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%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength{\parskip}{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane-Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Antilles-Guyane-Polynésie septembre 2020 -- Corrigé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%La calculatrice est autorisée.
%
%\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{\large Exercice 1} \hfill  7 points}

%\medskip
%\begin{center}
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes}
%\end{center}
%\medskip
%
%On donnera les résultats arrondis si nécessaire à $10^{-3}$ près.

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

L'équipe \og recherche et développement\fg{} d'une entreprise souhaite créer un nouveau modèle de paire de lunettes de réalité augmentée.
On lance une fabrication test pour laquelle on estime que 5\,\% des paires de lunettes présentent un défaut. On prélève alors au hasard 12 paires de lunettes.
On suppose que la fabrication est suffisamment importante pour considérer indépendant le choix des 12 lunettes. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de paires de lunettes défectueuses.

\begin{enumerate}
\item  %Justifier que $X$ est distribuée selon une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Pour chaque paire de lunettes, on n'a que deux choix possibles: elle est défectueuse avec une probabilité de $p=0,05$, ou elle n'est pas défectueuse avec une probabilité de $1-p=0,95$.

On prélève au hasard 12 paires de lunettes de façon indépendante.

La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de paires de lunettes défectueuses parmi les 12 suit donc la loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0,05$.

\item La probabilité de n'avoir aucune paire de lunettes défectueuse est:

$P(X=0)=\ds\binom{12}{0}\times 0,05^{0}\times 0,95^{12} \approx 0,540$.

\item L'espérance de $X$ est: $E(X)=np=12\times 0,05 = 0,6$. %Interpréter le résultat dans le cadre de cet énoncé.

Il y a donc en moyenne, $0,6$ paire défectueuse sur un lot de 12.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE 2}

\medskip

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à toute paire de lunettes de réalité augmentée, prélevée au hasard dans la production, associe son autonomie en minutes. On admet que $Y$ est distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu = 420$ et d'écart-type $\sigma =10$.

\begin{enumerate}
\item  La probabilité qu'une paire de lunettes ait une autonomie de moins de 400~min est:\\
$P(Y<400)\approx 0,023$.

\item On dit qu'une paire de lunettes est suffisamment performante si son autonomie se situe entre 400 et 440 minutes. 

La probabilité qu'une paire de lunettes soit suffisamment performante est:\\
$P(400 \leqslant Y \leqslant 440) \approx 0,954$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE 3}

\medskip

Le service après-vente de l'entreprise constate que, sur l'ensemble de la production, 15\,\% des paires de lunettes sont retournées dans la première année.

%On rappelle que : pour une proportion connue $p$ dans une population, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :
%
%\[I_f=\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\]

\begin{enumerate}
\item La proportion de paires de lunettes retournées est $p=0,15$; on peut donc établir l'intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence des paires de lunettes retournées dans la première année pour un échantillon de taille $n$:

$I_f =\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\\
\phantom{I_f}
= \left[0,15 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{n}}~;~0,15 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,15\times 0,85}{n}}\right]\\
\phantom{I_f}
= \left[0,15 - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0,1275}}{n}}~;~0,15 + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0,1275}}{n}}\right]$.

\item Dans un des magasins, un revendeur remarque que, pour son magasin, sur 600 paires de lunettes vendues, il doit en retourner 100 au service après-vente au cours de la première année.

Pour $n=600$, l'intervalle de fluctuation est donc:

$I_f = \left[0,15 - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0,1275}}{600}}~;~0,15 + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0,1275}}{600}}\right]
\approx \left [ 0,121~;~0,179 \strut\right ]$.

La fréquence de retours est de $f=\dfrac{100}{600} \approx 0,167$.

$f \in I_f$ donc on peut estimer que ce magasin est représentatif du nombre de retours au service après-vente de l'entreprise.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{\large Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip

La production mensuelle d'une autre entreprise de lunettes varie entre \np{1000} et \np{9000}  pièces.

La fonction $f$ est définie sur [1~;~9] par :
$f(x)=-x^2+ 14x- 13- 12\times  \ln(x)$
où $\ln$ est la fonction logarithme népérien.

$f$ représente le bénéfice mensuel en dizaine de milliers d'euros pour la vente de $x$ milliers de lunettes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f'$  la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [1~;~9]. %Pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~9], on calcule $f'(x)$ puis prouver que $f'(x)$ peut s'écrire:
%
%\[f'(x)=\dfrac{-2(x - 1)(x-6)}{ x}\]

$f'(x)= -2x+14-12\times \dfrac{1}{x} = \dfrac{-2x^2 +14x -12}{x}$

On développe: $-2(x-1)(x-6)= -2(x^2 - x - 6x + 6) = -2(x^2 - 7x + 6) = -2x^2 + 14x - 12$.

Donc $f'(x)=\dfrac{-2(x - 1)(x - 6)}{x}$.

\item On détermine le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~9]:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 6 & \esp  & 9 \\
\hline
-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} &   \\
\hline
x-1 & 0  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x-6 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) & 0 & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item $f(1)= -1+14-13-0 = 0$; $f(6)=-36 + 84 - 13 - 12 \ln(6) = 35 - 12\ln(6)$ et\

 $f(9)= -81 + 126 - 13 - 12\ln(9)= 32 - 12\ln(9)$

On en déduit le tableau de variations de $f$ sur [1~;~9]. %On précisera les valeurs exactes de $f (1$), de $f (6)$ et de $f (9)$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & 6 & \esp & 9 \\ 
\hline
f'(x) &  0 &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{35-12\ln(6)}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{32-12 \ln(9)} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

\item Le nombre de pièces à vendre pour réaliser un bénéfice maximal est donc de 6 milliers.

La valeur de ce bénéfice est, en dizaines de milliers d'euros, de
$f(6) = 35-12 \ln(6) \approx \np{13,4989}$
soit environ $\np{134989}$~euros.

%Préciser la valeur de ce bénéfice arrondi à l'euro près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{\large Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

Dans une région montagneuse, le syndicat de la filière caprine a mis en place des actions pour promouvoir l'élevage de chèvres.
Par conséquent, il a été observé une augmentation du cheptel de chèvres de 2\,\% par an.
En 2017, le cheptel de chèvres dans cette région est évalué à \np{6 000} têtes.
On suppose que cette évolution se poursuit dans les années qui suivent.

On note $u_0$ le nombre de chèvres en 2017, $u_n$ le nombre de chèvres l’année ($2017 n$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le nombre de têtes en 2018 puis en 2019.
Le nombre de têtes en 2018 est: $\np{6000} + \np{6000}\times \dfrac{2}{100} = \np{6120}$.

Le nombre de têtes en 2019 est: $\np{6120} + \np{6120}\times \dfrac{2}{100} \approx \np{6242}$.

\item% Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Ajouter 2\,\%, c'est multiplier par $1+\frac{2}{100}=1,02$; donc on passe du nombre de têtes l'année $n$ au nombre de têtes l'année $n+1$ en multipliant par $1,02$.

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{6000}$.

\item On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}

\fbox{
\begin{minipage}[]{0.4\textwidth}
\textbf{Variables :}

N est du type nombre entier naturel

U est du type nombre réel

\smallskip

\textbf{Initialisation :}

N prend la valeur $0$

U prend la valeur \np{6000}

\smallskip

\textbf{Traitement :}

Tant que U < \np{8 000}

\hspace{1.5em}N prend la valeur N + 1

\hspace{1.5em}U prend la valeur U $\times$ 1,02

Fin tant que

\smallskip

\textbf{Sortie :}

Afficher 2017 + N
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Expliquer ce que réalise cet algorithme dans le contexte de cet exercice.
Cet algorithme donne la première année pour laquelle le nombre de chèvres sera supérieur ou égal à \np{8000}.

\item %Par la méthode de votre choix que vous préciserez, donner la valeur affichée par cet algorithme.
La suite $(u_n)$ est  géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{6000}$ donc, pour tout $n$, on a: $u_n=u_0\times 1,02^n$.

On va chercher $n$ pour que $u_n\geqslant \np{8000}$.

Par essais successifs: $u_{14}\approx \np{7917} < \np{8000}$ et $u_{15}\approx \np{8075}\geqslant \np{8000}$.

Donc la valeur affichée en fin d'algorithme est $2017+15$ soit 2032.



\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{\large Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et soit $f'$ sa fonction dérivée.

Sa courbe représentative  $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-après.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

La droite T est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse 3.

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.

À l'aide du graphique et en justifiant la démarche adoptée :

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'image de 3 par la fonction $f$ est 2 (voir graphique).

\item %Déterminer la valeur de $f'(3)$    .
La tangente T passe par le point B de coordonnées $(3~;~2)$, et par le point C de coordonnées $(5~;~0)$.

Le coefficient directeur, $f'(3)$, de cette droite est égal à
$\dfrac{0-2}{5-3}= -1$; donc $f'(3)=-1$.

\item La courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$, donc la limite de $f(x)$   quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à 0.

\item Les intervalles pour lesquels $f'(x)\leqslant 0$, sont les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante: c'est-à-dire l'intervalle $[2~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%Graphe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ (exercice 4):
%\end{center}
%\setlength\parindent{-15mm}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(9,4.2)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-1.2)(\n,4.2)}
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%%%%%
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowscale=2](3,0)(3,2)(0,2)
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\end{pspicture}

\end{document}