QCM)}

{\footnotesize
Pour chacune des quatre questions, une seule des trois propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la
réponse choisie.

Pour chaque question. il est compté un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

Aucune justification n'est demandée.}

\begin{enumerate}
\item  L'événement $S \cap E$ correspond à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\begin{minipage}{4cm}A.~~ \og L'élève a contracté une  
gastro-entérite, sachant qu'il avait eu une grippe
saisonnière. \fg \end{minipage}}
&
 \psframebox[linewidth=0.3pt]{\begin{minipage}{4.cm}   B.~~ \og L'élève a contracté une grippe saisonnière et une gastro-entérite\fg. \end{minipage} }
& 
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{\begin{minipage}{4.cm} C.~~ \og l'élève a contracté une gastro-entérite ou une grippe saisonnière.\fg 
\end{minipage}}\\
\hline
\end{tabularx}

\item La probabilité de l'événement $S\cap E$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}
\hline
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ A. ~~25\,\%} & \psframebox[linewidth=0.1pt]{B.~~ 3\,\%} & \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{C.~~ 37\,\%}\\
 \hline
\end{tabularx} 

 $p(S\cap E)=\np{0.12}\times \np{0.25}$.
\item La probabilité que l'élève ait eu une gastro-entérite durant l'hiver 2015-2016 est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\hline
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{A.~~ 42\,\% }& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{B.~~ 3\,\% }& \psframebox[linewidth=0.1pt]{C.~~ 17,96\,\%}\\
 \hline
 \end{tabularx}
 
 $p(E)=p(S)\times p_{S}(E)+p_{\overline{S}}(E)=\np{0.03}+\np{0.88}\times \np{0.17}=\np{0.1796}$
\item  Sachant que l'élève a eu une gastro-entérite au cours de l'hiver 2015-2016, la probabilité
qu'il ait eu la grippe saisonnière est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\hline
A.~~\psframebox[linewidth=0.1pt]{environ \np{16.7}\,\%}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{B.~~ environ \np{66,8}\,\%}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{C.~~  3\,\%}\\
\hline
\end{tabularx}

$p_{E}(S)=\frac{p(S\cap E)}{p(E)}=\frac{\np{0.03}}{\np{0.1796}}\approx \np{0.1670}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B :}\emph{ \small Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip
{\small
Sachant que le lycée compte 950 élèves, déterminons, le nombre
d'élèves du lycée qui ont traversé l'hiver 2015-2016 sans être infectés par aucune des deux
maladies (grippe saisonnière et gastro-entérite). On arrondira le résultat à l'unité.
}

L'événement contraire de : \og l'élève  n'a été infecté ni par la grippe saisonnière ni par la gastro-entérite\fg est l'évènement : \og l'élève  a été infecté par au moins une des deux\fg. Cet événement est noté $S\cup E$. 

$p(S\cup E) = p(S) + p(E) - p(S\cap E) = \np{0.12}+\np{0.1796} - \np{0.03}=\np{0.2696}$.

$p\left(\overline{S\cup E}\right) = 1 - p(S\cup E) = 1 - \np{0.2696}=\np{0.7304}$. 

Le nombre d'élèves n'ayant été infectés par aucune des deux maladies est donc : $950\times \np{0.7304}\approx 694$.
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

{\footnotesize
Le service d'urgence d'un hôpital reçoit un patient infecté par une bactérie très virulente. Des
prélèvements sanguins sont régulièrement effectués afin de suivre l'évolution du nombre de
bactéries en fonction du temps. 

Tous les prélèvements réalisés ont le même volume.

Dans le premier prélèvement effectué au moment de l'admission du patient, on dénombre
\np{19 000} bactéries. La situation évoluant très rapidement, on administre au bout de trois heures
un puissant antibiotique dont l'effet est immédiat.

Dans toute cette étude, on note $t$, le temps (exprimé en heures) écoulé depuis le premier
prélèvement.

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t \in [0~;~12]$, par
\[f(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t + 190.\]
On considère que cette fonction permet de modéliser, en fonction du temps. le nombre de
bactéries (en centaines) présentes dans le prélèvement effectué sur le patient à l'instant $t$.

Ainsi $f(3)$ est le nombre de centaines de bactéries présentes dans le prélèvement sanguin
effectué au bout de 3 heures après l'admission du patient à l'hôpital.
}
\medskip

\textbf{Partie A : Étude de la fonction} \boldmath{$f$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculons $f(0)$,$f(7)$, $f(12)$.

$f(0)=190$ ; \hspace{1.2em}  $f(7)=-7^3+9\times 7^2+21\times 7+190=435$ ;\hspace{1.2em}   $f(12)=10$.
\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculons $f'(t)$ pour tout réel $t\in [0~;~12]$.
\[f'(t)=-3t^2+9\times (2t)+21=-3t^2+18t+21.\]
\emph{\footnotesize On admettra pour la suite de cette partie que la dérivée peut s'écrire sous la forme :}
\[f'(t) = -3(t + 1)(t - 7).\]
\item Nous avons complété le tableau figurant en\textbf{ annexe 1 page \pageref{fonct}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}, qui donne
le signe de la dérivée $f'$ et les variations de $f$.
\item   Calculons $f'(10)$.

$f'(10)=-3\times 10^2+18\times 10+21=-99$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

On donne en \textbf{annexe 2 page \pageref{fonct}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)} une représentation graphique de la
fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item  Par lecture graphique, déterminons le nombre de bactéries dans le prélèvement effectué trois
heures après l'admission du patient à l'hôpital. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3. Nous trouvons environ 308. 

 Le nombre de bactéries dans le prélèvement trois heures après, est d'environ \np{30800}.
%\emph{\footnotesize On fera apparaître les pointillés utiles à la lecture.}
\item Comment se traduit graphiquement l'effet de l'antibiotique, à partir du moment où il est
administré ?

 Puisque la courbe croît pendant encore quatre heures, l'antibiotique n'a guère d'effets pendant quatre heures avant d'avoir un effet permettant une décroissance rapide.
\item La situation d'un patient est critique, lorsque le nombre de bactéries dans un prélèvement
atteint \np{50 000}.

Le patient étudié ne risque pas d'être en situation critique au cours des 12 premières heures
suivant son admission à l'hôpital puisque le maximum atteint par la fonction est 435 au bout de 7 heures. Il y aura au maximum \np{43500} bactéries dans le prélèvement, nombre inférieur au seuil critique.
\item La vitesse de croissance du nombre de bactéries à l'instant $t$ est donnée par $f'(t)$ qui est le
nombre dérivé de la fonction $f$ en $t$.

Déterminons la vitesse de croissance du nombre de bactéries pour $t = 10$ heures, c'est-à-dire
$10$ heures après la prise en charge du patient par l'hôpital. Nous avons calculé à la fin de la \textbf{partie A} $f'(10)$. 

La vitesse de croissance du nombre de bactéries pour $t = 10$ heures est de $-99$.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip

La contraception d'urgence est une méthode contraceptive d'exception destinée à réduire les
possibilités de grossesses non désirées.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Le tableau ci-dessous donne l'évolution des ventes de boîtes de contraception d'urgence.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{6.2cm}|*{5}{c|}}
\hline
Année 					&2003	& 2005	& 2007	& 2009 	&2011\\\hline
Rang de l'année: $x_i$	&1 		& 2 	&3		& 4		& 5\\\hline
Nombre de boîtes de contraception d'urgence
vendues en France (en millions) : $y_i$& 0,81& 1,04 &1,18& 1,26& 1,28\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : DREES/ CRIPS}}
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Sur le graphique donné en \textbf{annexe 3 page \pageref{nuage}/\pageref{LastPage} (à remettre avec la copie)}, nous avons représenté le
nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$.
\item Calculons les coordonnées du point moyen du nuage $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[\overline{x}_G=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{0.81}+\np{1.04}+\np{1.18}+\np{1.26}+\np{1.28}}{5}=\np{1.114}\]
Le point G $\left( 3~;~\np{1.114} \right)$ est placé dans le repère précédent.
\item On admet que la droite $(d)$ d'équation $y = 0,116x + 0,766$ constitue un bon ajustement
de la série étudiée.
\begin{enumerate}
\item Le point $G$ appartient à la droite $(d)$  si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 3  c'est-à-dire celle de $G$. 

$y=\np{0.116}\times 3+\np{0.766}=\np{1.114}$. 

Cette ordonnée étant celle de $G$ par conséquent $G$ appartient à $(d)$.
\item  La droite $(d)$ est tracée dans le repère.
\end{enumerate}
\item On admet que l'ajustement réalisé par la droite $(d)$ reste valable jusqu'en 2017.

Déterminons, selon ce modèle, une estimation du nombre de boîtes de contraception d'urgence vendues en France en 2017 . En 2017, le rang de l'année est 8. Remplaçons $x$ par 8 dans l'équation de la droite.
		$y=\np{0.116}\times 8 +\np{1.114}=\np{1.694}.$
		
		Une estimation du nombre de boîtes de contraception d'urgence vendues en France en 2017 est d'environ \np{1694000} boîtes.
		
		{\footnotesize  Graphiquement, nous lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 8 soit environ \np{1.69}.}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Un laboratoire pharmaceutique français commercialise sous sa marque des boîtes de
contraception d'urgence. Il organise chaque année un sondage pour déterminer la part
 de la population française connaissant sa marque. 

Les résultats obtenus ont été placés dans une feuille de calcul automatisée.
}
\medskip

{\footnotesize
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c|m{4.3cm}|*{10}{X|}}\hline
\rowcolor{lightgray} &\centering A& B&C&D&E&F&G&H&I&J&K\\\hline
1	&Année&2005& 2006& 2007 &2008& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013 &2014\\\hline
2	&Rang de l'année&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline
3	&\begin{minipage}{4.15cm}Part exprimée en \,\% de la population connaissant la marque\end{minipage} &9&11& 13& 16& 20& 24& 29& 35& 41& 49\\\hline
4	&Taux d'évolution entre deux années consécutives (en\%)&\cellcolor{black} &22,22&18,18& 23,08& 25,00& 20,00& 20,83& 20,69& 17,14 &\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les cellules de la ligne 4, de C4 à K4, sont au format pourcentage.
\begin{enumerate}
\item Une formule qui, saisie dans la cellule C4 et recopiée vers la droite, permet de
compléter la ligne 4 est =(C\$3 $-$ B\$3)/B\$3.
\item La valeur qui devrait alors s'afficher dans la cellule K4 est \np{19.51} car $\dfrac{49-41}{41}\approx \np{19.51}$.
\end{enumerate}

\item Les responsables du laboratoire pharmaceutique observent que la part de la population
française qui connaît sa marque progresse d'environ 20\,\% par an. Ils décident de modéliser
cette évolution par une suite géométrique $\left(u_n\right)$.

On note $u_n$ une estimation de la part (exprimée en \,\%) de la population française qui connaît
la marque du contraceptif d'urgence à l'année $(2005 + n)$.

Ainsi le premier terme de la suite $\left(u_n\right)$ est donné par $u_0 = 9$.
	\begin{enumerate}
		\item À un taux d'évolution de $20\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+\np{0.2}$ c'est-à-dire de \np{1.2}.
 La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=9$ et de raison est égale à $1.2$, nombre par lequel nous multiplions un terme de la suite pour obtenir le terme suivant. 

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$.

Il en résulte $u_n=9\times \left(\np{1.2}\right)^n$
		\item Calculons $u_{10}$.

$u_{10}=9\times \np{1.2}^{10}\approx \np{55.73}$. Nous pouvons donc estimer qu'en 2015, \np{55.73}\,\% de la population connaissait la marque du laboratoire pharmaceutique.
		\item Résolvons l'inéquation $9 \times 1,2^{x} \geqslant 75$.

$9 \times 1,2^{x} \geqslant 75 \quad  1,2^{x} \geqslant \dfrac{25}{3} \quad x\log \np{1.2}\geqslant \log\left(\frac{25}{3}\right)\quad x\geqslant \dfrac{\log \left(\frac{25}{3}\right)}{\log\np{1.2}}$.

L'ensemble solution de cette inéquation est $\left[\dfrac{\log \left(\frac{25}{3}\right)}{\log\np{1.2}}~;~+\infty\right[$. or  $\dfrac{\log \left(\frac{25}{3}\right)}{\log\np{1.2}}\approx \np{11.63}$.
		\item Le laboratoire  peut estimer qu'à partir de 2017 (2005+12) 75\,\% de la population française connaîtra sa marque. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
Annexes à remettre avec la copie
\end{center}

\textbf{Annexe 1 : \textsc{Exercice} 2 - Partie A - Question 3}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}
\hline
$t$& 0&\hspace{-1em}7\hfill 12\\\hline
Signe de $-3$& \centering $-$&\centering $-$\tabularnewline
\hline
Signe de $(t + 1)$& \centering $+$&\centering $+$\tabularnewline\hline
Signe de $(t - 7)$& \centering $-$&\hspace{-1em}0\hspace{5.5em} $+$\tabularnewline\hline
Signe de $f'(t) = -3(t + 1)(t - 7)$& \centering $+$&\hspace{-1em}0\hspace{5.5em} $-$\tabularnewline\hline
Variations de $f $&\begin{pspicture}(4,1.5)
\psline{->}(0.5,0.25)(3.75,1.25)\uput[l](0.65,0){190}\end{pspicture} & \begin{pspicture}(4,1.5)\psline{->}(0.5,1.25)(3.75,0.25)\uput[r](3.85,0){10}\uput[u](-0.3,1.1){435}\end{pspicture}\\\hline 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}


\textbf{Annexe 2 : \textsc{Exercice} 2 - Partie B}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.018cm}
\begin{pspicture}(-1,-30)(15,600)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](\n,-2.5)(\n,550)}
\multido{\n=0+10}{56}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=orange](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(14.5,550)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12.0509}{x 3 exp neg x 2 exp 9 mul add x 21 mul add 190 add }
\uput[d](12.8,-25){Temps (en heures)}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](0,590){\small Estimation du nombre de bactéries du}
\uput[dr](0,570){\small prélèvements (en centaines)}
\psline[linecolor=cyan, linewidth=0.7pt](0,500)(14,500)
\psset{arrowscale=2}
\def\Func {x 3 exp neg x 2 exp 9 mul add x 21 mul add 190 add }
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 3 def \Func)(!3 /x 3 def \Func)(3,0)

\end{pspicture}
\end{center} 
\label{fonct}
\newpage 

\begin{center}
Annexe à remettre avec la copie
\end{center}

\bigskip
\textbf{Annexe 3 : - \textsc{Exercice} 3 - Partie A}
\vspace{1cm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.05)(8.15,2.1)
\multido{\n=0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0+0.1}{21}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.05pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(8.15,2.05)
\uput[l](0,0.1){$0,1$}\psline[linewidth=0.2pt](-0.05,0.1)(0.05,0.1)
\uput[u](7.5,0){Rang de l'année}
\uput[ur](0,2.04){Nombre de boîtes de contraception}
\uput[ur](0,2){d'urgence vendues en France (en millions)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,0.81)(2,1.04)(3,1.18)(4,1.26)(5,1.28)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{x 0.116 mul 0.766 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3,1.114)
 \uput[ul](3,1.114){\textcolor{red}{$G$}}
 \psset{arrowscale=2}
 \def\Func {x 0.116 mul 0.766 add}
 \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 8 def \Func)(!8 /x 8 def \Func)(8,0)
\uput[l](0,1.69){$\approx \np{1.69}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{nuage}
\end{document}