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%source : ChloroFil
%Tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque relu par François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé S. T. A. V.}
\lfoot{\small{ Antilles-Guyane-Polynésie}}
\rfoot{\small{  juin 2018}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Antilles-Guyane-Polynésie juin 2018}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L' annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée.}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip


\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Une brioche est dans une étuve à 30\textcelsius{}  à l’instant initial $t = 0$ où $t$ est exprimé en minutes.

Un élève de STAV, en filière transformation, la place dans un four chauffé à \np{180}\textcelsius{}  pendant 35 minutes.
On admet que la température au c\oe ur de la brioche, exprimée en degré Celsius, est définie sur l’intervalle
[0~;~35] par une fonction du temps $t$ exprimé en minutes de la forme $f(t) = a\e^{bt} + 180$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En sachant que $f (0) = 30$ , justifions que $a = -150$. $f(0)=a\times 1+180=30$ d'où 
		
$a=-150$.		Par conséquent  nous pouvons en déduire $f(t)=-150\e^{bt}+180$.
		\item Au bout de 10 minutes, on constate que la température de la brioche est de 60 \textcelsius. Déterminons la
valeur exacte du réel $b$.

$f(10)=-150\e^{b\times 10}+180=60$, d'où $\e^{10b}=\dfrac{4}{5}$. En prenant le logarithme népérien des deux membres $10b=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)$ c'est-à-dire $b=\dfrac{\ln\frac{4}{5}}{10}$.

 Une valeur approchée de $b$ est alors $-\np{0.022}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
Pour la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = -150\e^{-0,022 t} +180$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item   $f'(t)=-150\times (-\np{0.022})\e^{-\np{0.022}t} = 3,3\e^{- 0,022t}$ pour tout réel $t$ de l’intervalle [0~;~35].
		\item Pour tout $t\in[0~;~35],\ f't)>0$ comme produit de nombres réels strictement positifs, la fonction $f$ est strictement croissante sur [0~;~35].
		En effet, si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
		\item  Le résultat de la question \textbf{2. b.} montre que la température dans le c\oe ur de la brioche croît en fonction du temps.% dans le contexte de l’exercice.
		\item %Par la méthode de votre choix, que vous expliquerez,

 Déterminons le temps nécessaire, en minutes, pour que la température au c\oe ur de la brioche soit supérieure à 100\textcelsius. Pour ce faire résolvons $f(t)\geqslant 100$.
 
 \begin{minipage}[]{0.48\linewidth}
 \begin{align*}
 -150\e^{-\np{0.022}t}+180&\geqslant 100\\
  -150\e^{-\np{0.022}t}&\geqslant -80\\
 \e^{-\np{0.022}t}&\leqslant \dfrac{80}{150}\\
 \e^{-\np{0.022}t}&\leqslant\dfrac{8}{15}\\
  \dfrac{1}{\e^{\np{0.022}t}}&\leqslant \dfrac{8}{15}\\
 \end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{0.48\linewidth}
 \begin{align*}
  15&\leqslant 8\e^{\np{0.022}t}\\
  \e^{\np{0.022}t}&\geqslant \dfrac{15}{8}\\
  \np{0.022}t&\geqslant \ln \left(\frac{15}{8}\right)\\
  t&\geqslant \dfrac{\ln \left(\frac{15}{8}\right)}{\np{0.022}}\\
  \end{align*}
  \end{minipage}
  
  $\dfrac{\ln \left(\frac{15}{8}\right)}{\np{0.022}}\approx \np{28.57}$
  
  La température au c\oe ur de la brioche est supérieure à 100 \textcelsius{} à partir de 29 minutes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Afin de comparer l’action de deux levures sur la brioche, l’élève de STAV observe, lors de son stage en boulangerie, 300 pâtes de brioche et compare la capacité fermentaire de la levure que l’on qualifiera ici de \og Faible, Moyenne, Bonne ou Excellente\fg. Il obtient les résultats suivants :
}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.48}
\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{5.85cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\diagbox[innerwidth=\hsize]{Capacité\\
fermentaire de la levure de la pâte}{Levure}&Levure A& Levure B\\\hline
Faible &7& 3\\\hline
Moyenne &24& 18\\\hline
Bonne &43& 28\\\hline
Excellente& 84 &93\\\hline
\end{tabularx}
\smallskip
\begin{enumerate}
\item  Le tableau recensant les profils colonnes des différentes levures, ainsi que le profil colonne marginal est complété en \textbf {annexe A }%(à rendre avec la copie après avoir été numérotée)}.
\item La capacité fermentaire de la pâte dépend de la levure, elle est plus importante  dans la levure A pour les capacités faible, moyenne ou bonne  mais elle est moins importante dans la capacité excellente.

%Justifier votre réponse à l’aide du tableau obtenu à la question précédente ou du graphique suivant :


\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=6.5,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=1pt}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.01)(6,1.27)
 \multido{\n=0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=lightgray,linestyle=dotted](0,\n)(4,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,labels=y,Dy=0.2,]{-}(0,0)(4,1.1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](0.75,0)(1.25,0.53165)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](1.75,0)(2.25,0.655)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=red,linewidth=0.3pt](2.75,0)(3.25,0.590)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](0.75,0.53165)(1.25,0.80380)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](1.75,0.655)(2.25,0.82218)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green,linewidth=0.3pt](2.75,0.590)(3.25,0.82667)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](0.75,0.80380)(1.25,0.9557)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](1.75,0.82218)(2.25,0.94894)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,linewidth=0.3pt](2.75,0.82667)(3.25,0.96667)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](0.75,0.9557)(1.25,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](1.75,0.94894)(2.25,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0.3pt](2.75,0.96667)(3.25,1)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=red](4,0.4)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=green](4,0.5)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=cyan](4,0.6)
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,fillcolor=gray](4,0.7)
  \uput[r](4.1,0.4){Excellente}\uput[r](4.1,0.5){Bonne}\uput[r](4.1,0.6){Moyenne}\uput[r](4.1,0.7){Faible}
  \uput[u](2,1){ \footnotesize profil colonne levures A et B profil colonne marginal}
  \rput[rC](1.25,-0.02){\scriptsize Profil levure A}\rput[rC](2.5,-0.02){\scriptsize Profil levure B}
  \rput[rC](4.25,-0.02){\scriptsize Profil colonne marginal}
  
  \rput(-0.46,0.88){\rotatebox{90}{\scriptsize Fréquences}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip
%CC BY-SA 3.0 JJ Harrison - Own work
{\footnotesize Nourrir des poules avec les restes alimentaires permet de réduire la quantité de déchets à incinérer. Afin de
réduire le volume des ordures ménagères, une communauté de communes offre en 2017 des poules à
50 foyers et décide ensuite, chaque année, d’augmenter le nombre de nouveaux foyers à qui l'on offre des
poules, de 18\,\% par an.

On modélise le nombre de foyers ayant reçu des poules au cours de l’année $2017 + n$ par une suite $\left(u_n\right)$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item   $u_0 = 50$ puisque  une communauté de communes offre en 2017 des poules à 50 foyers. 

À une augmentation de 18\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,18. 

$ u_1=50\times \np{1.18}=59 $.

\item Puisque l'on augmente chaque année le nombre de poules distribuées de 18\,\%, il est donc multiplié par \np{1,18}. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1}= 1,18\times u_n$. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.18} et de premier terme 50.
\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :

 $u_n=u_0\times (q)^n$. Pour tout entier naturel $n$,  $u_n = 50\times (1,18)^n$.
\item Déterminons  l'année à partir de laquelle la communauté de communes offrira des poules à plus de \np{1000} foyers. Pour ce faire, résolvons $u_n\geqslant \np{1000}$.
\begin{align*}
50\times \np{1.18}^n&\geqslant \np{1000}\\
\np{1.18}^n&\geqslant 20\\
n\ln\np{1.18}&\geqslant \ln 20\\
n&\geqslant\dfrac{\ln 20}{\ln\np{1.18}}\\
\end{align*}

$\dfrac{\ln 20}{\ln\np{1.18}}\approx \np{18.1}$

La communauté de communes offrira des poules à plus de \np{1000} foyers en 2017+19 soit 2036.
%par la méthode de votre choix que vous expliquerez,
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip
{\footnotesize
Selon l’INSEE, la population française au 1\up{er} janvier 2017 se compose de 49\,\% d’hommes et de 51\;\% de
femmes. D’autre part, en France, on estime que 8\,\% des hommes sont daltoniens.
Les femmes ne sont, quant à elles, quasiment pas touchées par ce trouble de la vision : seulement 0,5\,\%
des femmes sont daltoniennes.

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $\mathbf{10^{-3}}$ près.}

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On interroge une personne au hasard dans la population française.

On note $H$ l’évènement : \og la personne est un homme\fg

\hspace{3.9em} $D$ l’évènement : \og la personne est daltonienne\fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduisons la situation décrite dans l’énoncé, à l’aide d’un arbre de probabilité.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0.pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,49}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\np{0.08}$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.92}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{H}~$}\tbput{$\np{0.51}$}}
	{\TR{$D$}\taput{$\np{0.005}$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.995}$}
	}
}
\end{center} 
\item La probabilité d’être un homme et daltonien est notée $p(H\cap D)$.

 $p(H\cap D)=p(H)\times p_{H}(D)=\np{0.49}\times \np{0.08}=\np{0.0392}$.
\item La probabilité d’interroger une personne daltonienne est notée $p(D)$.
$H$ et $\overline{H}$ formant une partition de l'univers,

$p(D)=p(H\cap D)+p\left(\overline{H}\cap D\right)= p(H)\times p_{H}(D)+p\left(\overline{H}\right)\times p_{\overline{H}}(D)=\np{0.0392}+\np{0.51}\times \np{0.995}=\np{0.04175}$.

Il en résulte en arrondissant au centième $p(D)= 0,042$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un groupe est constitué de 120 lycéens.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de daltoniens parmi ces 120 lycéens.
On admet que la loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n =120$ et $p = 0,042$.

La probabilité que $X=k$  est : $p(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-p}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons  $p(X = 0)$ et $p(X = 1)$.

$p(X=0)=\dbinom{120}{0}(\np{0.042})^0(\np{0.958})^{120}\approx \np{0.006}$

$p(X=1)=\dbinom{120}{1}(\np{0.042})\times(\np{0.958})^{119}\approx \np{0.031}$
\item La probabilité qu’il y ait au moins deux daltoniens parmi les 120 lycéens est notée $p(X\geqslant 2)$.

$p(X\geqslant 2)=1-\left(p(X=0)+p(X=1)\right)=1-(\np{0.006}+\np{0.031})=\np{0.963}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.}

Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par \textbf{vrai} ou \textbf{faux}, puis justifier.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de point. Répondre sur la copie.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Affirmation 1 :} L'algorithme suivant permet de calculer puis d'afficher le produit des 7 premiers
entiers naturels non nuls : $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7$.

\renewcommand{\arraystretch}{0.9}
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{7cm}|}
\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est du type nombre entier\\
$P$ est du type nombre réel\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Initialisation}\\
$N$ prend la valeur 7\\
$P$ prend la valeur 0\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Traitement}\\
Pour $K$ allant de 1 à $N$ faire\\
\hspace{2.5em}$P$ prend la valeur $P\times K$\\
Fin Pour\\
\raisebox{2.5ex}{}
\textbf{Sortie}\\
Afficher $P$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation fausse :}  puisque $P$ au départ vaut 0 par conséquent  nous obtiendrons 0.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 3 + 2\ln(x)$.

Dans un repère orthonormé, on note $C$ la courbe représentative de $f$?

\textbf{Affirmation 2 :} La tangente à $C$ au point A(1~;~3) a pour équation : $y = 2x +1$

\textbf{Affirmation vraie :} Nous avons $f(1)=3\quad f'(x)=\dfrac{2}{x}$ donc $f'(1)=2$

l'équation de la tangente en $1$ à la courbe est donc $y=2(x-1)+3$ soit $y=2x+1$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \ln x $ et $G$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $G(x) = x \ln x$.

\textbf{Affirmation 3 :} $G$ est une primitive de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.

\textbf{Affirmation fausse :} $G'(x)=\ln x+x\times \dfrac{1}{x}=\ln x+1$

\item \textbf{ Affirmation 4 :}$\displaystyle \int_{1}^{3}\dfrac{2}{x}\mathrm{d}x = 2\ln3$

\textbf{Affirmation vraie} $\displaystyle \int_{1}^{3}\dfrac{2}{x}\mathrm{d}x =\left[2\ln x\right]_1^3=2\ln 3-0= 2\ln3$
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\textbf{Partie B}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Question 1 (Arrondir à $\mathbf{10^{-3}}$ près)}

\vspace{1cm}

%\begin{tabularx}{\textwidth}{|m{7cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
%\hline
%\diagbox[innerwidth=\hsize]{ Capacité\\ fermentaire de la levure de la pâte}{Levure}&
%Profil de la levure A& Profil de la levure B& Profil colonne marginal\\
%\hline
%Faible &0,044& 0,021& 0,033\\\hline
%Moyenne&\textcolor{blue}{\np{0.152}}&\textcolor{blue}{\np{0.127}}&\textcolor{blue}{\np{0.14}}\\\hline
%Bonne&\textcolor{blue}{\np{0.272}}&\textcolor{blue}{\np{0.197}}&\textcolor{blue}{\np{0.237}}\\\hline
%Excellente & 0,532& 0,655& 0,590\\\hline
%Total& 1 &1 &1\\\hline
%\end{tabularx}


{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|c|*{3}{>{\centering\arraybackslash}m{1.6cm}|}}% [innerwidth=\hsize]
\hline
\diagbox[width=7cm]{Capacité\\[-5pt] fermentaire de la levure de la pâte}{Levure}&
Profil de la levure A& Profil de la levure B& Profil colonne marginal\\
\hline
Faible &0,044& 0,021& 0,033\\\hline
Moyenne& \textcolor{blue}{0,152} & \textcolor{blue}{0,127} & \textcolor{blue}{0,140}\\\hline
Bonne& \textcolor{blue}{0,272} & \textcolor{blue}{0,197} & \textcolor{blue}{0,237}\\\hline
Excellente & 0,532& 0,655& 0,590\\\hline
Total& 1 &1 &1\\\hline
\end{tabular}}

\end{document}
