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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft ~Corrigé du baccalauréat ST2S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt] 28 novembre 2017  }} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Un test de dépistage d'une maladie a été élaboré par une entreprise pharmaceutique.
Pour étudier sa fiabilité, on soumet à ce test une population comportant des personnes
malades et des personnes saines. 

On sait que dans la population testée :

\begin{itemize}
\item la proportion de personnes malades est de 85\,\% ;
\item parmi les personnes malades, 95\,\% ont un test positif;
\item parmi les personnes saines, 75\,\% ont un test négatif.
\end{itemize}

 On choisit au hasard une personne dans la population testée; on admet que chaque
personne a la même probabilité d'être choisie.

On note:
\begin{itemize}
\item $M$ l'évènement: \og la personne est malade\fg{} ;
\item $T$ l'évènement: \og le test est positif fg.
\end{itemize}


Dans cet exercice, la probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ ; la probabilité de
l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé est notée $P_F(E)$ ; l'évènement
contraire d'un évènement $E$ est noté $\overline{E}$.

}
\begin{enumerate}
\item  
\begin{itemize}
\item $p(M)=\np{0.85}$ car la proportion de personnes malades est de 85\,\%.
\item $P_M(T)=\np{0.95}$ car parmi les personnes malades, 95\,\% ont un test positif.
\item $p_{\overline{M}}\left(\overline{T}\right)=\np{0.75}$ car parmi les personnes saines, 75\,\% ont un test négatif.
\end{itemize}

\item Traduisons la situation par un arbre pondéré de probabilités.


\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{0,85}}
	{
	\TR{$T$}\taput{$\np{0.95}$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\np{0.05}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\np{0.15}$}}
	{\TR{$T$}\taput{$\np{0.25}$}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{$\np{0.75}$}
	}
}
\end{center} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item $M\cap T$ est l'évènement : \og la personne est malade et a un test positif\fg.
		\item $p (M \cap T) = p(M)\times p_{M}\left(T\right)=\np{0.85}\times \np{0.95}= \np{0.8075}$. %En donner la valeur exacte.
	\end{enumerate}
\item Montrons que $p(T) = 0,845$. $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers. 

$p(T) = p (M \cap T) + p\left(\overline{M} \cap T\right) = p(M)\times p_{M}\left(T\right) + p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}\left(T\right)$.

$p(T) = \np{0.8075} + \np{0.15}\times \np{0.25} = \np{0.8075} + \np{0.0375} = \np{0.845}$.

La probabilité d'avoir un test positif est \np{0.845}.
\item On considère que le test de dépistage est fiable lorsque la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif est supérieure ou égale à 0,95.

La probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif est notée  $p_{T}\left(M\right)$.

$p_{T}\left(M\right)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}=\dfrac{\np{0.8075}}{\np{0.845}}\approx \np{0.9556}$.

Le test est, par conséquent, fiable. 
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

{\footnotesize
Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de tableur, donne l'évolution de 2010 à 2016 du nombre de naissances dans une commune rurale. 

La ligne 4 est au format pourcentage.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|m{3.25cm}|*{7}{c|}}\hline 
 &\centering A				&B		&C 		&D		&E		&F		&G 		&H\\\hline
1& Année					&2010	&2011	&2012 	&2013	&2014	&2015	&2016\\\hline
2& Rang de l'année $(x_i)$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\\hline
3& Nombre de naissances $(y_i)$&231	&220	&212	&201	&191	&185	&181\\\hline
4&\begin{minipage}{3.20cm}Taux d'évolution 
 entre 2 années 
consécutives (en \%) \end{minipage}&&		&		&		&		&		&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\emph{Il n'est pas demandé de compléter le tableau.} 
}
\begin{enumerate}

\item Calculons le taux d'évolution du nombre de naissances entre les années 2010 et 2011.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$\mathcal{T} = \dfrac{220-231}{231}\approx -\np{0.04762}$.

Le taux d'évolution des naissances entre 2010 et 2011 est, en pourcentage, arrondi à 0,01\,\% de $-\np{4.76}\,\%$.
\item Une formule que l'on peut saisir dans la cellule C4 pour calculer ce taux d'évolution et pour obtenir les autres taux d'évolution annuels en recopiant la formule vers la droite est : =(C\$3-B\$3)/B\$3.
\item   Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans le repère orthogonal fourni en annexe.
\item 	\begin{enumerate}
		\item  Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G = \dfrac{0+1+2+3+4+5+6}{7} = 3 \qquad \overline{y}_G = \dfrac{\np{231}+\np{220}+\np{212}+\np{201}+\np{191}+\np{185}+\np{181}}{7} = \np{203}\]

G $\left( 3~;~203 \right)$.
	\item  Le point G est placé sur le graphique dans le repère précédent.
		\end{enumerate}
\item On suppose que la droite $(D)$ d'équation $y = -9x + 230$ réalise un ajustement affine du
nuage de points. On suppose que cet ajustement est valable jusqu'en 2020.

Montrons que le point G appartient à la droite $(D)$

Le point G appartient à la droite $(D)$ si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 3.

$y = -9 \times 3 + 230=203$.

Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à $(D)$.

Traçons cette droite. Pour tracer cette droite, prenons 2 points (0~;~230) et (5~;~185)
\item  Graphiquement une estimation du nombre de naissances en 2017. 

En 2017 le rang est 7. Lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 7. Avec la précision permise par le graphique, nous lisons environ 167.

%Laisser apparents les traits de construction et indiquer la valeur ainsi déterminée sur la copie.
\item  Donnons une estimation de l'année au cours de laquelle le nombre de naissances
passera sous le seuil des 160 naissances.  Résolvons $-9x+230<160$.

$-9x+230<160  \ ;\ -9x<160-230\ ;\ -9x<-70\ ;\ x>\dfrac{70}{9} \ ;\ x>\np{7.778}$

 Nous estimons, d'après ce modèle, qu'en 2018 le nombre de naissances passera sous le seuil de 160 naissances.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

{\footnotesize
Un laboratoire pharmaceutique veut fabriquer un antibiotique contre les pneumonies
bactériennes. Dans un premier temps, le laboratoire étudie l'évolution de la masse d'une
colonie de bactéries. Dans un second temps le laboratoire teste l'efficacité de son
antibiotique.

\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

Dans cette partie, le laboratoire étudie l'évolution de la masse d'une colonie de bactéries
au cours du temps dans un milieu spécifique. On suppose que ce milieu est tel que la
masse de la colonie augmente de 20\,\% par heure.

Au début de l'expérience, la masse de la colonie présente dans le milieu est égale à
\np[mg]{10}. 

Dans cette partie, on suppose que l'évolution de la masse de la colonie, exprimée en mg,
est modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ où $n$ représente le nombre d'heures écoulées depuis le début de l'expérience.
}
\begin{enumerate}
\item  La masse de la colonie de bactéries au bout d'une heure d'expérience est $u_1$.

Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'évolution  de 20\,\% est \np{1.2}. $u_1=\np{1.2}\times 10 = 12$.
\item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par \np{1.2}, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme 
$u_0=10$ et de raison \np{1.2}.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  
Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  

$u_n=u_0q^n$ soit $u_n=10\times \left(\np{1.2}\right)^n.$ 
		\item Calculons la masse de la colonie de bactéries au bout de la 15\ieme heure d'expérience.
		
Calculons $u_{15}$, $u_{15}=10\times \left(\np{1.2}\right)^{15}\approx \np{154.0702}$.

La masse de la colonie de bactéries au bout de la 15\ieme heure,  arrondie au milligramme, est de \np[mg ]{154}.
	\end{enumerate}
\item Déterminons au bout de combien de temps la masse de la colonie de bactéries présente dans le milieu dépassera \np[mg]{500}. Pour ce faire, résolvons $u_n>500$.

$10 \left(\np{1.2}\right)^n>500\ ;\ \left(\np{1.2}\right)^n>50\ ;\ n\log\np{1.2}>\log 50\ ;\ n>\dfrac{\log 50}{\log\np{1.2}}\ ;\ n>\np{21.457}$

Au bout de la vingt-deuxième heure, la masse de la colonie de bactéries présente dépassera \np[mg]{500}.
\end{enumerate}

\medskip

{\footnotesize

\textbf{Partie B} 

\medskip

Le laboratoire teste l'effet de son antibiotique sur une colonie de bactéries pendant une
période de 10 heures. Au début du test, la masse de la colonie est de \np [mg]{500}.

Dans cette partie, on modélise l'évolution de la masse de la colonie de bactéries par la
fonction $M$ définie sur l'intervalle [0; 10] par :
 
\[M(x) = x^3 - 9x^2 - 48x + 500\]
}
\begin{enumerate}
\item   $M(0) = 0^3-9\times 0^2-48\times0+500=500$ et $M(10)  = 10^3 - 9\times 10^2 - 48\times 10+500 = 120$.
\item On note $M'$ la fonction dérivée de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10].
	\begin{enumerate}
		\item  $M'(x)=3x^2-9\times (2x)-48=3x^2-18x-48$.
		\item Vérifions que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10], $M'(x)=(3x+6)(x-8)$.

Développons $(3x+6)(x-8)$.

$(3x+6)(x-8)=3x^2-24x+6x-48=3x^2-18x-48=M'(x)$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Dressons le tableau de signe de $M'(x)$ sur l'intervalle [0~;~10].

Sur $\R,\quad 3x+6>0 \iff x>-2\ ;\  x-8>0 \iff x>8 $

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{5}{c}|}
\hline
 $x$ &0&&8&&10\\\hline
signe de $3x+6$&&+&&+&\\\hline
signe de $x-8$&&$-$&0&+&\\\hline
signe de $M'(x)$&&$-$&0&+&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

		\item Étudions d'abord la variation de $M$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~8[,\:M'(x)<0$ par conséquent $M$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]8~;~10],\:M'(x)>0$ par conséquent $M$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $M$ sur [0 ; 10].
 
 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$8$}    \uput[u](7.73,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$M^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $M$}
 \uput[u](1.37,1.5){$500$}\uput[u](7.32,1.5){$120$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.55)(7.3,1.55)
\uput[d](4.5,0.45){$52$}
\end{pspicture}
\end{center}

% En déduire le tableau de variation de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10].
	\end{enumerate}
\item D'après le tableau de variation, la valeur du minimum de la fonction $M$ sur l'intervalle [0~;~10] est 52 obtenu au bout de huit heures. 
\item L'antibiotique est dit efficace s'il parvient, au cours du test, à diviser par cinq la masse initiale de la colonie. L'antibiotique est efficace puisque la masse initiale de la colonie a été divisée par plus de neuf, presque dix.% Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\
À rendre avec la copie\\
 \textsc{Exercice} 2}
\end{center}

\psset{xunit=1.35cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-5)(12,100)
\multido{\n=0+0.5}{20}{\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](\n,2)(\n,98)}
\multido{\n=5+5}{19}{\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](-0.5,\n)(9.5,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.15pt,,Oy=155,Dy=10,labels=x]{->}(0,5)(10,98)
\multido{\n=10+10,\i=160+10}{9}{\uput[l](0,\n){\i}}
\multido{\n=5+5}{19}{\psline[linewidth=1pt](-0.1,\n)(0.1,\n)}
\uput[r](0,97.5){ \textbf{Nombre de naissances}}
\uput[r](8,1){\textbf{ Rang de l'année}}
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,81)(1,70)(2,62)(3,51)(4,41)(5,35)(6,31)
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3,53)
 \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{8.35}{x 9 neg  mul 80 add}
  \uput[ur](3,53){\textcolor{red}{$G$}}
 \psset{arrowscale=2}
  \def\Func{x 9 neg mul 80 add}
  \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 7 def \Func)(!7 /x 7 def \Func)(7,5)
\uput[l](0,17){\textcolor{violet}{$\approx 167$}}
\end{pspicture}
\end{document}