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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small {Corrigé du baccalauréat ST2S}}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S \\ Métropole -- La Réunion 7 septembre 2015~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  8 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Depuis 1997, le Conseil européen a adopté une directive concernant l'évaluation et la gestion de la qualité de l'air ambiant en agglomération. Pour cela, on calcule la moyenne annuelle des
concentrations en particules fines en suspension dans l'air, à partir de mesures effectuées
régulièrement.

Le tableau ci-dessous indique les concentrations annuelles moyennes en particules fines dans
les grandes agglomérations belges, exprimées en micro grammes par mètre cube d'air
$\left(\micro\text{g} \cdot \text{m}^{-3}\right)$.

\begin{center}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 											&2001 	&2002 	&203 	&2004 	&2005 	&2006	&2007\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$							&1 		&2 		&3 		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Concentration annuelle moyenne 
$\left(\text{en}\: \micro\text{g} \cdot  
\text{m}^{-3}\right)$ en particules fines : $y_i$&40 	&35 	&34 	&33 	&34 	&33		&35\\ \hline

\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 											&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$							&8 		&9 		&10 	&11		& 12	&13\\ \hline
Concentration annuelle moyenne
 $\left(\text{en}\: \micro\text{g} \cdot
  \text{m}^{-3}\right)$ en particules fines : $y_i$& 31 &30 	&31 	&26 	&26 	&28\\ \hline
\multicolumn{7}{l}{\footnotesize (source : \emph{modifié d'après Eurostat})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Afin d'effectuer des prévisions pour les années futures, les services sanitaires décident de
conduire une étude statistique de ces données.

Dans l'annexe 1  à remettre avec la copie, on a représenté dans un repère
orthogonal du plan le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à ce tableau.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[\overline{x_G}=\frac{1+2+\dots+12+13}{13}=7 \quad \overline{y_G} = \frac{40 + 35 + \dots + 26 + 28}{13}=32\]
G $\left( 7~;~32 \right)$ est placé  dans le repère précédent.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne le point A(11~;~28).
		
Écrivons  l'équation réduite de la droite (AG). La droite n'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est de la forme $y= mx + p$ où $ m=\dfrac{y_{\text{G}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{G}}-x_{\text{A}}}$.

$m=\dfrac{32 - 28}{7 - 11} = -1$. Elle passe par A donc $28=-11+p$ par conséquent $p=39$.

 (AG) a bien pour équation $y = - x + 39$.
		
 La droite (AG) est tracée sur le graphique donné en annexe 1.
		\item En supposant que la droite (AG) réalise un ajustement affine du nuage valide jusqu'en
2020, donnons une estimation de la concentration annuelle moyenne en particules fines dans l'air des grandes agglomérations belges pour l'année 2015.

Le rang de l'année est 15. En remplaçant $x$ par 15 dans l'équation de la droite nous obtenons $y=-15+39=24$

Une estimation de la concentration annuelle moyenne en particules fines dans l'air des grandes agglomérations belges pour l'année 2015 est de
 \unit{24}{\micro g \cdot \rpcubic\meter }
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Ces particules fines peuvent pénétrer profondément dans les poumons et y occasionner des
inflammations et une détérioration de la santé des personnes souffrant de maladies
pulmonaires ou cardiaques. Par précaution, le Conseil européen a fixé à 40 microgrammes par
mètre cube la valeur limite maximale de la concentration annuelle moyenne en particules
fines dans l'air.

Afin de respecter cette norme, on a calculé les concentrations annuelles moyennes dans l'air
en particules fines dans les grandes agglomérations bulgares :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Concentration annuelle moyenne
 $\left(\text{en}\: \micro
 \text{g} \cdot\text{m}^{-3}\right)$
  en particules fines : $y_i$	&57 	&53 	&55 	&60 	&53\\ \hline
\multicolumn{6}{l}{\footnotesize (source : \emph{modifié d'après Eurostat})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Les services sanitaires bulgares ont mis en place depuis 2013 une série de mesures incitatives
pour réduire la concentration annuelle moyenne en particules fines. Ils souhaitent ainsi obtenir
une diminution de 3\,\% par an de cette concentration.

{\emph{Dans cette partie, les résultats sont arrondis au centième.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ la diminution souhaitée de 3\,\% par an de la
concentration annuelle moyenne en particules fines dans les grandes agglomérations
bulgares.

On pose $u_0 = 53$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, on désigne par $u_n$ la concentration
annuelle moyenne souhaitée pour l'année $(2013 + n)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons les concentrations annuelles moyennes en particules fines souhaitées pour les années 2014 et 2015.
		
		À un taux d'évolution de $-3\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.03}$ c'est-à-dire de \np{0.97}.
		
		$u_1=53\times \np{0.97}=\np{51.41} \qquad u_2=\np{51.41}\times \np{0.97}\approx \np{49.87}$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=53$ et de raison est égale à $0,97$, nombre par lequel nous multiplions un terme de la suite pour obtenir le terme suivant. Ce nombre est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 3\,\%.
		\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$.

 Il en résulte $u_n=53\times \left(\np{0.97}\right)^n$

		\item Selon ce modèle, calculons la concentration annuelle moyenne en particules fines souhaitée pour l'année 2019.

 En 2019  nous avons $n=6$.	$u_6=53\times \left(\np{0.97}\right)^6\approx \np{44.15}$
		
		Selon ce modèle, la concentration annuelle moyenne en particules fines souhaitée pour l'année 2019 est d'environ $\np{44.15}~\micro\text{g} \cdot \text{m}^{-3}$ 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons l'inéquation $53 \times  0,97^x \leqslant 40$.
		\begin{align*}
		53\times\np{0.97}^x&\leqslant40 \\
 \np{0.97}^x&\leqslant\np{0.7547} \\
 \log \np{0.97}^x&\leqslant\log\np{ 0.7547}\\
x \log \np{0.97} &\leqslant\log \np{0.7547} \\
 x&\geqslant\dfrac{\log \np{ 0.7547}}{\log \np{0.97}}		\hspace{2em}\text{car} \log \np{0.97}<0\\
 \dfrac{\log \np{ 0.7547}}{\log \np{0.97}}	&\approx \np{9.24}
 		\end{align*}
 		L'ensemble solution de l'inéquation est  $ \left [\np{9.24}	~;~+\infty \right[$		
		\item $n$ étant un entier naturel, en utilisant le résultat précédent nous pouvons estimer qu'à  partir de 2023 la Bulgarie pourra atteindre la valeur limite fixée par le Conseil européen.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
La Caisse Primaire d'Assurance Maladie (CPAM) réalise une étude sur trois des principales affections de longue durée en répertoriant les patients selon la maladie qu'ils ont contractée et selon leur sexe.

Les affections considérées sont : la leucémie lymphoïde, les anomalies de coagulation et les anomalies du tissu conjonctif. On admet qu'un patient étudié ne peut être atteint que d'une seule maladie.

L'étude porte sur \np{65955} patients, dont \np{26703} hommes.

On observe \np{28665} patients atteints d'une leucémie lymphoïde, et parmi ceux-ci, 54\,\% sont
des hommes. $\dfrac{54}{100}\times \np{28665}=\np{15479}$. Il en résulte qu'il y a alors \np{13186} femmes. 

Par ailleurs, 55\,\% des patients atteints d'anomalies de coagulation sont des femmes. Nous savons qu'il y avait \np{14135} patients atteints de ces anomalies
$\dfrac{55}{100}\times \np{14135}=\np{7774}$. Il en résulte qu'il y a alors \np{6361} hommes.

\medskip
}
\begin{enumerate}
\item À l'aide des informations précédentes, les résultats sont portés dans  les cases grisées de la feuille de calcul
donnée en annexe 2. ( {\footnotesize \emph{Les résultats sont arrondis à l'unité).}}
\item On choisit au hasard un patient parmi les 65955 ayant participé à l'étude.
On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $L$ : \og Le patient est atteint de leucémie lymphoïde \fg.
\item[ ] $C$ : \og Le patient est atteint d'anomalies de coagulation \fg.
\item[ ] $T$ : \og Le patient est atteint d'anomalies du tissu conjonctif \fg.
\item[ ] $H$ : \og Le patient est un homme \fg, et $\overline{H}$ son évènement contraire.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

{\footnotesize \emph{Dans la suite de cet exercice, les résultats sont arrondis au centième.}}

Nous savons que le choix a lieu au hasard, par conséquent la loi mise sur l'univers, ensemble des patients, est la loi équiprobable. La probabilité d'un événement $A$ est  $p(A)=\dfrac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité 
\begin{description}
\item[] de l'évènement $L$ ; il y a \np{28665} personnes atteintes de leucémie sur \np{65955} patients d'où 

$p(L)=\dfrac{\np{28665}}{\np{65955}}\approx \np{0.43}$
\item[] l'évènement $H$ ; il y a \np{26703} hommes sur \np{65955} patients d'où 

$p(H)=\dfrac{\np{26703}}{\np{65955}}\approx \np{0.41}$.
\end{description}



, puis celle de .
		\item L'évènement $L \cap \overline{H}$, est l'événement : \og le patient est une femme atteinte de leucémie\fg.

 Calculons sa probabilité.
		
		Il y a \np{13186} femmes atteintes de leucémie sur \np{65955} patients d'où $p(L\cap \overline{H})=\dfrac{\np{13186}}{\np{65955}}\approx \np{0.20}$
		\item La probabilité que le patient soit atteint de leucémie lymphoïde en sachant qu'il s'agit d'un homme est notée $p_{H}(L)$. 
		
		$p_{H}(L )=\dfrac{p(L\cap H)}{p(H)}=\dfrac{\np{15479}}{\np{26703}} \approx \np{0.58}$
		
		\item Parmi les trois formules suivantes, choisissons celle à entrer dans la cellule B10 de la feuille de calcul donnée en annexe 2, de sorte que, recopiée vers la droite jusqu'à la cellule D10, elle permette d'afficher les probabilités conditionnelles de chaque affection dans le cas où le patient est un homme :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}		
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{A.~~ =B2/E2} &\psframebox[linewidth=0.05pt]{B.~~ =B2/\$E\$2} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{C.~~ =B2/\$B\$4} .
\end{tabularx}
\medskip

	\end{enumerate}
\item Sachant que le patient choisi est atteint d'anomalies du tissu conjonctif la probabilité que ce patient soit un homme est notée $p_{T}(H)$.

$p_{T}(H )=\dfrac{p(T\cap H)}{p(T)}=\dfrac{\np{4863}}{\np{23155}} \approx \np{0.21}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

{\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}}

\medskip

{\footnotesize
La grue blanche (\emph{grus americana}) est un oiseau d'Amérique du Nord. Suite à une chasse
intensive et à la détérioration de son habitat, cette espèce est en voie de disparition. En 1938,
le nombre de grues blanches sauvages s'élevait à 15 individus. Depuis 1940, les grues
blanches font l'objet de plusieurs programmes de protection.
}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nombre de grues blanches sauvages est représenté dans un repère du plan en annexe 3 et à rendre avec la copie, pour les années 1910, 1920, 1928, 1930 et 1938.
Une espèce est considérée en \og danger critique d'extinction\fg{} si sa population a diminué de plus de 80\,\% sur la période des dix années précédentes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le graphique et avec la précision permise par celui-ci %et en faisant apparaître les traits de construction nécessaires,
 le nombre de grues blanches sauvages en 1928 est d'environ 90.
\item Nous pouvons considérer que les grues blanches sauvages étaient  en \og danger critique d'extinction \fg{} en 1938 puisque sur une période de dix ans leur nombre est passé de 90 à 15 soit une baisse de \np{83.33}\,\% par conséquent supérieure à 80\,\%.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose que l'évolution de la taille de la population des grues blanches sauvages à partir de 1938 est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [38; 100] par : $f(x) = 0,08x^2 - 7,2x + 173$.

où $x$ est le temps écoulé en années à partir de 1900. Ainsi l'année 1938 correspond à $x = 38$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau de valeurs donné a été complété en annexe 3. %Les résultats seront arrondis à l'unité.
		\item La courbe représentative de la fonction $f$ a été tracée sur le repère donné en annexe 3.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminons $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [38~;~100].
		
		$f'(x)=\np{0.08}\times (2x)-\np{7.2}=\np{0.16}x-\np{7.2}$.
		
		\item Étudions le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [38~;~100].
		
		Sur $\R, \qquad \np{0.16}x-\np{7.2}>0 \iff \np{0.16}x>\np{7.2}\iff x>\dfrac{\np{7.2}}{\np{0.16}}\iff x>45$.
		
		Il en résulte : si $x\in [38~;~45[,\quad f'(x)<0 $ et si $x\in ]45~;~100],\quad f'(x)>0$.
				
		\item Étudions le sens de variation de $f$.
		
Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in [38~;45[,\ f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in]45~;~100],\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur[38~;~100]
 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$38$} \uput[u](4.5,2.45) {$45$}    \uput[u](7.73,2.45){$100$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$15$}\uput[ur](7.32,1.45){$253$}
\psline{->}(1.75,1.5)(4,0.55)\psline{->}(5,0.55)(7.3,1.5)
\uput[d](4.5,0.5){$11$}
\end{pspicture}}

\end{center}

		\item D'après le tableau de variation, $f$ admet un minimum en 45 qui vaut 11.

Selon ce modèle, l'année où le nombre de grues blanches sauvages est minimal est 1945.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (Exercice 1)}

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(21,27)
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,26)}
\multido{\n=0+1}{27}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=16,Dy=2]{->}(0,0)(-0.3,-0.3)(21,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=16,Dy=2](0,0)(21,26)
\uput[r](0,26.5){Concentration annuelle moyenne en particules fines en Belgique}
\uput[r](0,25.5){(en micro grammes par mètre cube)}
\uput[u](16.5,1){Rang de l'année}
\uput[u](18,0){(Le rang 0 correspond à l'année 2000)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1,24)(2,19)(3,18)(4,17)(5,18)(6,17)(7,19)(8,15)(9,14)(10,15)(11,10)(12,10)(13,12)
\psplot[linecolor=violet,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{20}{x neg 23 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 (Exercice 2)}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B 	&C 	&D 	&E\\ \hline
1	&		&Patients atteints de leucémie lymphoïde&Patients atteints d'anomalies de coagulation&Patients atteints d'anomalies  du   tissu conjonctif&Total\\ \hline
2 	&Homme 	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{15479}}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{6361}}&\np{4863}&\np{26703}\\ \hline
3 	&Femme	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{13186}}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{7774}}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{18292}}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{39252}} \\ \hline
4 	&Total &\np{28665}& \np{14135}&\np{23155}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\np{65955}}\\ \hline
5	&		&&&&\\ \hline
6	&		&&&&\\ \hline
7 	&\multicolumn{5}{|c|}{Probabilités conditionnelles de chaque pathologie selon le sexe du patient}\\ \hline
8 	&\multicolumn{5}{|c|}{Sachant que le patient est un homme :}\\ \hline
9	&		&Leucémie lymphoïde&Anomalies de coagulation&Anomalies du  tissu conjonctif&\\ \hline
10 	&Probabilité d'être atteint : &0,58 &0,24 &0,18&\\ \hline
\multicolumn{6}{l}{(source : Ameli.fr)}
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 3 (Exercice 3)}

\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=0.1cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(116,266)
\multido{\n=0+2}{58}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+4}{66}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(116,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20]{->}(0,0)(116,260)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=20](0,0)(116,260)
\uput[r](0,263){Nombre de grues sauvages}
\uput[u](86,8){Rang de l'année}
\uput[u](95,0){Le rang $0$ correspond à 1900}
\psset{linecolor=red,arrowscale=2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](10,200)(20,150)(28,90)(30,44)(38,16)
\psline[linecolor=violet,linestyle=dashed,linewidth=0.75pt]{->}(28,0)(28,90)
\psline [linecolor=violet,linestyle=dashed,linewidth=0.75pt]{->}(28,90)(0,90)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.9pt,plotpoints=800]{38}{100}{x 2 exp 0.08 mul x 7.2  mul sub  173 add}
\uput [l](103,220){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[l](0,90){\textcolor{violet}{$\approx 90$}}\uput[d](28,0){\scriptsize\textcolor{violet}{$28$}}
\end{pspicture}


\vspace{1cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Question B. 1. A}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&38	&40	&45	&50	&60	&80	&100\\ \hline
$f(x)$	&15	&13	&11	&13	&29	&109	&253\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
{\footnotesize \emph{les résultats sont arrondis à l'unité}}
\end{document}