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%Tapuscrit : Nicolas LINCE
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
 \lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small{9 juin 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole--La Réunion 9 juin 2016}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip
{\footnotesize
Dans la population française, la répartition des quatre groupes sanguins $A$, $B$, $AB$ et $O$ est la suivante:

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm} A : 45\,\% & B: 10\,\% & AB: 3\,\% & O : 42\,\% \\
\hline
\end{array}$
\end{center}

(d'après Établissement Français du Sang)

Pour chaque groupe, le sang peut posséder ou non le facteur Rhésus. Si le sang possède ce facteur, on dit que la personne est de Rhésus positif (noté $Rh^+$), sinon on dit qu'elle est de Rhésus négatif (noté $Rh^-$).

\medskip

Pour chaque groupe, dans la population française, la répartition des Rhésus est la suivante:

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textrm{Groupe}&A&B&AB&O\\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Rh^+&85\,\%& 84\,\%& 82\,\%& 83\,\%\\
\hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}Rh^-& 15\,\%& 16\,\% &18\,\%& 17\,\%\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

Par exemple, $15\,\%$ des personnes du groupe $A$ sont de Rhésus négatif ($Rh^-$).

\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à  \mathversion{bold}$10^{-2}$ près.}
}
\medskip
\begin{center}
\textbf{Partie A - Calculs de probabilités et loi binomiale}
\end{center}

On interroge au hasard une personne de cette population.

On note :
\begin{itemize}
\item[] $O\ $ l'évènement: \og la personne est du groupe $O$\fg
\item[] $Rh^-\ $ l'événement: \og la personne est de Rhésus négatif \fg
\end{itemize}   
\begin{enumerate}
\item Une personne dont le sang est du groupe $O$ et de Rhésus négatif est appelée \textbf{donneur universel}.
	\begin{enumerate}
	\item À l'aide de l'énoncé,  $P(O)=\np{0.42}$ et $P_O (Rh^-)=\np{0.17}$.
	\item La probabilité d'interroger un donneur universel est notée $p(O\cap Rh^-)$.
	
	$p(O\cap Rh^-)= p(O)\times p_O(Rh^-)=\np{0.42}\times \np{0.17}=\np{0.0714}$.
	
	La probabilité d'interroger un donneur universel est à $10^{-2}$ près  $\np{0.07}$.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant à l'ensemble des groupes sanguins.
	\begin{enumerate}
	\item Construisons un arbre de probabilités traduisant la situation décrite dans l'énoncé .
	
	\medskip
	
	\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{\footnotesize 0,45}}
	  { 
		  \TR{$Rh^+$}\taput{\footnotesize 0,85}
		  \TR{$Rh^-$}\tbput{\footnotesize\np{0.15}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{\footnotesize 0,10}}
	  {
		  \TR{$Rh^+$}\taput{\footnotesize 0,84}
		  \TR{$Rh^-$}\tbput{\footnotesize \np{0.16}}
	  }
	\pstree{\TR{$AB$}\tbput{\footnotesize\np{0.03}}}
	  {
		  \TR{$Rh^+$}\taput{\footnotesize 0,82}
		  \TR{$Rh^-$}\tbput{\footnotesize \np{0.18}}
	  }	
	 \pstree{\TR{$O$}\tbput{\footnotesize \np{0.42}}}
	  {
		  \TR{$Rh^+$}\taput{\footnotesize 0,83}
		  \TR{$Rh^-$}\tbput{\footnotesize \np{0.17}}
	  }	 
}
\end{center}
	
	\item Calculons la probabilité d'interroger une personne de Rhésus négatif.
	
	
	$p(Rh^-)=p(A\cap Rh^-)+p(B\cap Rh^-)+p(AB\cap Rh^-)+p(O\cap Rh^-)$
	
	$p(Rh^-)=p(A)\times p_A(Rh^-)+p(B)\times p_B(Rh^-)+p(AB)\times p_{AB}(Rh^-)+p(O)\times p_O(Rh^-)$
	
	$p(Rh^-)=\np{0.45}\times \np{0.15}+\np{0.10}\times \np{0.16}+\np{0.03}\times \np{0.18}+\np{0.42}\times \np{0.17}=\np{0.1603}$
	
	La probabilité d'interroger une personne de Rhésus négatif est à $10^{-2}$ près $\np{0.16}$.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\emph{On admet dans la suite de cette partie que la probabilité d'être un donneur universel est de~{}\mathversion{bold}$0,07$.
}}
\end{center}

\item Lors d'une collecte de sang, $100$ étudiants se présentent pour faire un don.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de donneurs universels parmi ces $100$ étudiants. On admet que la loi de probabilité de $X$ est une loi binômiale.
	\begin{enumerate}
	\item X suit une loi binômiale de paramètres $n=100$ et $p=\np{0.07}$.
	\item Exprimons  l'espérance mathématique de $X$ notée $E(X)$. $E(X)=np=100\times \np{0.07}= 7$
	
  Cette valeur dans le contexte de l'exercice signifie que sur 100 personnes, nous avons, en moyenne, 7 donneurs universels.
	\item Calculons la probabilité d'avoir au moins $4$ donneurs universels.
	
	À la calculatrice, nous obtenons $p(X\geqslant 4)\approx \np{0.93}$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B - Intervalle de fluctuation et prise de décision}

\medskip

En France, on admet que la proportion $p$ de personnes de Rhésus négatif est $0,16$.

\medskip

Une enquête statistique est menée pour déterminer si la proportion de personnes de Rhésus négatif dans une certaine région française est identique à celle de la France.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de personnes de Rhésus négatif obtenue sur un échantillon de taille $200$.

\emph{\footnotesize On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est:} 

{\footnotesize $\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$}

$n=200>30,np=200\times \np{0.16}=32>5, n(1-p)=200\times \np{0.84}=168>5$

$I=\left[\np{0.16} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.16}\times(\np{0.84})}{200}}~;~\np{0.16} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.16}(\np{0.84})}{200}}\right]=[\np{0.11}~;~\np{0.21}]$.


\item Sur un échantillon aléatoire (assimilable à un tirage avec remise) de $200$ analyses de sang réalisées
dans des laboratoires de la région étudiée, on a observé $48$ personnes de Rhésus négatif.

Dans cet échantillon, la fréquence est $\dfrac{48}{200}=\np{0.24}$ .

Ce résultat nous amène à remettre en cause l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes de Rhésus négatif dans cette région est identique à celle de la France puisque la fréquence observée n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip
{\footnotesize
La présence de la bactérie \emph{Aeromonas hydrophila} provoque chez les grenouilles adultes la maladie 
 \og des membres rouges \fg, qui se traduit par des hémorragies et des ulcérations cutanées.

On admet que le nombre de bactéries présentes chez une grenouille atteinte par cette maladie, exprimé en milliers, peut être modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~7]$, par $f(t) = t + \text{e}^{2t+1}$.

où $t$ est le temps exprimé en heures. Les premiers symptômes apparaissent dès la présence de $8$~millions de bactéries.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculons une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $f(0)$
$f(0)=0+\e^{0+1}=\e \approx \np{2.718}$
 %puis en donner une interprétation concrète dans le cadre de l'exercice.
 
  $f(0)$ est le nombre de bactéries en milliers présentes chez une grenouille au début du relevé.
\item  Pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~7]$,\: $f'(t)=1+2\e^{2t+1}$.
\item Étudions d'abord le signe de $f'(t)$.

pour tout $t\in [0~;~7],\ f'(t)>0$  comme somme de réels strictement positifs.

Étudions maintenant le sens de variation de $f$ sur [0~;~7].

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[0~;~7[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Construisons  le tableau de variation de $f$ sur [0~;~7].
 
  \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}     \uput[u](7.73,2.45){$7$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$\e$}\uput[u](7.32,1.45){$7+\e^{15}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(7.3,1.55)
\end{pspicture}}
\end{center}

\item On écrit l'algorithme suivant:

\begin{center}\scalebox{0.7}{
\begin{tabular}{|l|}\hline
\emph{Initialisation}\\
\hspace{1cm} $t$ prend la valeur $0$\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur $2,718$\\
\emph{Traitement} :\\
\textbf{Tant que} $y\leqslant \np{8000}$ \\
	\hspace{1.2cm}\begin{tabular}{|l}
			$t$ prend la valeur $t + 1$\\
			$y$ prend la valeur $t + \text{e}^{2t+1}$
\end{tabular}\\
	\textbf{Fin Tant que}\\
\emph{Sortie}:	\\
Afficher $t$\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center}

La valeur affichée à la sortie de l'algorithme est $4$.

Cette valeur représente dans le contexte de l'exercice le temps nécessaire pour que le nombre de bactéries soit strictement supérieur à 8 millions
ou le temps nécessaire pour que les premiers symptômes apparaissent. 

\item La fonction $f$ étant strictement croissante sur [0~;~7] par conséquent le nombre de bactéries continuera de croître et ne redeviendra pas à une valeur inférieure à 8 millions entre quatre et sept heures. Il n'a pas été question de traitement.

\item On admet que le nombre moyen de bactéries présentes, exprimé en milliers, pendant les 7 premières heures est donné par :

\[\mathsf{N} = \dfrac{1}{7} \int_0^7 f (t)\,\textrm{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminons une primitive de $f$ sur $[0~;~7]$.
		
		$F(t)=\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}\e^{2t+1}$.		
		\item  $\displaystyle \mathsf{N}=\dfrac{1}{7}\int_0^7 f(t)\mathrm{d}t=\dfrac{1}{7}\Bigg[\dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}\e^{2t+1}\Bigg]_0^7= \dfrac{49+\e^{15}}{14}-\dfrac{1}{14}\e=\dfrac{\e^{15}-\e+49}{14}$.
		\item Une valeur approchée du nombre moyen de bactéries (arrondi à l'unité) présentes pendant les sept premières heures est \np{233504547}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

{\footnotesize
\medskip
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.

\emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.
}

\emph{Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.
}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip
{\footnotesize
Suite à la réalisation d'une enquête menée auprès des élèves d'un lycée agricole, on estime que le temps d'utilisation, en heures par semaine, de leur téléphone portable est une variable aléatoire $X$ distribuée suivant une loi normale dont la distribution est représentée ci-dessous.

On admet que la probabilité $P(X\leqslant 8)$, illustrée sur le graphique ci-dessous, est égale à $0,16$ (arrondie à $10^{-2}$
près).
}

\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=0.8cm,yunit=25cm,algebraic=true}
\def\xmin {1.4}   \def\xmax {18.6}
\def\ymin {-0.025} \def\ymax {0.22}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{10}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=100]{1}{19}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot{1}{8}{\f}
\psline(8,0)(1,0)
}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,comma,showorigin=true,ticksize=-3pt 4pt, Dx=1, Dy=0.04,Ox=10]{->}(10,0)(\xmin,-0.025)(\xmax,0.22)
\rput(9.73,-0.015){$10$}
\rput(9.75,0.01){$0$}
\end{pspicture*}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminons en utilisant le graphique :%et en justifiant votre réponse :
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un élève utilise son téléphone portable moins de $12$ heures par semaine.
		
		La courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, nous avons donc 

$p(X\geqslant12)=\np{0.16}$. Par conséquent 		$P(X\leqslant 12)=1-p(X\geqslant 12) =1-\np{0.16}=\np{0.84}$
		\item L'espérance de la variable aléatoire $X$.

 $E(x)=\mu$ donc $E(X)=10$, la courbe étant symétrique par rapport à la droite d'équation $x=10$
	\end{enumerate}
\item On admet que l'écart type $\sigma$ a de cette variable aléatoire est égal à $2$.

Des élèves de STAV ont conclu que $95\,\%$ des élèves du lycée utilisent leur portable entre $6$ heures et $14$ heures par semaine.

$p(6\leqslant X\leqslant 14)=p(\mu-2\sigma\leqslant x\leqslant \mu+2\sigma)\approx \np{0.95}$

Cette conclusion  semble pertinente.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
%\newpage
\begin{center}
\vspace{0,25cm}
\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\medskip
\end{center}

\textbf{EXERCICE 3 : QCM}

{\footnotesize
La courbe $\mathsf{C}_f$ ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0 ; 4]$.

On appelle $\mathsf{T}$ la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$.

L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathsf{C}_f$.
}
\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=3cm,yunit=1.2cm,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.3,-2.1)(4.3,6.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=1,showorigin=true,Ox=0,Oy=0]{->}(0,0)(-1,-2.1)(4.3,6.3)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,yunit=2.4cm](-1,-1)(5,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{0.0005}{4}{-2*x+ln(x)+5}

\psplot[plotpoints=2,linewidth=1pt]{0}{4}{-x+4}
\uput[l](3.6,-1.2){$\mathsf{C}_f$}
\uput[l](3.7,0.7){$\mathsf{T}$}
\rput(-0.14,0.12){$0$}
\rput(0.1,-0.34){$0$}
\end{pspicture*}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La limite de la fonction $f$ en $0$ est:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~$~impossible à déterminer}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~ 0$}\\
$\square~~-\infty$\hspace{-10.85mm}\ding{52}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~+\infty$}
\end{tabularx}

\bigskip

\item $f'(1)$ est égal à:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\square\ ~-1$\hspace{-9.1mm}\ding{52}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square\ ~ - 0,5$}&~\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square\ ~3$}~&\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square\ ~4$}
\end{tabularx}
\bigskip

\item On admet que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~4]$ par : $f(x) = -2x + \ln x + 5$.

Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;4]$ est définie par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
 \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~F(x) = - x^2 + \ln x + 5x$ }&$\square~~F(x) = - x^2 + x\ln x + 4x + 4$\hspace{-41.75mm}\ding{52} \\
\psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~F(x)=-x^2 + x\ln x$}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{$\square~~F(x)= - 2 + \dfrac{1}{x}$}
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{document}