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%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole-Réunion -- Corrigé}}
\rfoot{\small{septembre 2018}}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}

\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STAV \\[5pt] Métropole-La Réunion septembre 2018}}
  \end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%La calculatrice est autorisée.
%
%\smallskip
%
%\textbf{Les annexes A et B sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
La masse en kg d'un lapin en fonction de l'âge $x$ exprimé en semaines est donnée par la fonction $f$ définie sur $[0,+\infty[$ par 
$f(x) = - 4,5\e^{-0,06 x} + 4,56$.

On désigne par $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, donnée en \textbf{annexe~A}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Aucune méthode n'est imposée pour les questions \textbf{1.a.} et \textbf{1.b.}, mais elle doit être expliquée.
\begin{enumerate}
\item  Un lapin est abattu le plus souvent à l'âge de 10 semaines.% Donner sa masse à \np[g]{100}  près.

Sa masse est donc en kilogrammes: $f(10)\approx 2,1$.

\item  L'éleveur a une commande d'un lapin de $\np[kg]{3,2}$. %À combien de semaines se fera l'abattage ?

D'après le graphique, le nombre de semaines sera autour de 20.

Vérification: $f(20) \approx 3,2$.

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  On calcule la limite de $f$ en $+\infty$.

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x \to +\infty} -0,06x = -\infty\\
\text{on pose } X = -0,06x\\
\ds\lim_{X \to -\infty} \e^{X} =0
\end{array}
\right \rbrace
\text{ donc }
\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{-0,06x} = 0
\text{ donc }
\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)= 4,56$

\item %Donner une interprétation de cette limite dans le contexte de l'exercice.
On peut donc dire que le poids limite d'un lapin est de $\np[kg]{4,56}$. 


\end{enumerate}

\item  On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item  Pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$, $f'(x)=-4,5\times (-0,06)\e^{-0,06x} + 0 = 0,27 \e^{-0,06x}$.
\item Pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$ donc $f'(x)>0$ sur  $[0~;~+\infty[$.

On en déduit que la fonction $f$ est croissante  sur  $[0~;~+\infty[$.

\item% Pouvait-on s'attendre au résultat de la question \textbf{3.b.} à partir du contexte de l'exercice ? Expliquer.
En vieillissant, le lapin grossit donc la fonction $f$ donnant la masse du lapin est croissante.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

%\medskip
%
%\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $\mathbf{10^{-3}}$ près.}

\smallskip

Une entreprise spécialisée dans la fabrication de tartes aux pommes, indique sur l’emballage de ses
produits, la mention \og au moins 50\,\% de fruits bio\fg.

Une étude statistique a établi que :

38\,\% des fruits livrés à l'entreprise sont \og bio\fg.

Parmi les fruits \og bio \fg, 95\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes.

Parmi les fruits \og non bio \fg, 45\,\% sont sélectionnés pour la fabrication des tartes.
\medskip

\textbf{Partie A}

On prélève dans le stock de l'entreprise un fruit au hasard, on note :
\begin{itemize}
\item[]$B$ l'événement : \og le fruit est bio \fg.
\item[] $S$ l'événement : \og le fruit est sélectionné pour la fabrication des tartes \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\naput{$0,38$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$0,95$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,38=0,62$}}
 	  {
 		  \TR{$S$}\naput{$0,45$}
          \TR{$\overline{S}$}\nbput{\blue $1-0,45=0,55$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item La probabilité que le fruit soit \og bio \fg{} et sélectionné pour la fabrication des tartes est

$P\left (B \cap S \right ) = P(B) \times P_{B}(S) = 0,38\times 0,95 = 0,361$.

\item D'après la formule des probabilités totales:

$P(S) = P\left (B \cap S \right ) + P\left (\overline B \cap S \right ) = 0,361 +  0,62\times 0,45 = 0,64$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que le fruit choisi soit \og bio\fg{} sachant qu'il est sélectionné pour la fabrication des tartes est
$P_{S}(B) = \dfrac{P(B \cap S)}{P(S)} = 	\dfrac{0,361}{0,64}\approx 0,564$.
		
		\item Parmi les fruits sélectionnés, il y a une probabilité de $0,564$ que le fruit soit bio, ce qui fait une proportion de $\np[\%]{56,4}$, donc la probabilité est en accord avec la mention indiquée sur l'emballage des tartes \og au moins 50\,\% de fruits bio \fg{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à la masse en grammes des tartes fabriquées.
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tarte prélevée au hasard dans la chaîne de
fabrication, associe sa masse exprimée en grammes.
On admet que $X$ est distribué suivant la loi normale de paramètres $\mu = 500$ et $\sigma = 4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un premier temps, l'entreprise ne commercialise que les tartes dont la masse est comprise entre $496$ et $504$ grammes.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que $P(X \leqslant 496) = 0,159$. L'aire correspondant à cette probabilité est hachurée sur le graphique donné en annexe B.
		
		\item $P(496 \leqslant X \leqslant 504) = P(\mu - \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx 0,683$.
		
Le pourcentage de tartes conformes est donc de $68,3$.
		
		% , et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item L'entreprise se rend compte qu'elle rejette trop de tartes. Elle décide d'assouplir ses règles de
commercialisation et accepte à présent les tartes dont la masse est comprise entre $492$ et $508$
grammes.

La probabilité que la tarte soit commercialisée avec cette nouvelle règle est donc

 $P(492 \leqslant X \leqslant 508) = P(\mu - 2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma) \approx 0,954$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans la chaîne de production fonctionnant normalement, 6\,\% des tartes ne sont pas commercialisées. Le responsable de la chaîne souhaite savoir s'il est nécessaire de procéder à un réglage de cette dernière.
Pour cela, il prélève au hasard 230 tartes. La production est suffisamment importante pour que le choix des 230 tartes puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de tartes non commercialisées obtenue sur un échantillon de taille $230$ est $[0,029~;~0,091]$.
On fait l'hypothèse que 6\,\% des tartes ne sont pas commercialisées, ce qui fait une proportion de $p=0,06$. On va tester cette hypothèse sur un intervalle de taille $n=230$ au moyen d'un intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$.

C'est légitime car $n=230 \geqslant30$, $np=13,8 \geqslant 5$ et $n\left (1-p\right ) = 216,2 \geqslant 5$.

$I_{230} = \left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\,;\,p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\right ]\\[5pt]
\phantom{I_{230}}
= \left [ 0,06-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{230}}\,; \,0,06+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{230}}\right ]
\approx \left [ 0,029\,;\,0,091\strut\right ]$

\item Sur l'échantillon de $230$ tartes prélevées, $16$ tartes ne sont pas commercialisées ce qui fait une fréquence dans l'échantillon de $f=\dfrac{16}{230} \approx 0,070$.

Cette fréquence dans l'échantillon appartient à l'intervalle $I_{230}$ donc il n'y a pas lieu d'envisager un réglage de la machine, au risque de 5\,\% de se tromper.

%Le responsable doit-il envisager un réglage de la chaîne de production ?
\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip

Dans un département, on a recensé les élèves de bac STAV (filles et garçons) suivant quatre options.
\begin{itemize}
\item Option AE (Aménagement et Environnement)
\item Option T (Transformation)
\item Option STE (Sciences et technologies des équipements)
\item Option SMR (Services en milieu rural)
\end{itemize}
Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves en fonction de l'option choisie :

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering\arraybackslash \small}X|}}\hline
\diagbox [width=3cm]{Sexe}{Option}&AE &T& STE& SMR&Total\\\hline %,trim=l
Fille &39& 17& 34 &54& 144\\\hline
Garçon &42& 28& 45& 10& 125\\\hline
Total& 81& 45& 79& 64& 269\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Dans le tableau donné en \textbf{annexe B}, expliquer comment on a obtenu la valeur 0,57.
Dans le tableau, pour le profil STE, il y a 45 garçons pour 79 élèves, ce qui fait 
$\dfrac{45}{79}\approx 0,57$.

\item On complète le tableau donné en \textbf{annexe B}.

Pour AE: $\dfrac{39}{81}\approx 0,48$ et $\dfrac{42}{81}\approx 0,52$.
Pour SMR: $\dfrac{54}{64}\approx 0,84$ et $\dfrac{10}{64}\approx 0,16$.

\item %Exploiter les résultats obtenus pour déterminer s'il y a dépendance ou indépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves. Justifier.
Il y aurait indépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves s'il y avait la même proportion de filles (ou de garçons) dans chaque option.

Pour T il y a 38\,\% de filles et pour STE, il y en a 43\,\%. Donc il y a dépendance entre l'option choisie et le sexe des élèves.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

%\medskip
%
%\textbf{ VRAI ou FAUX}
% 
%Dans cet exercice, les questions sont indépendantes.
%
%Pour chacune des affirmations, préciser si elles sont vraies ou fausses. Justifier la réponse.
%
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève pas de
%point.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $( u_n )$  définie par   $u_0 = 10$ et pour tout $n$,
$u_{n +1} =0,9 u_n$.

Ci-dessous un même algorithme est programmé à l'aide de deux calculatrices différentes :

\begin{tabular}[]{|l|m{3cm}|l|}
\multicolumn{1}{l}{Calculatrice 1}&\multicolumn{1}{l}{} &\multicolumn{1}{l}{Calculatrice 2}\\
\cline{1-1} \cline{3-3}
PROGRAM: ALGO&&=====ALGO\\
:$10\rightarrow U$&&$10\rightarrow U$:$0\rightarrow N $\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$0\rightarrow N$&& While $U>5$ \rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:While $U>5$&&$0.9U\rightarrow U$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$0.9*U\rightarrow U$&&$N+1\rightarrow N$\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:$N+1\rightarrow N$&&WhileEnd\rotatebox[origin=c]{180}{$\Rsh$}\\
:End&&$N$\\
:Disp $N$&&\\
\cline{1-1} \cline{3-3}
\end{tabular}

\smallskip

(N est la valeur affichée lorsque le programme a été exécuté.)

On lance le programme de la calculatrice une fois. $N$ est alors affiché.

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 }:
Pour cette valeur de $N$, $u_N >5$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Dans l'algorithme, la boucle tourne tant que $u_n>5$ donc on sort dès que $u_n \leqslant 5$.

\textbf{Affirmation 1 fausse.}  
\end{tabular}
\item On note  $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère \Oij

\textbf{Affirmation 2 }:
L'équation de la tangente à  $\mathcal C_f$ au point d'abscisse 1 est : $y = x -1$.

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
La tangente au point d'abscisse $a$ a pour équation
$y=f'(a)\left (x-a\right ) + f(a)$.

$f(x)=\ln(x)$ donc $f(1) = \ln(1)=0$, et $f'(x)=\dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=1$.

L'équation est donc $y=1\left (x-1\right ) + 0$ soit $y=x-1$.

\textbf{Affirmation 2 vraie.}  
\end{tabular}

\medskip

\item Une urne contient 13 boules noires et 7 boules blanches. On procède à un tirage avec remise de
5 boules. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches extraites lors de ces
5 tirages.

\textbf{Affirmation 3 }:
$P(X = 3) < P(X = 4)$

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Sur 20 boules, il y en a 7 blanches, donc, lors d'un tirage d'une boule, la probabilité d'obtenir une boule blanche est $p=\dfrac{7}{20}=0,35$.

On procède à un tirage avec remise de 5 boules donc  la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de boules blanches extraites lors de ces 5 tirages suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,35$.

Pour $k$ entier entre 0 et 5, $P(X=k) = \ds\binom{5}{k} p^k \left (1-p\right )^{n-k}$ donc:

$P(X=3) = \ds\binom{5}{3} \times 0,35^3  \times 0,65^{2} \approx 0,18$
et
$P(X=4) = \ds\binom{5}{4}  \times 0,35^4  \times 0,65^{1} \approx 0,05$

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 fausse.}  
\end{tabular}

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1}}
 
 \vspace{1.25cm}
 \begin{center}
Courbe représentative de la fonction $f$
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(0,00)(47,5)
 \multido{\n=0+1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,4.7)}
  \multido{\n=0+0.1}{48}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(47.0,\n)}
  \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Dy=0.5]{->}(0,0)(47,4.8)
   \def\Func{2.71828 x 0.06 neg mul  exp 4.5 neg mul 4.56 add}
   %\def\Func{x 0.06 mul neg    2.71828 exp 4.5 neg mul 4.56 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{47}{\Func}
  \uput[u](42,0){ Nombre de semaines}
   \uput[d](45,4.2){\blue $\displaystyle \mathcal C_f$}
  \uput[ur](0,4.5){masse du lapin en kg} 
\psset{linecolor=red}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=3pt 2](10,0)(10,2.1)(0,2.1)
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,arrowsize=3pt 2](0,3.2)(19.9,3.2)(19.9,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 :}

\bigskip

\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=0.75cm,yunit=49.5cm,labelFontSize=\small,comma=true}
\begin{pspicture}(-10.5,-0.002)(13,0.13)
\multido{\n=-10+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,0.12)}
\multido{\n=0+0.02}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-11,\n)(12.5,\n)}
  \uput[d](0,-0.005){$\small 500$}
  \psaxes[linewidth=0.95pt,Ox=500,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-11,-0.005)(12.3,0.13)
  
\def\inf{-11} \def\sup{-4}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psGauss[mue=0,sigma=4]{\inf}{\sup}
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}
 \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=0,sigma=4]{-11}{12}

\end{pspicture}
}% fin du scalebox

\vspace{3cm}

EXERCICE 3 :

\vspace{1cm}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}|}}\hline
\diagbox[height=4\line]{Sexe}{Option}& Profil\newline colonne\newline AE 
                 & Profil\newline colonne\newline T
                 & Profil\newline colonne\newline STE 
                 & Profil\newline colonne\newline SMR 
                 & Profil\newline colonne\newline marginal\\
\hline
Fille&\textcolor{blue}{0,48} &0,38& 0,43& \textcolor{blue}{0,84}&0,54\\\hline
Garçon&\textcolor{blue}{0,52} &0,62& 0,57& \textcolor{blue}{0,16}&0,46\\\hline
Total& 1& 1 &1& 1& 1\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}p{1.5cm}|}}\hline
%\diagbox[height=4\line]{Sexe\\~}{~\\Option}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\AE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\T}& \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\STE} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\SMR} & \parbox{1.3cm}{\centering Profil\\colonne\\marginal}\\
%\hline
%Fille& &0,38& 0,43& &0,54\\\hline
%Garçon& &0,62& 0,57& &0,46\\\hline
%Total& 1& 1 &1& 1& 1\\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
\end{document}