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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S ~\decofourright \\[5pt]Métropole La Réunion  8 septembre 2020}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Évolution du nombre de licences à la FFH}

\medskip

%L'objectif principal de la Fédération Française Handisport (FFH) est de rendre le sport accessible au plus grand nombre de personnes en situation de handicap.
%
%Grâce à une politique efficace d'inclusion, cette fédération a vu fortement augmenter son nombre de licences entre 2008 et 2012 passant de \np{24456} licences à \np{31900}.
%
%Dans le cadre du projet fédéral \og Cap 2024 \fg, un des objectifs de la FFH est de dépasser \np{75000} licences d'ici 2024.
%
%Sur une feuille de calcul automatisé, le tableau suivant donne le nombre de licences prises à la FFH de 2008 à 2012.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 					&B		&C		&D		&E		&F\\ \hline
1 	&Année 				&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012\\ \hline
2 	&Nombre de licences	&\np{24456}&\np{25775}	&\np{26534}&\np{27657}&\np{31900}\\ \hline
3 	&Taux d'évolution entre 
deux années consécutives (en \,\%)&\Huge $\times$&5,4\,\%	&	&		&\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\emph{\small{Source: TNS Sofres Sport et handicap - FDJ}}}\\
\end{tabularx}

\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution du nombre de licences de la FFH de 2008 à 2012. Le résultat sera arrondi à 0,1\,\%.
\item La ligne 3 de la feuille de calcul est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%.
On a $\dfrac{\np{31900} - \np{24456}}{\np{24456}} = \dfrac{\np{7444}}{\np{24456}}\approx \np{0,3043}$, soit 30,4\,\% à 0,1 près.

\item %Quelle formule peut-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution entre deux années consécutives ?
On peut écrire en C3 : =(C2-B2)/B2*100.
\end{enumerate}

Suite à la mise en place d'une nouvelle offre sportive attractive, on considère qu'à partir de 2012, le nombre de licences augmente chaque année de 6\,\%.

Avec ce modèle, on note $u_n$ le nombre de licences à la FFH, en milliers, l'année $2012 + n$. On a donc $u_0 = 31,9$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
		Ajouter 6\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{6}{100} = 1 + 0,06 = 1,06$.
		
On a donc quel que soit le naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,06u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 31,9$ et de raison $q = 1,06$.
		\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors quel que soit le naturel $n$ : $u_n = u_0\times q^n = 31,9 \times 1,06^n$~(milliers de licenciés).
		\item %Calculer $u_4$ en arrondissant votre résultat au dixième. 
		
%Interpréter votre résultat dans le contexte de l'exercice.
On a donc $u_4 = 31,9 \times 1,06^4 \approx 40,273$.

En 2016 il devrait y avoir \np{40273} licenciés.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, selon ce modèle, l'objectif \og Cap 2024\fg{} de la FFH ne serait pas atteint. 
		D'après ce modèle comme 2024 correspond au rang $n = 12$, on devrait avoir en 2024 :
		
$u_{12} = 31,9 \times 1,06^{12} \approx 64,189$, soit \np{64189} licenciés soit moins de \np{75000}.
		\item  %Déterminer alors en quelle année le nombre de licences dépasserait \np{75000}.
Avec la calculatrice : on tape

31,9 Entrée

$* 1,06$ Entrée (on obtient $u_1$)

Entrée (on obtient $u_2$)

\ldots

etc.

jusqu'à obtenir un nombre supérieur à $75$.

On a $u_{15} \approx 76,5$. 

Le nombre de licenciés devrait dépasser \np{75000} en 2016.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\smallskip

L'abandon scolaire est défini comme l'arrêt des études secondaires avant l'obtention d'un diplôme.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le taux moyen d'abandon scolaire des jeunes âgés de 18 à 24 ans dans l'Union Européenne de 2006 à 2013 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline
Rang $\left(x_i\right)$	& 0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
Taux moyen d'abandon scolaire $\left(y_i\right)$ (en \,\%)	&15,3 &14,9 &14,7 &14,2 &13,9 &13,4 &12,7 &11,9\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\small \emph{Source EU-28 : Eurostat enquête Force de travail, octobre 2018}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

%Le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ correspondant à ces données est fourni en \textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ puis le placer sur le graphique de l'\textbf{ANNEXE 1 à rendre avec la copie}.
On a $G(3.5~;~13,875)$. Voir l'annexe à la fin.
\end{enumerate}

On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation : $y = -0,45x + 15,5$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Tracer la droite $D$ dans le repère de l'\textbf{ANNEXE 1  à rendre avec la copie}. On précisera les points utilisés.
On peut utiliser les points (0~;~15,5) et (10~;~11).
\item  %À l'aide de cet ajustement, estimer par le calcul le taux moyen d'abandon scolaire en 2017.
2017 correspond à $x = 11$, d'où $y = 15,5 - 0,45 \times 11 = 15,5 - 4,95 = 10,55$.
\item  %En supposant cet ajustement fiable jusqu'en 2025, déterminer au cours de quelle année le taux moyen d'abandon scolaire dans l'Union Européenne passera en dessous de $9$\,\%.
$\bullet~~$Avec le graphique  : on trace la droite d'équation $y = 9$ qui coupe la droite d'ajustement en un un point dont l'abscisse est supérieure à 14. Le taux moyen sera inférieur à 9\,\% au cours de la quinzième année,soit en 2021.

$\bullet~~$Par le calcul :

Il faut résoudre $15,5 - 0,45x < 9$, soit $15,5 - 9 < 0,45x$ ou $6,5 < 0,45x$ et enfin $\dfrac{6,5}{0,45} < x$. 

Or $\dfrac{6,5}{0,45} \approx 14,44$.
On retrouve $x = 15$ soit en 2021.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau suivant donne les résultats d'une enquête concernant un échantillon de jeunes de 18 ans à 24 ans selon la catégorie socio-professionnelle du père.

\medskip

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|X|X|}%\hline
%\textbf{Catégorie socio-professionnelle du père}	&\textbf{Jeunes sortis avec
% diplôme}&\textbf{Jeunes sortis sans diplôme}\\ \hline
%Sans activité											&135	  &94\\ \hline
%Agriculteurs, artisans, commerçants, chefs d'entreprise	&\np{1449}&215\\ \hline
%Cadres, professions intellectuelles supérieures			&\np{1985}&122\\ \hline
%Professions intermédiaires								&\np{2268}&209\\ \hline
%Employés												&\np{1818}&444\\ \hline
%Ouvriers												&\np{3646}&\np{1078}\\ \hline
%Total													&\np{11301}&\np{2162}\\ \hline
%\multicolumn{3}{r}{\small \emph{Source: MEN-MESR DEPP}}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

%En utilisant les données de ce tableau, pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur votre copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier à l'aide d'un calcul.
% 
% \medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Parmi les jeunes sortis sans diplôme, près de la moitié ont un père ouvrier.
\np{1078} c'est 3 de moins que la moitié des \np{2162} parents de jeunes sortis sans diplôme. L'affirmation est vraie.
\item %Plus de 85\,\% des enfants d'employés sortent avec un diplôme.
Il y a $\np{1818} + 444 = \np{2262}$ enfants d'employés.

Or $0,85 \times \np{2262} \approx \np{1923}$ et seulement \np{1818} sont sortis avec un diplôme. L'affirmation est fausse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On choisit au hasard la fiche d'un jeune dans cette population et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ]$D$ est l'évènement: \og Le jeune choisi est sorti avec un diplôme \fg.
\item[ ]$O$ est l'évènement: \og Le jeune choisi a un père ouvrier \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

On note $\overline{D}$ l'évènement contraire de $D$ et $\overline{O}$ l'évènement contraire de $O$.

Les informations recueillies ont permis d'établir que 84\,\% des jeunes interrogés sont sortis avec un diplôme, et parmi ces $84\,\%,\:32\,\%$ ont un père ouvrier.

On représente la situation à l'aide de l'arbre de probabilités ci-dessous:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U,shortput=nab]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~~}^{\red 0,84}}
	{\TR{$O$}^{\red 0,32}
	\TR{$\overline{O}$}_{\red 0,68}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~~}_{\red 0,16}}
	{\TR{$O$}^{0,5}
	\TR{$\overline{O}$}_{\red 0,5}
	}	
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilités représenté ci-dessus.
Voir ci-dessus.
\item %Préciser $P_{\overline{D}}(O)$ et interpréter cette probabilité dans le contexte de l'exercice.
$P_{\overline{D}}(O) = 0,5$ : c'est la probabilité qu'un jeune non diplôùé ait un père ouvrier.
\item %Interpréter l'évènement $D \cap O$ dans le contexte de l'exercice, puis calculer sa probabilité.
L'évènement $D \cap O$ est l'évènement : \og le jeune est diplômé et a un père ouvrier \fg.

On a $P(D \cap O) = P(D) \times P_D(O) = 0,84 \times 0,32 = \np{0,2688}$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, arrondie au centième, $P(O) = 0,35$.
D'après la loi des probabilités totales : 

$P(O) = P(D \cap O) + P\left(\overline{D} \cap O \right)$.

Or $P\left(\overline{D} \cap O \right) = p\left(\overline{D}\right) \times P_{\overline{D}}(O) = 0,16 \times 0,5 = 0,08$.

Donc $P(O) = \np{0,2688} + 0,08 = \np{0,3488}$ soit 0,35 au centième près.
		\item %Les évènements $O$ et $D$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On a $P(O) \times P(D) = \np{0,3488} \times 0,84 = \np{0,292992}$ et 
		
$P(O \cap D) = \np{0,2688}$.

$P(O) \times P(D) \ne P(O \cap D)$ : les évènement $D$ et $O$ ne sont pas indépendants.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

%Dans le cadre d'une étude pharmacologique, un médecin donne une dose de médicament à deux patients en utilisant deux voies d'administration différentes : par voie orale ou par voie intraveineuse. Pour ce médicament, les caractéristiques sont les suivantes :

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]la limite supérieure (concentration maximale au-delà de laquelle apparaissent des effets toxiques) est de $65$~mg/L ;
%\item[$\bullet~~$]le seuil thérapeutique (concentration minimale en dessous de laquelle aucune efficacité du médicament n'est obtenue) est de $25$~mg/L ;
%\item[$\bullet~~$]l'intervalle thérapeutique (zone intermédiaire dans laquelle les concentrations sont à la fois efficaces et non toxiques) contient les valeurs comprises entre $25$~mg/L et $65$~mg/L.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une dose de $60$ mg/L de ce médicament est administrée par voie orale au premier patient à l'instant $t = 0$.

%La courbe fournie dans l'\textbf{ANNEXE 2  à rendre avec la copie} représente la concentration en mg/L du médicament dans le sang du patient en fonction du temps en heure.
%
%À l'aide de cette courbe, répondre avec la précision que permet le graphique aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de construction utiles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la concentration du médicament dans le sang du patient à l'instant $t = 3$~(h).
On lit  pour $t = 3$, une concentration de 17~mg/L.
\item %Au bout de combien de temps la concentration du médicament dans le sang est-elle maximale ?
La concentration du médicament dans le sang est maximale au bout de 0,8~h soit 48~minutes.
\item %Déterminer la durée pendant laquelle la concentration de médicament dans le sang, exprimée en mg/L, reste à l'intérieur de l'intervalle thérapeutique.
La droite d'équation $y = 25$ coupe la courbe en deux points d'abscisses approximatives 0,15 et 2,15. L'intervalle thérapeutique est donc [15~min~;~2~h 15~min].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le second patient reçoit une dose de $60$ mg/L de ce médicament par voie intraveineuse.

%On admet que la concentration (en mg/L ) du médicament dans le sang du patient, en fonction du temps écoulé (en heure) depuis l'injection, est donnée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par:

\[g(t) = 60 \times 0,75^t.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer, en justifiant, le sens de variation de la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par:

\[f(t) = 0,75^t.\]

Comme $0 < 0,75 < 1$, on sait que la fonction $t \longmapsto 0,75^t$ est une fonction décroissante en particulier sur [0~;~7].

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice compléter le tableau de valeurs donné en \textbf{ANNEXE 3 à rendre avec la copie} en arrondissant les valeurs au dixième.
Voir l'annexe 3.
		\item %Compléter la courbe représentative de la fonction $g$ sur l'\textbf{ANNEXE 4 à rendre avec la copie} sur l'intervalle [0~;~7].
	\end{enumerate}
\item %Résoudre dans l'intervalle [0~;~7] l'inéquation : $g(t) < 25$.
$\bullet~~$\emph{Par le calcul} $60\times 0,75^t < 25 \iff 0,75^t < \dfrac{25}{60} \iff t\ln 0,75 < \ln \left(\dfrac{25}{60} \right)$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) 
$\iff t > \dfrac{\ln \left(\dfrac{25}{60}\right)}{\ln 0,75} \approx 3,04$.

$\bullet~~$\emph{Graphiquement} On peut aussi tracer la droite d'équation $y = 25$ : elle coupe la représentation graphique de la fonction $g$ en un point d'abscisse environ égale à 3 (voir la figure à la fin).

$S = ]3~;~7]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

%Déterminer le mode d'administration à privilégier pour que la durée d'efficacité du médicament soit la plus longue.
La voie intraveineuse agit sur une durée de trois heures plus longue que l'injection par voie orale qui n'a d'effet que pendant deux heures : elle est donc à privilégier.
\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXES à rendre avec la copie}

\bigskip
\end{center}
\textbf{Annexe 1 - Exercice 2 Partie A. 1.}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=0.85cm,algebraic=true,arrowsize =2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.6,-0.5)(15,8.5)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,8.5)}
\multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=8]{->}(0,0)(0,0)(15,8.5)
\uput[u](13.5,0){Rang de l'année}
\uput[r](0,8.25){Taux moyen d'abandon scolaire (en \,\%)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8,linecolor=blue](0,7.3)(1,6.9)(2,6.7)(3,6.2)(4,5.9)(5,5.4)(6,4.7)(7,3.9)(3.5,5.875)
\uput[d](3.5,5.875){\blue $G$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{7.5-0.45*x}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1)(14.444,1)(14.444,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Annexe 2 - Exercice 3 Partie A.}

\bigskip

\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.13cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(8,70)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.7pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(8,70)
\uput[d](6.9,-4){Temps en heure}
\uput[r](0,68){Concentration en mg/L}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{1.3}{x 203.871 mul  2.71828 x 1.25 mul exp div }
\psecurve[linecolor=blue](1.2,54)(1.3,52)(1.4,47.6)(1.6,40)(1.9,30.2)(2,28.2)(2,28)(3,17)(4,11.8)(5,8.6)(6,7)(7,5.8)(8,4.5)(9,4)
\psline[ArrowInside=->](0,25)(0.15,25)(0.15,0)
\psline[ArrowInside=->](0,25)(2.15,25)(2.15,0)
\end{pspicture}

\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXES à rendre avec la copie}

\bigskip
\end{center}
\textbf{Annexe 3 - Exercice 3 Partie B. 2. a.}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&1	&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
$g(t)$	&60	&45	&33,8	&25,3	&19,0	&14,2	&10,7	&8,0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{1cm}
\textbf{Annexe 4 - Exercice 3 Partie B. 2. b.}
\bigskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=0.13cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-8)(8,70)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.7pt](\n,0)(\n,70)}
\multido{\n=0+2}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.7pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(8,70)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(8,70)
\uput[d](6.9,-4){Temps en heure}
\uput[r](0,68){Concentration en mg/L}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,60)(0.61,50)(1,45)(1.4,40)(2,33.8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{7}{60 0.75 x exp mul}
\psline[ArrowInside=->](0,25)(3.01,25)(3.01,0)
\uput[l](0,25){25}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}