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%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, La Réunion\hspace{1em} corrigé}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Corrigé Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Métropole-Antilles-Guyane-La Réunion 11 juin 2015}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

Les annexes A et B sont à rendre avec la copie

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}
{\footnotesize
\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\textbf{Les résultats numériques seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath    \:près.}

\medskip

Un fabricant de terreau répartit sa production en sacs de 50 litres. Afin de vérifier sa mise en sac, il mesure le volume de terreau de 20 sacs. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
50,5& 50,1 &49 &50,9 &47,9\\ \hline
49,8 &50 &48,9 &51,1 &49,7\\ \hline
50,2 &52,2 &49,7 &49,4 &52\\ \hline
49,4 &50,1 &48,9 &50,8 &50,7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice  la moyenne est \np{50.07} et l'écart-type de cet échantillon \np{1.02}.
\item Le fabricant est satisfait de la moyenne relevée : elle paraît conforme aux 50 litres attendus. Par contre, il s'inquiète que certains sacs contiennent plus de 52 litres de terreau.

Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout sac prélevé au hasard dans la production associe son volume de terreau, exprimé en litres. On admet que $X$ est distribué selon la loi normale de moyenne $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice $p( 48 \leqslant X \leqslant 52)\approx \np{0.95}$.
  
\emph{remarque : \footnotesize Nous savons que dans le cas d'une distribution normale $p(\overline{x}-2\sigma\leqslant X\leqslant\overline{x}+2\sigma)\approx \np{0.95}$.}

La probabilité que le  volume du sac soit comprise entre $\np[\ell]{48}$ et $\np[\ell]{52}$ est  \np{0.95}.
%et donner une signification du résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminons  la probabilité qu'un sac pris au hasard dans la production contienne plus de 52 litres de terreau.
		
		$p(X > 52)=1-p(X \leqslant 52)=1-\np{0.98}=\np{0.02}$.
		
		{\emph{\footnotesize remarque : à partir de la considération  de la symétrie de la courbe nous pouvons dire que $p(X\leqslant 48)=p(X\geqslant 52)=\dfrac{1-\np{0.95}}{2}$}}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Une usine conditionne des sacs de 50 litres de terreau. On considère que 2,3\,\% des sacs qu'elle fournit contiennent moins de 48 litres de terreau. Elle livre sa production par lots de 200 sacs.

On suppose que la production est suffisamment importante pour que le choix des 200~sacs puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.

\medskip

\textbf{On rappelle que :}

\emph{Pour une proportion $p$ connue dans une population, l'intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :}

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence de sacs contenant moins de 48 litres de terreau pour un échantillon de taille 200.

\[\left[\np{0.023} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.023}(1 - \np{0.023})}{200}}~;~\np{0.023} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.023}(1 - \np{0.023})}{200}}\right]=\Bigg[\np{0.002}~;\np{~0.044}\Bigg]\]

{\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$ près.}
\item Un responsable d'une pépinière constate que, parmi les 200~sacs livrés par cette usine, 4,5\,\% de ces sacs contiennent moins de 48 litres de terreau.

Il en droit de porter réclamation puisque \np{0.045} n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. %Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip
{\footnotesize 
Un laboratoire d'analyses sanitaires s'intéresse à l'évolution d'une substance polluante présente dans un réservoir contenant \np{60000} litres d'eau et destiné à abreuver du bétail. Le technicien en charge des analyses maintient ce volume d'eau tout au long de l'expérimentation.

On admet que le volume, exprimé en litres, de substance polluante présente dans le réservoir est modélisé par une fonction $f$ définie par 

\[f(t) = \np{1800} \left(1 - \text{e}^{- 0,03t}\right)\]

où $t$ est le temps exprimé en minutes.

On désigne par $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal, donnée en ANNEXE A.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite de $f$ en $+ \infty$.
		
		$\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \left(1800(1-\e^{-\np{0.003}t})\right)=\lim_{t\to +\infty} 1800\times \lim_{t\to +\infty} (1-\e^{-\np{0.003}t})=\np{1800}\times 1=\np{1800}
		\ \text{car } \lim_{x\to +\infty}\e^{-x}=0$.
		\item Calculons $f'(t)$ pour tout réel $t$ de $[0~;~+ \infty[$.
		
		$f'(t)=\np{1800}\left(-(-\np{0.03})\e^{-\np{0.03}t}\right)=54\e^{-\np{0.03}t}$.
		\item Pour tout $t\in[0~;~+\infty[,\ f'(t)>0$ comme produit de réels positifs.
		
		Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
		
		Pour tout $t\in[0~;~+\infty[,\ f'(t)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons maintenant le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 

\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$}     \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[u](7.52,1.5){$\np{1800}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(7.3,1.55)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Calculons d'abord 3\,\% du volume du réservoir. $\dfrac{3}{100}\times \np{60000}=\np{1800}$

Puisque le volume de substance polluante ne peut dépasser $\np[\ell]{1800}$ d'après la limite en l'infini, il ne pourra alors pas dépasser les 3\,\% du volume du réservoir.
%En utilisant les résultats de la question 1, pensez-vous que le volume de substance polluante dans le réservoir peut dépasser les 3\,\% du volume du réservoir ? Justifier la réponse.
	
\item  La santé du bétail est menacée lorsque le volume de substance polluante dans le réservoir dépasse \np{1200}~litres.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons graphiquement, avec la précision permise par le graphique, le temps (arrondi à l'unité) à partir duquel la santé du bétail est menacée par la présence dans le réservoir de cette substance polluante.
		
Nous traçons la droite d'équation $y=\np{1200}$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous obtenons,  arrondi à l'unité, environ 37.

À partir d'environ 37 minutes, la santé du bétail est menacé.
 %On laissera les traits de constructions apparents sur l'ANNEXE A (à rendre avec la copie).
		\item Retrouvons ce résultat par le calcul. %Vous donnerez la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité près du résultat.
		
		pour ce faire, résolvons $f(t)>1200$.
		
		\begin{minipage}[t]{5cm}
		\begin{align*}
		\np{1800}\left(1-\e^{-\np{0.03}t}\right)&>\np{1200}\\
-\np{1800}\e^{-\np{0.03}t}&>\np{1200}-\np{1800}\\
-\np{1800}\e^{-\np{0.03}t}&>-600\\
 \e^{-\np{0.03}t}&>\dfrac{-600}{-\np{1800}}\\
\e^{-\np{0.03}t}&>\dfrac{1}{\np{3}}\\
\end{align*}\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5cm}
\begin{align*}
 \dfrac{1}{\e^{\np{0.03}t}}&>\dfrac{1}{\np{3}}\\	
  \e^{\np{0.03}t}&>3\\
\np{0.03}t&>\ln 3\\	
 t&>\dfrac{\ln 3}{\np{0.03}}\\
 t&>\dfrac{100\ln 3}{3}\\
\end{align*}
\end{minipage}

	$t>\np{36.62}$. Par le calcul nous retrouvons le résultat précédent, à la précision permise par le graphique.	
	\end{enumerate}
\item On désigne par $V_m$ le volume moyen de substance polluante présente dans le réservoir pendant les 60 premières minutes. On admet que 

$V_m = \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60} f(t)\:\text{d}t$.

\medskip

Calculons  $V_m$. 

\begin{minipage}[t]{6.5cm}
\begin{align*}
V_m &= \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60} \left(\np{1800} \left(1 - \text{e}^{- 0,03t}\right)\right)\:\mathrm{d}t.\\
V_m &= \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60} \np{1800}\mathrm{d}t-\dfrac{1}{60}\int_0^{60}\np{1800} \left(\text{e}^{- 0,03t}\right)\:\mathrm{d}t.\\
V_m &= \displaystyle 30\int_0^{60} \mathrm{d}t- 30\int_0^{60} \left( \e^{- 0,03t}\right)\:\mathrm{d}t.\\
\end{align*}
\end{minipage}
\hspace{2em}
\begin{minipage}[t]{6.5cm}
\begin{align*}
V_m&=30\bigg[t\bigg]_0^{60}-30\Bigg[-\dfrac{1}{\np{0.03}}\e^{-\np{0.03}t}\Bigg]_0^{60} \\
V_m&=30\bigg[t\bigg]_0^{60}+\np{1000}\Bigg[\e^{-\np{0.03}t}\Bigg]_0^{60} \\
V_m&=\np{1800}+\np{1000}\left(\e^{-\np{1.8}}-1\right)\\
V_m&=800+\np{1000}\e^{-\np{1.8}}
\end{align*}
\end{minipage}


Donnons maintenant  sa valeur approchée arrondie à $10^{-1}$ près. $V_m\approx \np{965.3}.$
\end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples, donné en ANNEXE B (à rendre avec la copie).
\smallskip

\emph{Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte enlève $0,25$ point et l'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cet exercice sera ramenée à zéro.}

\medskip

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.
}
\begin{center}\textbf{ANNEXE B (à compléter et à rendre avec la copie)}\end{center}

\textbf{EXERCICE 3 : QCM}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 25$ et $p = 0,08$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $P(X = 0)$ est égale à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,08^0$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,08^{25}$}& \hspace{-3.5mm}\ding{52}$0,92^{25}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée de $P(X = 4)$ à $10^{-2}$ près est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,72}& \hspace{-3.5mm}\ding{52}0,09& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,95}
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée de $P(X \leqslant 5)$ à $10^{-2}$ près est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,03}&\hspace{-3.5mm}\ding{52}0,99&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 0,66}
\end{tabularx}
\medskip

\item E$(X)$ est égale à

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{$\Box~~$}X}}
\hspace{-3.5mm}\ding{52}2 &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,08}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 1,36}
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip
Dans une région donnée, on constate une baisse de 4,5\,\% par an du nombre d'apiculteurs professionnels.

En 2010, on a recensé 525 apiculteurs professionnels dans cette région.

On appelle $u_n$ le nombre de ces apiculteurs professionnels le 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$, ainsi $u_0 = 525$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons le nombre de ces apiculteurs professionnels en 2011. À une baisse de \np{4.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $(1-\np{0.045})$ c'est-à-dire $\np{0.955}$.\hspace{2em} $525 \times \np{0.955}=\np{501.375}$.

 Il restait par conséquent 501 apiculteurs en 2011. %Arrondir le résultat à l'unité près.
\item Le nombre d'apiculteurs restant l'année $n+1$ se déduit du nombre d'apiculteurs l'année $n$ en multipliant ce nombre par le coefficient multiplicateur \np{0.955} par conséquent nous obtenons bien 

 $u_{n+1} = 0,955 \times u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item La Direction Régionale de l'Alimentation, de l'Agriculture et de la Forêt de cette région surveille le nombre d'apiculteurs professionnels et estime que ce nombre ne doit pas être strictement inférieur à 300 afin de préserver l'approvisionnement régional en miel et assurer la pollinisation.

Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'algorithme 1 permet de déterminer l'année où le nombre d'apiculteurs professionnels sera strictement inférieur à 300.

{\footnotesize\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 2}&\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme 3}\\ \hline
\textbf{Variables :}&\textbf{Variables :}& \textbf{Variables :}\\
\hspace{0.4cm}$U$ réel&\hspace{0.4cm} $U$ réel&\hspace{0.4cm} $U$ réel\\
\hspace{0.4cm}$N$ entier naturel&\hspace{0.4cm} $N$ entier naturel&\hspace{0.4cm} $N$ entier naturel\\
\textbf{Initialisation :}& \textbf{Initialisation :} &\textbf{Initialisation :}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $N$ la valeur 0&\hspace{0.4cm} Affecter à $N$ la valeur 0&\hspace{0.4cm} Affecter à $N$ la valeur 0\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $U$ la valeur 525&\hspace{0.4cm} Affecter à $U$ la valeur 525&\hspace{0.4cm} Affecter à $U$ la valeur 525\\
\textbf{Traitement :}&\textbf{Traitement :}&\textbf{Traitement :}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $U \geqslant 300$&\hspace{0.4cm}Tant que $U \geqslant 300$&\hspace{0.4cm}Tant que $U \geqslant 300$\\
\hspace{0.8cm}$U$ prend la valeur $U\times 0,955$&\hspace{0.8cm}$U$ prend la valeur $U\times 0,045$&\hspace{0.8cm}$U$ prend la valeur $U\times 0,955$\\
\hspace{0.8cm}$N$ prend la valeur $N + 1$&\hspace{0.8cm}$N$ prend la valeur $N+1$&\hspace{0.4cm} Fin du Tant que\\
\hspace{0.4cm}Fin du Tant que& \hspace{0.4cm}Fin du Tant que&\hspace{0.4cm} $N$ prend la valeur $N + 1$\\
\textbf{Sortie :}&\textbf{Sortie :}&\textbf{Sortie :}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $2010 + N$&\hspace{0.4cm} Afficher $2010 + N$&\hspace{0.4cm} Afficher $2010 + N$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}}

	\begin{enumerate}
		\item l'algorithme 2 ne donne pas le résultat escompté  car U n'est pas la valeur de l'année suivante mais l'effectif venant en diminution ; l'algorithme 3 non plus car N est en dehors de la boucle par conséquent n'augmente pas.
		\item À l'aide de la calculatrice et en faisant fonctionner l'algorithme 1, l'approvisionnement régional du miel et la pollinisation ne sont plus préservés à partir de 2023.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)\end{center}

\textbf{EXERCICE 2} Courbe représentative de la fonction $f$

\medskip

\begin{center}
\rotatebox{-90}{
\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.0075cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(-4,-100)(120,1900)
\multido{\n=0+5}{25}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,1900)}
\multido{\n=0+200}{10}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(120,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(-4,-100)(120,1900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=200](0,0)(0,0)(120,1900)
\uput[u](110,0){temps en minutes}
\uput[r](0,1850){volume des substances chimiques (en litres)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{120}{1 2.71828 0.03 x mul neg exp sub 1800 mul}
\def\Func{1 2.71828 0.03 x mul neg exp sub 1800 mul}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.75pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 36.62041 def \Func)(!36.62041 /x 36.62041 def \Func)(36.62041,0)
\uput[d](107.5,1730){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linecolor=violet,linewidth=0.95pt](0,1800)(120,1800)
\end{pspicture}}
\end{center}
\end{document}