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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\smallskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du  baccalauréat ST2S Métropole--La Réunion~\decofourright\\[5pt] 
7 septembre 2017  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
La Caisse Nationale des Allocations Familiales (CNAF) établit des statistiques portant sur les
dossiers des foyers allocataires de prestations familiales.

Le tableau ci-dessous présente la répartition des dossiers des foyers allocataires selon le
nombre d'enfants au sein du foyer et le lieu de résidence en 2014 :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{5cm}*3{|r@{\hspace{1cm}}}|}
\hline
\diagbox[innerwidth=5cm,height=3.5\line]{Nombre d'enfants}{\small Nombre de foyers allocataires\\ (en milliers)}& habitant en métropole \hspace*{-0.9cm}& \begin{minipage}{2.5cm}habitant dans les départements d'outre-mer\end{minipage}\hspace*{-0.9cm}&\hspace*{0.5cm} Total\\\hline
\centering 1 enfant&\np{1944}&145&\np{2089}\\\hline
\centering 2 enfants&\np{6255}&211&\np{6466}\\\hline
\centering 3 enfants&\np{3263}&124&\np{3387}\\\hline
\centering 4 enfants&996&58&\np{1054}\\\hline
\centering 5 enfants ou plus&461&62&523\\\hline
\centering Total&\np{12919}&600&\np{13519}\\\hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{(Source : CNAF fichier FILEAS)}}
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

On choisit au hasard et de manière équiprobable le dossier d'un foyer allocataire. On
considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item $M$ : \og Le dossier choisi est celui d'un foyer allocataire habitant en métropole \fg{} ;
\item $E$ : \og Le dossier choisi est celui d'un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus \fg.
\end{description}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculons la probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire habitant en métropole.
		
L'univers est l'ensemble des dossiers d'un foyer allocataire. La loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 
		 
La probabilité d'un événement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$

Le nombre d'éléments de l'univers est \np{13519}.
		 
Il y a \np{12919} dossiers de foyers allocataires habitant la métropole $p(M)=\dfrac{\np{12919}}{\np{13519}}\approx \np{0.956}$
		\item Calculons la probabilité de l'évènement $E$. Il y a 523 dossiers de foyers allocataires avec cinq enfants ou plus.

  $p(E)=\dfrac{523}{\np{13519}}\approx \np{0.039}$
		\item   $\overline{E}$ est l'évènement : \og le dossier choisi est  celui d'un foyer allocataire avec un enfant et  au plus quatre \fg.
		
Calculons sa probabilité.	$p(\overline{E})=1-p(E)=1-\np{0.039}=\np{0.961}$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item    $M \cap E$ est l'évènement : \og le dossier choisi est celui d'un foyer allocataire habitant en métropole et ayant cinq enfants ou plus\fg.

Calculons sa probabilité. Il y a 461 foyers répondant à ce critère d'où $p(E\cap M)=\dfrac{461}{\np{13519}}\approx \np{0.034}$.
		\item La probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire habitant dans les
départements d'outre-mer et ayant 5 enfants ou plus est notée $p\left(\overline{M}\cap E\right)$. $p\left(\overline{M}\cap E\right)=\dfrac{62}{\np{13519}}\approx \np{0.005}$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item   $P_M(E) = \dfrac{p(M\cap E)}{p(M)}=\dfrac{\np{0.034}}{\np{0.956}}\approx \np{0.036}$.
		\item La probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire ayant 5 enfants ou plus sachant que le dossier est celui d'un foyer allocataire habitant dans les départements d'outre-mer est notée $p_{\overline{M}}(E)$.

$p_{\overline{M}}(E)=\dfrac{p\left(\overline{M}\cap E\right)}{p\left(\overline{M}\right)} =\dfrac{\np{0.005}}{1 - \np{0.956}}\approx\np{0.114}$
	\end{enumerate}
\item La probabilité de choisir le dossier d'un foyer allocataire avec 5 enfants ou plus est
plus importante parmi ceux des départements d'outre-mer car $p_{\overline{M}}(E) > p_{M}(E)$.
\end{enumerate}

\newpage 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous indique le nombre total de mariages enregistrés en France entre 2001 et 2014.

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabular}{|m{3.5cm}|*{7}{c|}}\hline
Année 									&2001	& 2002 	&2003 	&2004	& 2005	&2006	&2007\\\hline
Rang de l'année: $x_i$					&1 		&2		&3 		&4 		&5		& 6 	&7\\\hline
Nombre de mariages (en milliers) : $y_i$&297	&286	&283	&279	&282	&273	&273\\\hline
\end{tabular}

\vspace{3ex}

\begin{tabular}{|m{3.5cm}|*{7}{c|}}\hline
Année								& 2008	& 2009 	&2010	&2011	&2012	&2013	&2014\\\hline
Rang de l'année : $x_i$				&8		&9 		&10		&11		&12		&13		&14\\\hline
Nombre de mariages (en milliers) : $y_i$& 264& 251	&252	&238	&245	&239	&241\\\hline 
\multicolumn{8}{r}{(\emph{source: d'après INSEE})}
\end{tabular}
\end{center}

Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$  associé à ce tableau est représenté dans le graphique donné en \textbf{annexe (à rendre avec la copie)}.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)

\[
\overline{x}_G=\dfrac{1+2+\dots+13+14}{14}=\np{7.5}\ ; \qquad \overline{y}_G=\dfrac{\np{297}+\np{286}+\dots+\np{239}+\np{241}}{14}=\np{264.5}\]



G $\left( \np{7.5}~;~\np{264.5} \right)$ est placé  sur le graphique.


%Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. \emph{ Arrondir les résultats au dixième.}

%Placer ce point dans le repère fourni en \textbf{annexe}.
\end{enumerate}
{\footnotesize On considère les points A(1~;~297) et B(10~;~252).
On modélise le nombre de mariages par an en France, compté en milliers, par la droite d'ajustement (AB).
}
\begin{enumerate}[resume]
\item Écrivons l'équation réduite de la droite (AB).

La droite est non parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$.

$m=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}\ m=\dfrac{252-297}{10-1}=-5$.
La droite passe par A : $297=-5\times 1+p$ d'où $p=297+5=302$. 

 Une équation de (AB) est: $y = -5x + 302$.
\item  Le point G appartient à la droite (AB) si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse \np{7.5}.

$y=-5 \times \np{7.5} + 302=\np{264.5}$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à (AB).

%Prouver que le point G appartient à la droite (AB).
\item La droite (AB) est tracée dans le repère de l'\textbf{annexe}.
\item On suppose que le modèle reste valable jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item 

Donnons une estimation du nombre de mariages en 2017. En 2017, $x=17$, en remplaçant $x$ par 17 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=-5\times 17+302 =217$.

Une estimation du nombre de mariages en 2017, selon ce modèle, est d'environ \np{217 000}.
		\item Déterminons l'année à partir de laquelle le nombre de mariages en France sera inférieur à \np{200000}. Pour ce faire, résolvons $-5x+302\leqslant200$.
		
		$-5x+302\leqslant 200 \quad -5x\leqslant  -102 \quad 5x \geqslant 102 \quad x\geqslant \np{20.4}$. À 21 correspond l'année 2021.
		
		L'année à partir de laquelle, selon ce modèle,  le nombre de mariages en France sera inférieur à \np{200000} est 2021.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
On étudie dans cette partie l'évolution du montant annuel des dépenses consacrées en France aux soins hospitaliers entre 2009 et 2014.

Ce montant est donné dans le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul automatisé.

\begin{center}

\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\hline
\cellcolor{lightgray}{}	&\cellcolor{lightgray}{A}& \cellcolor{lightgray}{B}& \cellcolor{lightgray}{C}& \cellcolor{lightgray}{D}& \cellcolor{lightgray}{E}& \cellcolor{lightgray}{F}& \cellcolor{lightgray}{G}\\\hline
\cellcolor{lightgray}{1}	& Année& 2009& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\\hline
\cellcolor{lightgray}{2}	& \begin{minipage}[]{3.4cm}Montant des dépenses\\(en milliards d'euros)\end{minipage} &78,3& &82,4 &84,5& \np{86.6} &88,6\\\hline
\cellcolor{lightgray}{3}	&Pourcentage annuel d'évolution &\psCancel[linewidth=0.7pt]{\phantom{xxx}} &2,4\,\%& 2,7\,\%& 2,5\,\%&&\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{(Source: INSEE)}}
\end{tabular}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  Calculons le taux d’évolution, arrondi à 0,1\,\%, du  montant des dépenses, entre l'année 2012 et l'année 2013.
Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$t=\dfrac{\np{88.6}-\np{86.6}}{\np{86.6}}\approx \np{0.02309}$

Le taux d’évolution, arrondi à 0,1\,\%, du montant des dépenses  entre l'année 2012 et l'année 2013 est d'environ \np{2.3}\,\%.
\item Déterminons le montant des dépenses en 2010. 

À un taux d'évolution de 2,4\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.024}. En 2010 nous avons donc $\np{78.3}\times \np{1.024}= \np{80.1792}$.

Le montant des dépenses en 2010 est d'environ \np{80.2} milliards d'euros.

%\emph{Arrondir le résultat au dixième de milliard d'euros.}
\item \emph{Les cellules C3 à G3 sont au format pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.}

Une formule à saisir dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer, dans la plage de cellules C3: G3, le pourcentage d'évolution entre deux années consécutives du montant des dépenses est  =(C\$2 $-$ B\$2)/B\$2.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, on modélise le montant des dépenses consacrées aux soins hospitaliers à l'aide d'une suite numérique. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ l'estimation du montant des dépenses, en milliards d'euros, pour l'année $(2014+n$). Ainsi $u_0 = 88,6$.

On suppose que ces dépenses augmenteront de 2,5\,\% par an après 2014.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item   La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.025}, coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2,5\,\%. 
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$.

$u_n=\np{88.6}\times \left(\np{1.025}\right)^n$.
\item $u_6=\np{88.6}\times \left(\np{1.025}\right)^6\approx \np{102.7}$,(\emph{le résultat est arrondi au dixième}).  La valeur de $u_6$ dans le contexte de l'exercice est le montant en milliards des dépenses consacrées aux soins hospitaliers en 2020.
\item Résolvons dans l'ensemble des nombres réels l'inéquation: $88,6 \times \np{1.025}^x\geqslant 120$.

\begin{multicols}{2}
\columnseprule=0.4pt\setlength\abovedisplayskip{0ex}\setlength\belowdisplayskip{0ex}
\vspace{\abovedisplayskip}

\begin{align*}
  88,6 \times \np{1.025}^x&\geqslant 120 \\
\np{1.025}^x&\geqslant \dfrac{120}{  88,6}\\ 
 \np{1.025}^x&\geqslant \dfrac{60}{44,3}\\
\end{align*}
\columnbreak
  \begin{align*}
    \log \np{1.025}^x&\geqslant\log \left(\dfrac{60}{44,3}\right)\\
    x \log \np{1.025}&\geqslant\log \left(\dfrac{60}{44,3}\right)\\
    x&\geqslant \dfrac{\log \left(\frac{60}{44,3}\right)}{\log \np{1.025}}\\
  \end{align*}
 \vspace{\belowdisplayskip}
 \end{multicols}
 $\dfrac{\log \left(\frac{60}{44,3}\right)}{\log \np{1.025}}\approx \np{12.285}$
 
 L'ensemble des solutions de l'inéquation est $ \left[\dfrac{\log\left(\frac{60}{44,3}\right)}{\log \np{1.025}}~;~ +\infty \right[ $ ou $[\np{12.285}~;~ +\infty[$

\item Pour déterminer l'année pour laquelle la modélisation prévoit que les dépenses pour les soins hospitaliers dépasseront 120 milliards d'euros résolvons $u_n\geqslant 120$. 

D'après la question précédente, nous trouvons $n=13$. En 2014+13 soit 2027 les dépenses dépasseront, selon ce modèle, 120 milliards d'euros.


\end{enumerate}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{ANNEXE de l'\textsc{exercice} 2\\ (À rendre avec la copie)}

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.08cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(0,0)(26,160)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}