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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Corrigé Métropole-Réunion}}
\rfoot{\small{ septembre 2016}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole-Réunion septembre 2016}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

L'annexe A est à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-4}$ \unboldmath  près.}

\medskip

La capacité respiratoire, exprimée en L, d’un individu âgé de 20 ans est une variable aléatoire X distribuée
selon la loi normale de moyenne $\mu = 3,6$ et d’écart-type $\sigma = 1,2$.

On dit que la capacité respiratoire d’un individu est :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] \textbf{Usuelle}, si elle est comprise entre \np[L]{1.2} et \np[L]{6} 
\item[$\bullet$]  \textbf{Exceptionnelle}, si elle dépasse \np[L]{6}.
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item  La courbe ci-dessous représente la courbe de GAUSS associée à la variable aléatoire $X$.

Le nombre \np{0.0228}, représentant l’aire grisée, est la probabilité que $X$ soit supérieure à 6 c'est-à-dire que la capacité respiratoire de l'individu soit exceptionnelle.
\end{enumerate}
\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psset{yAxis=false,xunit=1.667,yunit=20}
\begin{pspicture}(-1.1,-0.05)(8.24,0.35)
\psaxes[linewidth=1.05pt,]{->}(0,0)(-1.05,-0.1)(8.2,0.4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1.25pt]{-1.1}{8}{x 3.6 1.2 GAUSS}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.1pt](6,0)(6,0.04499)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=200]{6}{8}{x 3.6 1.2 GAUSS}
}
\psdot[dotstyle=SolidTriangle,dotscale=2](6,-0.001)\uput[r](6,0.005){\footnotesize\np{0.028}}
\end{pspicture}
}
\end{center}
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminons la valeur de $\emph{P}(1,2 \leqslant X \leqslant 6)$. 

À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $\emph{P}(1,2 \leqslant X \leqslant 6)\approx \np{0.9545}$. Ce nombre correspond à la probabilité que la capacité respiratoire d'un individu soit usuelle.

\item On considère maintenant un échantillon de 500 sportifs de 20 ans. On a constaté que parmi ces
sportifs, 37 avaient une capacité pulmonaire exceptionnelle soit une proportion de $\dfrac{37}{500}$ c'est-à-dire de \np{0.074}.

On suppose que la population des sportifs de 20 ans est suffisamment grande pour que cet
échantillon soit assimilé à un prélèvement avec remise.

\textbf{On rappelle que}, pour une fréquence $f$ obtenue sur un échantillon de taille $n$, l’intervalle de
confiance au niveau 0,95 de la proportion $p$ inconnue d’une population est :

\[\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}}~;~ f+1,96 \sqrt{\dfrac{f (1 - f )}{n}}\right]\]

Déterminons un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, de la proportion $p$ de sportifs de
20 ans ayant une capacité pulmonaire exceptionnelle.

$n>30 \qquad  np=500\times \np{0.074} =37>5 \qquad n(1-p)=500\times \np{0.926}=463>5$

\[\left[\np{0.074} -1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.074}(1-\np{0.074})}{500}}~;~ \np{0.074}+1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.074} (1-\np{0.074} )}{500}}\right]\approx[\np{0.0510}~;~\np{0.0969}]\]

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
L’association suisse Queduvent publie ce graphique qui représente l’intensité du bruit, en décibels (noté
dB), en fonction de l’éloignement, en mètres, de l’éolienne.
\medskip

\begin{center}
\scalebox{0.5}{
\includegraphics{eolienne}
}
\end{center}
\medskip
On peut lire également sur le site de cette association :
\begin{itemize}
\item[a)] Information 1 : À 300 m l’intensité est de \np[dB]{45} .
\item[b)] Information 2 : L’intensité du bruit diminue de \np[dB]{3}  à chaque fois que la distance double.
\end{itemize}
On considère, pour ce type d’éolienne, que l’intensité du bruit, en dB, en fonction de l’éloignement de
l’éolienne, en mètres, est modélisée par la fonction définie sur [1~;~\np{1200}] par $f(x) = 100 - 4,328\ln(1101x)$.
\smallskip

\textbf{Les résultats seront, si nécessaire, arrondis au dixième.}
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item  L’information 1 de l’association est correcte puisque $f(300)=45,0$ au dixième près.
\item Une étude médicale a montré, qu’à partir d’une intensité sonore régulière de plus de \np[dB]{40}, on pouvait être sujet à des troubles du sommeil.
\begin{enumerate}
\item  Résolvons par le calcul $f(x) \leqslant 40$ sur [1~;~1200].
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
100-\np{4.328}\ln(\np{1101}x)&\leqslant 40\\
\np{4.328}\ln(\np{1101}x)&\geqslant 100- 40\\
\ln(\np{1101}x)&\geqslant \dfrac{60}{\np{4.328}}\\
\e^{\ln(\np{1101}x)}&\geqslant\e^{ \tfrac{60}{\np{4.328}}}\\
\end{align*}
\begin{align*}
\phantom{xxx}\\
\np{1101}x&\geqslant \e^{\frac{60}{\np{4.328}}}\\
x&\geqslant \frac{\e^{\frac{60}{\np{4.328}}}}{\np{1101}}\\
 \frac{\e^{\frac{60}{\np{4.328}}}}{\np{1101}}&\approx \np{952.645}.\end{align*}
\end{multicols}

\item Pour ne pas être exposé à ce risque, il faut vivre à une distance de l’éolienne, arrondie au mètre, d'environ \np[m]{953}.
\item  Le tableau de valeurs est complété sur l’\textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
\item  Calculons pour $x$ non nul :

$f(x) - f(2x) = 100 - 4,328\ln (1101x) - [100 - 4,328\ln (1101 \times 2x)] = -4,328 \ln (1101x) + 4,328  \ln (1101 \times 2x)  =$

$ 4,328 \times \ln \left[\dfrac{1101\times 2x}{1101 x}  \right] = 
4,328 \ln 2 =  4,328 \times \ln 2 \approx  \np{2,99994}$~(dB).

Cela représente effectivement au dix-millième près une baisse de 3 dB à chaque fois que la distance double. L’information 2 de l’association  est correcte.
%D'après le tableau nous avons : $f(200)-f(100)=f(400)-f(200)=f(800)-f(400) =3 $
%
%$f(600)-f(300)=f(\np{1200})-f(600)=3 \quad f(\np{1000})-f(500)=3$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
En 2015, une entreprise de compostage a traité \np{4 200} tonnes de déchets verts. Cette entreprise souhaite
connaître l’évolution dans les années à venir de la quantité de déchets à traiter.

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
Elle fait appel à un organisme pour mener cette étude. Ce dernier affirme que la quantité de déchets verts à
traiter va augmenter de 11\,\% par an. On note $d_n$ la quantité
de déchets verts traitée l’année $2015 + n$ .

Sur la capture d’écran (ci-contre) d’un tableur, $d_2=\np{5174,82}$
et le nombre \np{8862} est, dans la troisième colonne, une valeur
approchée de la somme des deux premiers termes de la suite
$( d_n )$, \np{14036,82} la somme des trois premiers termes, etc. 
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.5cm}\begin{flushright}
  \begin{tabular}{|*{3}{c|}}
  \hline
  \rowcolor{lightgray} $n$&$d_n$&$\sum d_n$\\\hline
  0&\np{4200}&\np{4200}\\\hline
   \rowcolor{lightgray}1&\np{4662}&\np{8862}\\\hline
2&\np{5174.82}&\np{14036.82}\\\hline
\rowcolor{lightgray} 3&\np{5744.05}&\np{19780.87}\\\hline
4&\np{6375.90}&\np{26156.77}\\\hline 
\end{tabular}\end{flushright}
\end{minipage}
}

\begin{enumerate}
\item  La quantité, arrondie à la tonne, de déchets verts qui sera traitée en 2018 est $d_3$ soit en lisant le tableau \np{5744}.
\item À un taux d'évolution de $11\,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+\np{0.11}$ c'est-à-dire de \np{1.11}.
		 La suite $\left(d_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $d_0=\np{4200}$ et de raison $\np{1.11}$, nombre par lequel nous multiplions un terme de la suite pour obtenir le terme suivant. 
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$.

  $d_n  = \np{4200} \times (1,11)^n$ , pour tout entier $n$ .
\item Déterminons la première année pour laquelle la quantité de déchets traités sera supérieure à
\np{10000} tonnes. Pour ce faire, résolvons $\np{4200}\times (\np{1.11})^n\geqslant \np{10000}$.

\begin{multicols}{2} 
\begin{align*}
 (\np{1.11})^n&\geqslant \frac{\np{10000}}{\np{4200}}\\
 (\np{1.11})^n&\geqslant \frac{\np{50}}{\np{21}}\\
  \ln(\np{1.11})^n&\geqslant \ln\left(\frac{\np{50}}{\np{21}}\right)\\
 \end{align*}
  \begin{align*}
  \phantom{xxx}\\
 n\ln(\np{1.11})&\geqslant \ln\left(\frac{\np{50}}{\np{21}}\right)\\
 n&\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac{\np{50}}{\np{21}}\right)}{\ln(\np{1.11})}\\
\dfrac{\ln\left(\frac{\np{50}}{\np{21}}\right)}{\ln(\np{1.11})}&\approx \np{8.31}\\
 \end{align*}
\end{multicols}
La première année pour laquelle la quantité de déchets traités sera supérieure à
\np{10 000} tonnes est 2015+9 soit 2024.

\item On donne l’algorithme suivant :

\begin{center}
\scalebox{0.5}{\fbox{
\begin{minipage}[]{6.5cm}
\hspace{3em}\textbf{Variables :}

\hspace{5em} D, S réel

\hspace{5em} $i$ , N entier naturel

\hspace{3em} \textbf{Initialisation :}

\hspace{5em} Affecter à D la valeur \np{4 200}

\hspace{5em} Affecter à S la valeur \np{4 200}

\hspace{5em} Saisir la valeur de N

\hspace{3em} \textbf{Traitement :}

\hspace{5em} Pour $i$ allant de 1 à N

\hspace{6em} D prend la valeur $D \times1,11$

\hspace{6em} S prend la valeur S + D

\hspace{5em} Fin du Pour

 \hspace{3em}\textbf{Sortie :}
 
\hspace{5em} Afficher S
\end{minipage}}}
\end{center}
Cet algorithme, pour $N = 3$, calcule la somme des quantités de déchets verts traités entre 2015 et 2018.

\begin{tabular}[]{|*{6}{c|}}
\hline
$i$&0&1&2&3&\\\hline
D&\np{4200}&\np{4200}$\times$ \np{1.11}&\np{5174.8}&\np{5744.05}&\\\hline 
S&\np{4200}&\np{4200}+\np{4662}&\np{14036.82}&\np{19780.87}&\\\hline
\end{tabular}


\item  La valeur affichée par l’algorithme pour $N = 3$ est \np{19780.87}.
\item Déterminons la quantité totale de déchets traitée entre 2015 et 2024,arrondie à la tonne près.

En faisant fonctionner l'algorithme donné, pour N=9 nous obtenons, à la tonne près, \np{70232}. 

\emph {remarque : \footnotesize en 2024, $n=9$ nous aurions pu calculer la somme des termes de la suite géométrique c'est-à-dire $S_9= \np{4200}\times \frac{\np{1.11}^{10}-1}{\np{1.11}-1}$}




\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève et n’ajoute
pas de point.

Cocher, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.
}
\newpage

\begin{center}
ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hspace{1.5em}Question 3}  

Tableau de valeurs à $10^{-1}$ près

\renewcommand\arraystretch{1.5}
\bigskip

\begin{tabular}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}m{0.85cm}|} }
\hline
$x$ &100& 200& 300& 400& 500& 600 &700& 800& 900& \np{1 000} &\np{1 200}\\\hline
$f (x)$& 49,8& 46,8&\np{45.0}&\np{43.8}&\np{42.8}&\np{42.0}&\np{41.3}&\np{40.8}& 40,2& 39,8& 39\\\hline
\end{tabular}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\begin{enumerate}
\item   La droite d’équation $x = 5$ est asymptote à la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur
$]5~;~+\infty[$. Cette fonction $f$ est définie par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\square~~$}X}} 
\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$f(x)= \e^x + 5$}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$f(x) =\e^{-x} + 5$}& $\dfrac{\e^x}{x-5}$\hspace{-11.5mm}\ding{52}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{ $f(x)=\dfrac{\e^x}{x+5}$}
 \end{tabularx}
 
 \medskip

\item $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\left(\dfrac{\e^x}{x}\right)=$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\square~~$}X}} 
\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$-\infty$}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$0$}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{ $1$}&  $+\infty$\hspace{-9.8mm}\ding{52}
\end{tabularx}

\medskip

\item  Pour tout réel $x$, $\e^{2x}$ =

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\square~~$}X}} 
  \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$\e^2 \times \e^x$}& $(\e^x)^2$\hspace{-10.85mm}\ding{52}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$2\e^x$}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=1pt]{ $\e^2 + \e^x$}
 \end{tabularx}

\medskip

\item  La valeur exacte de $\displaystyle \int_0^1 \e^{2x}\mathrm{d}x$ est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\square~~$}X}} 
  $\dfrac{\e^2-1}{2}$\hspace{-12.85mm}\ding{52}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{$\dfrac{\e^2}{2}$}&\psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{ $1-\dfrac{\e^2}{2}$}& \psCancel[cancelType=s,linewidth=0.5pt]{ $\e^2-1$}
 \end{tabularx}
 
\medskip

\end{enumerate}
\end{document}