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%Corrigé  : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion}}
\rfoot{\small{9 juin 2017}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S. T. A. V. 9 juin 2017\\[5pt]Métropole--La Réunion }}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

Une entreprise de production de miel commercialise des pots de \np[g]{250} de miel d'acacia, ces pots contenant aussi des fruits secs.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La masse de fruits secs présents dans un pot de miel, exprimée en g, est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu = 75$ et $\sigma = 4$.

L'entreprise considère que le remplissage du pot est conforme si la masse de fruits secs contenus dans un pot de miel est comprise entre \np[g]{65} et \np[g]{85}. Dans le cas contraire il est non conforme.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice ou du tableau de valeurs suivant, donnons la probabilité, arrondie à $10^{-4}$ près qu'un pot soit conforme.

Pour ce faire, calculons $p(65\leqslant X\leqslant 85)$.

$p(65\leqslant X\leqslant 85)=p(X\leqslant 85)-p(X\leqslant 65)=\np{0.9938}-\np{0.0062}=\np{0.9876}$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash\small}X|}}\hline
$a$& 60 &65 &70 &75 &80 &85 &90 &95\\ \hline
$P(X < a)$ &\np{0,0001} &\np{0,0062} &\np{0,1056} &0,5 &\np{0,8944} &\np{0,9938} &\np{0,9999} &1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
Des cartons de 6 pots ont été formés en prélevant ces pots au hasard parmi l'ensemble des pots en
bout de chaîne de production. Le nombre de pots produits est suffisamment important pour
considérer indépendant le choix des pots constituant le carton.

On considère pour la suite que la probabilité de choisir un pot conforme est de $0,99$.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots conformes, parmi les 6 pots prélevés
constituant un carton.
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifions que la loi de probabilité de $Y$ est la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p = 0,99$.

 $Y$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p= \np{0.99}$ puisque il y a répétition de 6 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit le pot est conforme avec une probabilité  $p=0,99$  soit le pot n'est pas conforme  de probabilité $q=1-p=0,01$.
 
 Par conséquent, $p(Y=k)=\binom{6}{k}(\np{0.99})^k(\np{0.01})^{6-k}$.

\item Déterminons $p(Y = 6)$ arrondi à $10^{-2}$ près

$p(Y=6)=\binom{6}{6}(\np{0.99})^6(\np{0.01})^{6-6}=\np{0.99}^6\approx \np{0.94}$

La probabilité que les six pots choisis soient conformes est à $10^{-2}$ près de \np{0.94}.
 %et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminons la probabilité qu'un carton contienne au moins un pot non conforme.

 L'événement contraire est :\og tous les pots sont conformes\fg. 

Par conséquent, la probabilité qu'un carton contienne au moins un pot non conforme est :

 $1-p(Y=6)=1-\np{0.94} =\np{0.06}$.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les fruits secs contenus dans les pots de miel sont soit des amandes, soit des noix, soit des noisettes.

Il n' y a qu'un seul type de fruit sec par pot.

Le laboratoire d'analyse de qualité de cette entreprise, étudie la masse en grammes de noisettes, noix et amandes présentes dans $240$~pots conformes de miel d'acacia, prélevés au hasard dans la chaîne de fabrication.

Voici les résultats obtenus par le laboratoire après la pesée des fruits secs contenus dans 240~pots.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}&Noisettes &Noix &Amandes\\ \hline
[65~;~70[ &4 	&4 	&7\\ \hline
[70~;~75[ &29 	&33 &32\\ \hline
[75~;~80[ &32 	&41 &37\\ \hline
[80~;~85[ &6 	&8 	&7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le tableau des effectifs marginaux est complété sur celui situé en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.
		\item  Le tableau des profils colonnes et du profil marginal des colonnes est complété sur celui situé en \textbf{annexe A (à rendre avec la copie)}.  Les résultats ont été arrondis à $10^{-2}$ près si nécessaire.
\item La masse de fruits secs contenue dans les pots ne dépend pas de la nature du fruit sec puisque dans chaque cas la proportion est souvent la même.
		
%Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}_f$ donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d'une fonction $f$ définie sur $] - \infty~;~0]$. La droite $(T)$, parallèle à l'axe des abscisses, est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse $- 4$.

L'axe des abscisses est asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $- \infty$.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture*}(-9,-1.5)(0.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-9}{-1.9}{x 3 add 2.71828 x exp mul 0.4 mul 2.71828 4 neg exp div}
\psline[linewidth=1pt](-9,-0.4)(0.5,-0.4)
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.1pt](-3,0)(-3,0.001)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=200]{-3}{-2}{x 3 add 2.71828 x exp mul 0.4 mul 2.71828 4 neg exp div}
\psline[linewidth=0.1pt](-2,3)(-2,0)
}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-9,-1.5)(0.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(0.5,3.5)
\uput[ul](-2,3){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[d](-1.5,-0.4){$(T)$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Précisons pour chacune des propositions qui suivent si elle est vraie ou fausse puis justifions la réponse:

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 9$.

 La proposition est fausse car l'axe des abscisses est asymptote à la courbe, nous avons alors 
 
 $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ 
\item  $f'(- 4) = 0$. 

La proposition est vraie car la tangente au point d'abscisse $-4$ à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
\item  $f'(x) < 0$ sur $[-4~;~-3]$.

 La proposition est fausse car la fonction est croissante sur $[-4~;~-3]$.
\item  $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x)\:\text{d}x \geqslant  3$.

La proposition est fausse car l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-3$ et $x=-2$ est inférieure à 3 unités d'aire, \emph{\footnotesize partie hachurée sur le graphique}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Après un épisode pluvieux, un organisme surveille la crue et la décrue d'une rivière qui traverse une zone habitée.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les relevés des débits, exprimés en m$^3$ $\cdot$ s$^{-1}$ (mètre cube par seconde), ont permis d'établir la courbe ci-dessous pour les premières heures :

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(38,105)
\multido{\n=0+2}{20}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,105)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(38,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(38,105)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{38}{20 x mul 2.71828 0.16 x mul exp div 50 add}
\uput[u](34,0){\footnotesize Temps en heure }
\uput[r](0,102){\footnotesize Débit en m$^3$ par seconde}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet](0,70)(30,70)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(1.21448,70)(1.21448,0)
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(18.09916,70)(18.09916,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{En utilisant le graphique, avec la précision permise par le graphique, répondons sans justification aux questions suivantes} :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le débit de la rivière au début de la crue est de $\np[m^3\cdot s^{-1}]{50}$ .
\item Le débit maximal est d'environ $\np[m^3\cdot s^{-1}]{95}$. Le moment auquel il est atteint est d'environ 6 heures.
\item On considère qu'il y a des risques d'inondations au-delà d'un débit de la rivière de $\np[m^3\cdot s^{-1}]{70}$.

Donnons l'intervalle de temps pendant lequel il y a des risques d'inondations. Traçons la droite d'équation $y=70$, lisons les abscisses des points d'intersection de la courbe avec la droite. Nous lisons environ 1 et environ 18 . L'intervalle est alors approximativement  $]1~;~18[$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que l'évolution du débit de la rivière est modélisé par la fonction $f$ définie sur $[0~;~ 60]$ par :

\[f(x) = 50 + 20x\text{e}^{-0,16x}\]

où $x$ représente le temps en heure et $f(x)$, le débit en m$^3\cdot$s$^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons une valeur approchée de $f(60)$ arrondie à l'unité. %et interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.

$f(60)=50+20\times 60\times \e^{-0.16\times 60}\approx 50$. Au bout de 60 heures, le débit est revenu  celui du début de la crue.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que $f'(x) = (20 - 3,2x)\text{e}^{-0,16x}$. En effet,
		
		$f'(x)=0+20\times \e^{-\np{0.16}x}+20x\times( -\np{0.16}\e^{-\np{0.16}x})=20\,\e^{-\np{0.16}x}-\np{3.2}x\,\e^{-\np{0.16}x}=(20 - 3,2x)\text{e}^{-0,16x}$
		\item Étudions le signe de $f'(x)$.
		
		Pour tout $x\in\R ,\ \e^{-0,16x}>0$ par conséquent il en est de même sur [0~;~60], le signe de $f'(x)$ est alors celui de $20 - 3,2x$.
		
		Sur $\R,\  20-\np{3.2}x>0$ est équivalent à $x<\np{6.25}$.  Par conséquent
		
		Si $x\in [0~;~\np{6.25}[,\ f'(x)>0$ et si $x\in ]\np{6.25}~;~60],\ f'(x)<0$
		
		\item Étudions d'abord, la  variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~60].
		
		Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in[0~;~\np{6.25}[,\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

		Si pour tout $x\in I \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in ]\np{6.25}~;~60],\ f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 

 Dressons le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~60].

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$6,25$}    \uput[u](7.73,2.45){$60$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[d](1.439,0.45){$50$}\uput[d](7.52,0.45){$\np{50.08}$}
\psline{->}(1.75,0.5)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.45)
\uput[u](4.5,1.525){$\np{95.98}$}
\end{pspicture}

\end{center}
			
		\item Précisons alors la réponse à la question 2 de la partie A (arrondir à $10^{-2}$ près).
		
		le débit maximal est de $\np[m^3/s]{95.98}$ atteint en \np{6.25} heures.
	\end{enumerate}
\item  On admet que $F$ définie par $F(x) = 50x - (781,25 + 125x)\text{e}^{- 0,16x}$ est une primitive de $f$ sur [0~;~60].
	
La quantité d'eau apportée par la rivière lors de la crue est $I = \displaystyle\int_0^{6,25}f(x)\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_0^{6,25}f(x)\:\text{d}x$.
		
		$\displaystyle\int_0^{6,25}f(x)\:\mathrm{d}x=\Bigg[50x - (781,25 + 125x)\e^{- 0,16x}\Bigg]_0^{\np{6.25}}$

$I= 50\times \np{6.25} - (781,25 + 125\times \np{6.25})\e^{- 0,16\times \np{6.25}}-\left(50\times 0 - (781,25 + 125\times 0)\e^{- 0,16\times 0}\right)$

$I=\np{312.5}-\np{1562.5}\e^{-1}-(-\np{781.25}) $

$I=\np{1093.75}-\np{1562.5}\e^{-1}$.
		\item Une valeur approchée au m$^3$ près de $I$ est alors \np[m^3]{516}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

En 2016, on comptait en France, \np{650000} colonies d'abeilles. Du fait du taux de mortalité important chez ces insectes, on observe que le nombre de colonies baisse de 7,5\,\% par an et on considère que cette tendance devrait se poursuivre dans les années à venir.

On note $u_n$ le nombre de colonies d'abeilles l'année $(2016+n)$ et $u_0 = \np{650000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À une baisse de \np{7.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.075}$  \: soit $\np{0.925}$. Chaque terme se déduisant du précédent en le  multipliant par un même nombre par conséquent $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,925$. Le premier terme  est $u_0 = \np{650000}$.
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $ u_n=u_0q^n$. Il en résulte :

$u_n = \np{650000} \times 0,925^n$.
\item Expliquons ce que réalise l'algorithme ci-dessous dans le contexte de l'exercice :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$u$ prend pour valeur \np{650000}\\ 
$n$ prend pour valeur 0\\ 
Tant que $u > \np{100000}$\\
\hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{1cm}$u$ prend la valeur $0,925 \times u$\\
Fin tant que\\
Afficher $n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Cet algorithme permet de déterminer le temps nécessaire pour que les colonies d'abeilles soient inférieures à \np{100000}

\item Par la méthode de notre choix, déterminons au bout de combien d'années le nombre de colonies
d'abeilles passera en dessous de \np{100000}.

Nous pouvons traduire cet algorithme dans le langage de la machine et lire la réponse : $n=25$.

Nous pouvons aussi résoudre l'inéquation $\np{650000}(\np{0.925})^n \leqslant \np{100000}$.

\begin{align*}
\np{650000}(\np{0.925})^n &< \np{100000}\\
\np{0.925}^n&< \dfrac{\np{100000}}{\np{650000}}\\
\np{0.925}^n&< \dfrac{2}{13}\\
n\,\ln\np{0.925}&< \ln\left(\dfrac{2}{13}\right)\\
n&>\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{13}\right)}{\ln\np{0.925}}&\text{car }\ \ln\np{0.925}<0\\
\end{align*}
or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{13}\right)}{\ln\np{0.925}}\approx \np{24.0093}$.

 Par conséquent au bout de vingt-cinq ans, le nombre de colonies d'abeilles 
sera inférieur à \np{100000}.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Question 1. a.}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}&Noisettes &Noix &Amandes&Total\\ \hline
[65~;~70[ &4 	&4 	&7	&\textcolor{violet}{15}\\ \hline
[70~;~75[ &29 	&33 &32	&\textcolor{violet}{94}\\ \hline
[75~;~80[ &32 	&41 &37	&\textcolor{violet}{110}\\ \hline
[80~;~85[ &6 	&8 	&7	&\textcolor{violet}{21}\\ \hline
Total	  &\textcolor{violet}{71}		&\textcolor{violet}{86}	&\textcolor{violet}{83}	&240\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1. b.} : arrondir à $10^{-2}$ près

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\diagbox{\scriptsize Masse   en grammes \\\scriptsize  de fruits secs}{\scriptsize Fruits secs utilisés}			&Noisettes 	&Noix 							&Amandes&Total\\ \hline
[65~;~70[ 			&0,06 		&0,05 							&0,08 	&0,06\\ \hline
[70~;~75[ 			&0,41		&\textcolor{violet}{\np{0.38}}	&\textcolor{violet}{\np{0.39}}		&\textcolor{violet}{\np{0.39}}\\ \hline
[75~;~80[ 			&0,45		&\textcolor{violet}{\np{0.48}}	&\textcolor{violet}{\np{0.45}}	&\textcolor{violet}{\np{0.46}}\\ \hline
[80~;~85[ 			&0,08		&0,09 							&0,08 				&0,09\\ \hline
Total 				&1			&1								&1					&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}