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%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S.T.A.V. \\[5pt]Métropole--La Réunion septembre 2019}}
\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]- 2~;~+\infty[$ dont les variations sont données dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l *5{c} c|}
\hline
 x & -2 & \esp & -1 & \esp & 4 & \esp & +\infty \\
 \hline
%f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
  & \;\vline\;\vline &  & \Rnode{max1}{3} & & & &  \Rnode{max2}{+\infty} \\
\shortstack{Variations\\[3pt]de $f$} & \;\vline\;\vline &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \;\vline\;\vline\;\Rnode{min1}{-\infty} & & & & \Rnode{min2}{-1} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La valeur de $f'(-1)$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $3$ &$\square$~~ $4$&$\blue\boxtimes$~~$0$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
En $x=-1$, la fonction $f$ admet un maximum donc la fonction dérivée $f'$ s'annule et change de signe: $f'(-1)=0$.
\end{tabular}

\medskip

\item La courbe représentative de $f$ admet pour asymptote la droite d'équation :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $x = -1$ &$\square$~~ $y = 3$&$\blue\boxtimes$~~$x = -2$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
D'après le tableau de variations, 
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\x>-2}} f(x) = -\infty$ donc la droite d'équation $x=-2$ est asymptote verticale à la courbe représentant la fonction $f$.
\end{tabular}

\medskip

\item Le nombre de solution(s) de l'équation $f(x)= 0$ dans l'intervalle $] - 2~;~+\infty[$ est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $0$ &$\square$~~ $1$&$\blue\boxtimes$~~$3$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
On utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur l'intervalle $]-2~;\, -1]$, la fonction $f$ passe d'une valeur négative à une valeur positive donc l'équation $f(x)=0$ a une unique solution sur cet intervalle.
\item Sur l'intervalle $[-1~;\, 4]$, la fonction $f$ passe d'une valeur positive à une valeur négative donc l'équation $f(x)=0$ a une unique solution sur cet intervalle.
\item Sur l'intervalle $[4~;\, +\infty[$, la fonction $f$ passe d'une valeur négative à une valeur positive donc l'équation $f(x)=0$ a une unique solution sur cet intervalle.
\end{list}

L'équation $f(x)=0$ admet donc 3 solutions dans l'intervalle  $] - 2~;~+\infty[$.
\end{tabular}

\medskip

\item  Dans l'intervalle $] - 2~;~+\infty[$ , l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \leqslant 0 $ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}m{4cm}}
$\square$~~ $] - \infty~;~0]$ &$\square$~~$[-1~;~3]$  &$\blue\boxtimes$~~$[-1~;~4]$& $\square$~~ on ne peut pas savoir.
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace{0.05\linewidth}}|p{0.93\linewidth}}
Le plus grand ensemble sur lequel la fonction $f$ est décroissante est $[-1~;~4]$.
\end{tabular}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près si nécessaire.}

Dans un verger, on a planté deux variétés anciennes d'abricotiers : la variété Ampuis et la variété Beaugé.

Pour la commercialisation des abricots, le diamètre du fruit doit être supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.

On a constaté que :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 35\,\% des abricots sont de la variété Ampuis.
\item Parmi les abricots de la variété Ampuis, 75\,\% ont un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.
\item Parmi les abricots de la variété Beaugé, 65\,\% ont un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}.
\end{list}

 On choisit un abricot au hasard. On considère les évènements suivants :
 \begin{description}
\item[] $A$ : \og l'abricot choisi est de la variété Ampuis \fg.
\item[] $C$ : \og l'abricot choisi a un diamètre supérieur ou égal à \np[cm]{2,5}\fg.
\end{description}

\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On traduit cette situation à l'aide d'un arbre pondéré de probabilités:

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$A$}\naput{$0,35$}}
 	  { 
 		  \TR{$C$}\naput{$0,75$}
 		  \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,75=0,25$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$B$}\nbput{\blue $1-0,35=0,65$}}
 	  {
 		  \TR{$C$}\naput{$0,65$}
          \TR{$\overline{C}$}\nbput{\blue $1-0,65=0,35$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item $p\left(A\cap \overline{C}\right) = p(A)\times p_{A}\left (\overline{C}\right )
= 0,35\times 0,25 = \np{0,0875}$
\item D'après la formule des probabilités totales:

 $p\left(\overline{C}\right) = p\left(A \cap \overline{C}\right) + p\left(B \cap \overline{C}\right) 
 = \np{0,0875} + 0,65\times 0,35 = \np{0,0875} + \np{0,2275} = 0,315$.
\item Sachant que l'abricot choisi a un diamètre inférieur à \np[cm]{2,5}, la probabilité que l'abricot soit de la variété Ampuis est
$p_{\overline{C}}(A)= \dfrac{p\left(A \cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}
= \dfrac{\np{0,0875}}{0,315} \approx \np{0,2778}$.

\item Les évènements $A$ et $\overline{C}$ sont indépendants si et seulement si
$p\left (A\cap \overline{C}\right ) = p(A) \times p\left (\overline{C}\right )$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $p\left (A\cap \overline{C}\right ) = \np{0,0875}$
\item $p(A) \times p\left (\overline{C}\right ) = 0,35 \times 0,315 = \np{0,11025}$
\end{list}

$p\left (A\cap \overline{C}\right ) \neq p(A) \times p\left (\overline{C}\right )$ donc les évènements $A$ et $\overline{C}$ ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève dans la population d'abricots, au hasard et successivement, 25 abricots. La population est assez grande pour que ces prélèvements soient considérés comme indépendants les uns des autres.
La probabilité qu'un abricot ne soit pas commercialisable est de 0,315 .

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre d'abricots non commercialisables.
\begin{enumerate}
\item % Montrer que $X$ est distribuée selon une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'expérience consiste à extraire un abricot et il y a deux issues: il n'est pas commercialisable, avec une probabilité de $p=0,315$, ou il est commercialisable, avec une probabilité de $1-p=1-0,315 = 0,685$.
\item On répète cette expérience dans les mêmes conditions en effectuant $n=25$ prélèvements indépendants.
\end{list}

On en déduit que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre d'abricots non commercialisables suit la loi binomiale de paramètres $n=25$ et $p=0,315$.
\item La probabilité qu'exactement 4 abricots ne soient pas commercialisables est:

$p(X=4) = \displaystyle\binom{25}{4}\times 0,315^{4}\times (1-0,315)^{25-4}\approx \np{0,0441}$

\item $E(X)=np=25\times 0,315 = 7,875$

En moyenne, il y a donc environ 8 abricots non commercialisables par lot de 25.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip

Dans un bassin naturel, le lagunage peut être assuré par des plantes épuratives telles que la jacinthe d'eau.

Un test a été réalisé dans un bassin naturel : le premier jour de chaque mois, on mesure la concentration
d'algues vertes dans ce bassin. Au 1\up{er} janvier 2018, la concentration est de \np[mg/L]{102}. On a introduit à cette
même date des jacinthes d'eau. La concentration diminue tous les mois de 3\,\%.

On appelle  $u_n$ la concentration en algues vertes $n$ mois après l'introduction des jacinthes d'eau.

On a donc  $u_0 =102$.

\begin{enumerate}
\item  La concentration d'algues vertes dans ce bassin au 1\ier{} février 2018, c'est-à-dire au bout d'un mois, est en mg/L de
$102-\dfrac{3}{100}\times 102 = 98,94$.

\item% Justifier que  $u_n =102\times 0,97^{n}$.
Diminuer de 3\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{3}{100\rule[-3pt]{0pt}{0pt}} = 0,97$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,97$ et de premier terme $u_0=102$.

On en déduit que pour tout $n$, on a $u_n=u_0\times q^n = 102 \times 0,97^{n}$. 

\item On estime que l'objectif est atteint par le lagunage quand la concentration en algues vertes est strictement inférieure à \np[mg/L]{80}.

On complète l'algorithme fourni en annexe  qui détermine le nombre de mois nécessaires pour que le lagunage atteigne l'objectif pour ce bassin:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{ll}
Variables :& N est de type nombre entier\\
&U est de type nombre réel\\
~&\\
Initialisation :& N prend la valeur 0\\
&U prend la valeur {\blue 102}\\
~&\\
Traitement :& Tant que U $\geqslant 80$\\
& \hspace*{1cm} N prend la valeur N + 1\\
& \hspace*{1cm} U prend la valeur {\blue $\text{U} \times 0,97$}\\
&Fin Tant que\\
~&\\
Sortie :& Afficher N\\
\end{tabular}
}
\end{center}

\item% Déterminer la date ainsi obtenue pour atteindre l'objectif par la méthode de votre choix que vous expliquerez.
À la calculatrice, on trouve $u_7 = 102 \times 0,97^7 \approx 82,4$ et $u_8 = 102 \times 0,97^8 \approx 79,9$; la valeur de N en sortie d'algorithme est donc 8. Le mois numéro 0 est janvier, donc le mois numéro 8 est septembre; c'est donc au 1\ier{} septembre que l'objectif sera atteint.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

Un laboratoire teste l'efficacité d'un nouveau désodorisant d'intérieur bio, à diffusion lente, fabriqué avec 99,9\,\% de produits naturels. La fonction $g$ modélise le taux d'efficacité du désodorisant (en pourcentage) en fonction du temps $t$ exprimé en heures.

$g$ est définie sur [0~;~24] par 
$g(t)= 50 t \e^{-0,5t+1}$.

\begin{enumerate}
\item  La courbe  $\mathcal{C}_g$ , donnée en annexe est la représentation graphique de $g$ dans un repère orthogonal. %À l'aide de cette courbe, sur laquelle les traits de construction resteront apparents :
		\begin{enumerate}
		\item  D'après le graphique,  le taux d'efficacité est maximal et vaut 100\,\% pour $t=2$ donc au bout de 2 heures.
%		Donner alors sa valeur.
		\item Le désodorisant est considéré comme efficace lorsque le taux d'efficacité est supérieur ou égal à 40\,\%. Il est commercialisable lorsqu'il est considéré comme efficace pendant 5 heures	et demie ou plus.

D'après le graphique, l'efficacité est supérieure à 40\,\% sur l'intervalle $[0,4~;\,6]$ (environ), ce qui fait une durée de plus de 5 heures et demie; le déodorant est donc commercialisable.

%		Vérifier si ces deux conditions sont réalisées et donc si le désodorisant est commercialisable.
		\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
		\item  %Montrer que pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24], $g '(t)= (50 - 25t)\e^{-0,5t+1}$ .
Pour tout $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~24], \\
$g '(t)= 50\times \e^{-0,5t+1} + 50t \times (-0,5)\e^{-0,5t+1} = (50 -25t)\e^{-0,5t+1}$.
				
		\item  Pour tout $t$, $\e^{-0,5t+1}>0$ donc le signe de $g'(t)$ est celui de $50-25t$:
		
$50-25t>0 \iff 50>25t \iff 2>t \iff t<2$

D'où le tableau de signe de $g'(t)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
t  & 0 & \esp & 2 & \esp  & 24 \\
\hline
g'(t) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\end{center}
		
		\item %  Construire le tableau de variation de $g$ sur [0~;~24].
$g(0)=0$, $g(2) = 50\times 2 \times \e^{0}=100$ et $g(24) = 50\times 24\times \e^{-11}\approx 0,02$

On construit le tableau des variations de $g$ sur [0~;~24]:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
t & 0  & \esp & 2 & \esp & 24 \\ 
\hline
g'(t) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{100}  &  &   \\  
g(t) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\approx 0,02} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}		
		
		\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
		\item  $g( 0,5) = 50\times 0,5\times \e^{0,75}\approx 52,9$ et $g(6) = 50\times 6\times \e^{-2}\approx 40,6$
		\item %Justifier alors, par le calcul, que les deux conditions données à la question textbf{1.~ b.} sont bien 	réalisées.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item D'après le tableau de variations de $g$, si $0,5 \leqslant t \leqslant 2$, alors $g(0,5) \leqslant g(t) \leqslant g(2)$; cela veut dire que $52,9 \leqslant g(t) \leqslant 100$.

Donc pour tout $t$ de $[0,5~;\, 2]$, on a $g(t) >40$.
\item D'après le tableau de variations de $g$, si $2 \leqslant t \leqslant 6$, alors $g(2) \geqslant g(t) \geqslant g(6)$; cela veut dire que $100 \geqslant g(t) \geqslant 40,02$.

Donc pour tout $t$ de $[2~;\, 6]$, on a $g(t) >40$.
\item On déduit que pour tout $t$ de $[0,5~;\, 6]$, on a $g(t) >40$.

\item De plus, $6-0,5=5,5$.
\end{list}		
		
On peut donc dire que les deux conditions données à la question textbf{1.~ b.} sont bien réalisées.	
		
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE C} (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\begin{center}

Courbe  $\mathcal{C}_g$


\psset{xunit=0.78cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin}
\begin{pspicture}(-1,-10)(17,115)
\multido{\n=0+0.5}{34}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-5)(\n,110)}
\multido{\n=-5+5}{24}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-0.7,\n)(16.70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10,]{->}(0,0)(0,0)(16.68,110)
\def\Func{2.71828 x 0.5 neg mul 1 add  exp x 50 mul mul }
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{\Func}
 \uput[d](14.5,-5){ temps en heures}
\uput[r](0,107){Taux d'efficacité(\%)} 
%%%%%% Corrigé
\psset{arrowsize=3pt 2}
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->](0,100)(2,100)
\psline[linecolor=red,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](2,100)(2,0)
\psline[linecolor=gray](0,40)(8,40)
\psline[linecolor=gray,linewidth=2pt]{[-]}(0.35,0)(6.04,0)
\psline[linecolor=gray,linestyle=dashed](0.35,40)(0.35,0)
\psline[linecolor=gray,linestyle=dashed](6.04,40)(6.04,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}