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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small S. T. A. E.--S. T. P. A.}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane \hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A.  P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé S. T. A. E. Antilles--Guyane septembre 2007~\decofourright\\  \hspace{2em}}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques seront donnés sous forme décimale et arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip
{\footnotesize 
Un organisme a étudié le volume $X$, exprimé en litres, de carburant consommé par un véhicule sur un trajet fixé. On admet que $X$ est une variable aléatoire de loi normale de moyenne 48 et 
d'écart-type $3,8$.
}

\medskip
 
\emph{\footnotesize Pour répondre aux questions suivantes, on pourra utiliser la table de la toi normale centrée réduite.}

Dire que la loi de probabilité de la variable $X$  est la loi normale $\mathcal{N}(48~;~ \np{3.8}) $ est équivalent à dire  que la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z=\dfrac{X-48}{\np{3.8}}$ est la loi normale centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité que le volume de carburant consommé au cours de ce trajet soit  :
	\begin{description}
		\item [-- inférieur à 42,3~litres.] 

Cette probabilité est notée $p(X\leqslant \np{42.3})$. Ceci est équivalent à $p(Z\leqslant -\np{1.5})$.
		
$p(Z\leqslant -\np{1.5})=1-p(Z\leqslant \np{1.5})$. 

Dans la table de la loi centrée réduite, nous pouvons lire $p(Z\leqslant \np{1.5})=\np{0.9332}$.

  Il en résulte $p(Z\leqslant -\np{1.5})=1-\np{0.9332}=\np{0.0668}$.

 La probabilité que le volume de carburant consommé au cours de ce trajet soit inférieur  à \np[\ell]{42.3} est $\np{0.0668}$.
		\item [-- compris entre 40,59~litres et 55,41~litres.]
		
		Cette probabilité est notée $p(\np{40.59}\leqslant X \leqslant \np{55.41})$.

 Elle est équivalente à $p(-\np{1.95}\leqslant Z\leqslant \np{1.95})$.

$p(-\np{1.95}\leqslant Z\leqslant \np{1.95})=p(Z\leqslant \np{1.95})-(1- p(Z\leqslant \np{1.95}))= 2 (p(Z\leqslant \np{1.95}))-1=2\times \np{0.9744}-1=\np{0.9488}$. 

La probabilité que le volume de carburant consommé  soit compris entre \np[\ell]{40.59} et \np[\ell]{55.41}est  $\np{0.9488}$.
	\end{description} 
\item Le véhicule effectuant ce trajet a un réservoir d'une capacité de 44,2~litres. Calculons la probabilité qu'un plein ne suffise pas pour effectuer ce trajet. Nous cherchons donc la probabilité que le volume de carburant utilisé lors du trajet soit supérieur à \np[\ell]{44.2}. Elle se note $p(X\geqslant\np{44.2})$.

Elle est équivalente à $p(Z \geqslant -1)$. Or $p(Z\geqslant -1)=p(Z\leqslant 1)=\np{0.8413}$.

La probabilité qu'un plein ne suffise pas pour effectuer ce trajet est \np{0.8413}.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize
La courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ donnée dans le document représente, dans un repère orthogonal, une fonction $g$ définie et dérivable sur un intervalle I ~$ = \left[- \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{3\pi}{2}\right]$. La droite (T) est tangente à $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ au point d'abscisse $0$. 
 }
\begin{enumerate}
\item  \emph{\footnotesize Par \textbf{lecture graphique}, répondre aux questions suivantes en expliquant par une phrase la démarche adoptée :}
 
	\begin{enumerate}
		\item  $g(0)=1$ en lisant l'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées.

 $g'(0)=2$ en lisant le coefficient directeur de la tangente en 0 à la courbe. 
		\item Dans I, résolvons  l'équation : $g(x) = 0$.  Nous lisons les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons environ $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{7\pi}{6}$. L'ensemble des solutions de l'équation serait $\left\{-\dfrac{\pi}{6}~;\dfrac{7\pi}{6}~\right\}$.
		\item Dans I, résolvons  l'inéquation : $g'(x) > 0$. Nous lisons l'intervalle sur lequel la fonction est strictement croissante c'est-à-dire sur l'intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$.
	\end{enumerate} 
\item  On admet que la fonction $g$ est définie sur I par : $g(x) = 2\sin x + 1$.
 
En utilisant le cercle trigonométrique, résolvons sur  I l'équation : $2\sin x + 1 = 0$ ou $\sin x=-\dfrac{1}{2}$.
 
 Nous constatons que $-\dfrac{1}{2}=\sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ ou $-\dfrac{1}{2}=\sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)$

L'ensemble des solutions de l'équation est $\left\{-\dfrac{\pi}{6}~;\dfrac{7\pi}{6}~\right\}$.

Nous retrouvons l'ensemble des solutions appartenant à I de $g(x)=0$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip
{\footnotesize
On admet que, dans certaines conditions, l'évolution en fonction du temps $t$ (exprimé en heures) du taux d'alcool dans le sang (exprimé en grammes par litre) est donné à l'instant $t$ par la formule : $4t \text{e}^{-t}$.
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[ f(t) = 4t \text{e}^{-t}\]

et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de $f$ 
dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses et 5~cm sur l'axe des ordonnées.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On admet que la limite de $f$ en $+ \infty$ est égale à zéro. Puisque la limite de $f$  est 0 lorsque $t$ tend vers $+\infty$, alors l'axe des abscisses est asymptote à la courbe représentative de $f$. 
\item  Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur  $[0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item $f'(t)=4\e^{-t}+4t(-\e^{-t})=4\e^{-t}(1-t)$.

Nous obtenons bien la réponse attendue c'est-à-dire $f'(t) = 4\text{e}^{-t}(1 - t)$. 
		\item Étudions le signe de $f'(t)$ pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$.

Pour tout $t\in \R, \ 4\e^{-t}>0$ par conséquent sur $[0~;~+\infty[$, le signe de $f'(t)$ est celui de $1-t$

Sur $\R,\  1-t>0 \iff t<1$. Il en résulte que si $t\in[0~;~1[$ alors $f'(t)>0$ et si $t\in]1~;~+\infty[,\ f't)<0$

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~1[,\:f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]1~;~+\infty[,\ f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Dressons  le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. Auparavant calculons $f(0)$ et $f(1$).
 
$f(0)=4\times 0\times \e^0=0$ ; $f(1)=4\times 1\times \e^{-1}=4\e^{-1}$
  \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$1$}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$4\e^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

 %et  le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ : on y précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$?
	\end{enumerate} 
\item Montrons que l'équation $f(t) = 0,5$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [3~;~4].

$f$ est une fonction dérivable strictement décroissante sur $]1~;~+\infty[$ a fortiori sur $[3~;~4]$.

 $f(3)=12\e^{-3}\approx \np{0.597}$, $f(4)=16\e^{-4}\approx\np{0.293}$. 

$\np{0.5}\in[f(4)~;~f(3)]$ par conséquent il existe un unique $\alpha \in [3~;~4]$ tel que $f(\alpha)=\np{0.5}$.
 
En utilisant la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est : $\np{3.26}\leqslant \alpha\leqslant \np{3.27}$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Complétons le tableau de valeurs suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0	&0,5& 1	& 2 &3 	&4 	&5  \\ \hline
$f(t)$	&0	&\np{1.2}	&	\np{1.5}&	\np{1.1}&\np{0.6}	&\np{0.3}	& \np{0.1} \\ \hline
\end{tabularx}
\emph{\footnotesize Les valeurs approchées sont arrondies à $10^{-1}$ près.}

\medskip
 
		\item La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ représentative de $f$ est tracée ci-après dans le repère orthogonal \Oij. 
		\item  D'après le tableau de variation, le taux d'alcool dans le sang est maximal au bout d'une heure. 
		\item Chez un conducteur, le taux maximal autorisé est 0,5~g/l.
		
À l'aide de la courbe, déterminons à quels instants le conducteur est en infraction. 

Le conducteur est en infraction lorsque son taux d'alcool est strictement supérieur à $\np[g/\ell]{0.5}$. Avec la précision permise par le graphique, le taux est à \np{0.5} pour $t\approx \np{0.15}$ et pour $t=\alpha$.

 L'intervalle de temps où le conducteur est en infraction est $]\np{0.15}~;~\alpha[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document de l'exercice 2}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5.5,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-3,-3)(5.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=1.5pt,griddots=8](-3,-3)(5,4)
\psplot{-1.5}{1.5}{2 x mul 1 add}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1.5708}{4.71238}{x 180 mul 3.14159 div sin 2 mul 1 add}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1.5708,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[u](4.71238,0){$\frac{3\pi}{2}$}\uput[u](-1.5708,0){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[u](0.9,3){(T)} \uput[ur](2.3,2.3){$\left(\mathcal{C}_{g}\right)$}
\psline[linestyle=dashed](-1.5708,0)(-1.5708,-1)
\psline[linestyle=dashed](1.5708,0)(1.5708,3)
\psline[linestyle=dashed](4.71238,0)(4.71238,-1)
\uput[d](5.5,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}\uput[l](0,1){1}
\uput[u](-0.5632,0){$-\frac{\pi}{6}$}\uput[d](3.6652,0){$\frac{7\pi}{6}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(6,2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-0.1)(5.5,1.75)
 \multido{\n=0+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1.5)}
 \multido{\n=0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(5,\n)}
 \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{2.71828 x neg exp x mul 4 mul}
 \uput[dl](0,0){O}
 \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1pt](0,0.5)(5,0.5)
\psset{arrowscale=1.5}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(0.144,0.5)(0.144,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(3.26168,0.5)(3.26168,0)
\uput [ur](0.35,1.35){$\mathcal{C}_f$}
\uput[d](0.144,0.01){\footnotesize $\approx\np{0.15}$}\uput[u](3.26,-0.15){\footnotesize $\approx \np{3.26}$}
\uput[d](3.26,0){\footnotesize $\alpha$}\uput[d](5.6,0){\footnotesize $t$ en heures}\uput[ur](0,1.6){\footnotesize taux d'alcool en $g/\ell$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}